Travaux pratiques de sciences mathématiques 5, Exercices de Méthodes Mathématiques

Télécharge Travaux pratiques de sciences mathématiques 5 et plus Exercices au format PDF de Méthodes Mathématiques sur Docsity uniquement! Durée : 4 heures [ Baccalauréat C Cambodge et Laos juin 1969 \ EXERCICE 1 On considère quatre entiers naturels, a,b,c et d , formant une suite géométrique de raison r . On suppose que r est strictement supérieur à 1 et premier avec a. Déterminer ces quatre entiers pour qu’on ait la relation 10a2 = d −b. EXERCICE 2 1. On désigne par x un nombre réel. Déterminer le module et l’argument du nombre complexe z = (x −2) ( cos π 4 + isin π 4 ) . 2. Démontrer que le nombre z1968 est réel ; préciser son signe. EXERCICE 3 Le plan est rapporté à un repère orthonormé xOy ; on note −→ ı et −→  les vecteurs uni- taires des axes Ox et Oy . On désigne par t l’application qui, à tout point M de la droite Ox, d’abscisse x 6= 0, associe le point M ′ de cette même droite ayant pour abscisse x′ = 4x −3 x On écrit, dans ce cas, M ′ = t(M). 1. Montrer qu’il existe deux points distincts, A et B, sur la droite Ox tels que A = t(A) et B = t(B) ; calculer leurs abscisses. Démontrer que le birapport (A, B, M , M ′) est indépendant de la position de M sur la droite Ox. 2. Calculer, en fonction de l’abscisse, x, du point M sur la droite Ox, la longueur, z, du segment M M ′. Étudier les variations de la fonction z(x) ainsi définie ; tracer son graphe. Utiliser ce graphe pour discuter l’existence et le nombre des points M tels que la longueur M M ′ ait une valeur donnée, λ. 3. Démontrer que le point M ′ = t(M) se déduit du point M par une inversion I, de pôle O, de puissance µ, suivie d’une translation de vecteur k −→ ı , les nombres réels µ et k étant à déterminer. 4. On appelle T l’application associant à un point P du plan, distinct de O, le point P′ qui s’en déduit par l’inversion de pôle O, de puissance µ, suivie de la translation de vecteur k −→ ı (les nombres µ et k étant ceux déterminés à la question précédente). Soit (ω) le cercle de centre ω(0 ; −1) et de rayon 1. Démontrer qu’une tangente (D) à ce cercle a pour image, par l’application T , un cercle, que l’on désignera par (Γ), sauf pour une position singulière de la droite (D).