Travaux pratiques de sciences mathématiques 7, Exercices de Méthodes Mathématiques

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Travaux pratiques de sciences mathématiques 7 sur les racines de l’équation. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la structure d’espace vectoriel, la transformation, l’origine d’un repère orthonormé.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Dakar septembre 1969 \

EXERCICE 1

Soit α et α les racines de l’équation

z2−2z +2= 0.

Pour quelles valeurs de n, entier naturel, αn et αn sont-ils réels ? Calculer αn +αn pour n = 1;n = 4;n = 8.

EXERCICE 2

Soit l’ensemble E des fonctions définies sur R par

f (x)= a.cosx.cos2x +b.sinx.sin2x +c.cosx.

Montrer que E,muni de l’addition des fonctions et de lamultiplication des fonctions par un réel, a une structure d’espace vectoriel sur R, que tout élément de E se met sous la forme

f (x)= A.cosx +B.cospx,

p étant un entier naturel, et que f (x) n’est nulle pour tout x que si A = B = 0.

EXERCICE 3

Ondonne, dans le plan, une droite xx et un point O sur cette droite. On donne aussi un nombre réel α compris entre 0 et π. On considère la transformation, notée Tn , qui, à tout point M du plan, fait corres- pondre le point M ′ = Tn (M) situé sur la parallèle (∆) menée de M à xx et tel que

(

OM ,OM ′ )

= (modπ),

n ∈Z ensemble des entiers relatifs.

Partie A

1. Quels sont les points qui n’ont pas de transformé à distance finie ? Le trans- formé d’un tel point est le point à l’infini sur la droite (∆) correspondante.

Quel est le transformé d’un point de xx ?

2. α étant fixé, à n ∈ Z correspond la transformation Tn . Soit T l’ensemble des transformations Tn dans le plan privé de xx.

Montrer que T est un groupe commutatif pour la composition des transfor- mations.

Soit α

π un rationnel :

α

π =

p

q , p et q étant des entiers naturels. Qu’est la trans-

formation Tq ? Montrer qu’en ce cas v a un nombre fini d’éléments. Montrer,

en outre, que si α

π rationnel, a, sous sa forme irréductible, un dénominateur

pair, il existe une transformation Tn involutive.

Application : Dans les cas où

α= 3π

8 et α=

π

4

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

quel est le nombre d’éléments deT ? Quelle est la transformation involutive ?

Montrer que, si α

π est irrationnel, on ne peut avoir

Tn = Tn′ avec n 6= n

et qu’ainsi T correspond uniquement à Z.

Partie B

xx est l’axe des abscisses et O l’origine d’un repère orthonormé. Établir les formules de la transformation Tn . Pour cela, on calculera d’abord, en fonction des coordonnées (x ; y) de M , y étant différent de zéro, l’affixe, dans le plan complexe xOy , du point transformé de M par la rotation de centre O et d’angle ; puis on en déduira les coordonnées de M ′. Des formules obtenues, déduire celles de la transformation réciproque T −1n .

Partie C

On prend α= π

4 .

1. Écrire les formules des transformations T1,T2 et de leurs transformations ré- ciproques.

2. Lepoint M ′ étant le transforméde M parT1 trouver l’ensemble, (C), des points M tels que M M ′ = λ, λ constante donnée. (On formera l’équation de (C) et on donnera aussi une solution géométrique en utilisant le point de (C) trans- formé en O.)

Préciser les éléments de (C) et de (C1)= T1[(C)], transformé de (C) par T1.

3. Toujours par T1 on transforme (C1) en (C2), puis (C2) en (C3). Former, le plus simplement possible, les équations de ces courbes. Donner la nature de la courbe

(C4)= T1 [C3)]

Partie D

α ayant encore la valeur π

4 , appliquer la transformation T1 à la droite x = 1. (On

pourra étudier x comme fonction de y .) Tracer la courbe (H) obtenue. Pouvait-on connaître, a priori, l’asymptote parallèle à xx et la direction de l’asymp- tote oblique ?

Dakar 2 septembre 1969

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