Travaux pratiques de sciences mathématiques 6, Exercices de Méthodes Mathématiques

Travaux pratiques de sciences mathématiques 6, Exercices de Méthodes Mathématiques

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Travaux pratiques de sciences mathématiques 6 sur la dérivée des fonctions. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le logarithme népérien, la droite d’équation, le coefficient directeur de la droite.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Clermont juin 1969 \

EXERCICE 1

On considère la fonction f définie par

f (x)= 6x2−4x+5 (2x−3)(x+1)

1. Montrer qu’il existe trois nombres réels, A, B etC , tels que

6x2−4x+5 (2x−3)(x+1)

= A+ B

2x−3 +

C

x+1

pour tout x réel différent de −1 et de 3

2 .

2. Calculer la dérivée des fonctions Log (x+1) et Log (2x−3), où Log désigne le logarithme népérien.

3. En déduire

∫3

2 f (x)dx.

(La mise du résultat sous forme décimale n’est pas demandée.)

EXERCICE 2

Résoudre

sinx+ p 3cosx >

p 2, 06 x 6 2π.

PROBLÈME

Leplan est rapporté au systèmed’axes orthonormé x′Ox, y ′Oy , de vecteurs unitaires −→ ı et

−→ . On donne deux points fixes : A, de coordonnées (a ; 0), a 6= 0, et B, de

coordonnées (a ; b).

Soit I lemilieu deOA, (∆) la droite d’équation x = a

2 et (D) la droite d’équation x = a.

On considère l’ensemble (E ) des points du plan non situés sur (∆). Soit T la transfor-

mation qui, au point M de coordonnées (x ; y), associe le point M ′ de coordonnées (

x′ ; y ′ )

défini par les relations

x′ = ax

2xa

y ′ = ay

2xa

1. Démontrer que T réalise une application bijective et involutive de (E) sur lui- même. Rechercher les points invariants.

2. Démontrer que les points O, M et M ′ sont alignés. En supposant M non situé sur (D), démontrer que le coefficient directeur de la droite OB est la demi-

somme des coefficients directeurs des droites BM et BM ′. En déduire une

construction simple deM ′, connaissant M .

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

3. Soit P le point d’intersection deMM ′ et (D).

Déterminer le birapport des quatre points M ,M ′, O et P .

Quel est l’ensemble des points M pour lesquels l’angle MBM ′ est droit ?

4. a. Démontrer que la figure transformée par T du cercle (C1) de diamètre OA est une hyperbole, dont on déterminera le centre, les sommets, les

asymptotes et l’excentricité.

b. Quelle est la figure transformée du cercle (C2) de diamètre IA ?

c. Démontrer que les figures transformées des cercles (C ) centrés sur x′Ox sont des coniques. [On désignera par d l’abscisse du centre et par R le

rayon du cercle (C )].

d. Démontrer que l’ensemble des cercles centrés Sur x′Ox dont les trans- formées sont des paraboles est un faisceau de cercles tangents en I.

Déterminer ceux des cercles de ce faisceau dont les transformées sont

des paraboles de directrice y y .

Démontrer que ces cercles sont vus de O sous un angle droit.

Clermont 2 juin 1969

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