Travaux pratiques de sciences mathématiques 8, Exercices de Méthodes Mathématiques

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Travaux pratiques de sciences mathématiques 8 sur la fonction. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la courbe représentative de cette fonction, l’ensemble des points, les points de Poncelet du faisceau défini...
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Dijon juin 1969 \

EXERCICE 1

Étudier la fonction y = Log cosx. Tracer la courbe représentative de cette fonction.

EXERCICE 2

Déterminer un nombre n de quatre chiffres, tel que les restes des divisions de 21685 et 33509 par n soient respectivement 37 et 53.

PROBLÈME

On donne, dans un plan, un cercle (Γ) de centre O, un point fixe, I, sur (Γ) et une droite (D) ne rencontrant pas (Γ). On définit sur l’ensemble des points de (Γ) une loi de composition interne de la manière suivante : Soit B et C deux points de (Γ). La droite BC [qui est tangente à (Γ) si B et C sont confondus] ou bien coupe la droite (D) en a, ou bien est parallèle à (D). Appelons δ dans le premier cas la droite aI, dans le deuxième cas la parallèle à (D) menée par I. Le composé de B et de C, noté B ⋆ C , est alors le deuxième point d’in- tersection de (Γ) avec δ [si δ est tangente à (Γ) en I, ce point est confondu avec I].

Partie A

1. Montrer que, quels que soient les points B et C de (Γ), on a

B⋆C=C⋆B.

2. Si B est un point quelconque de (Γ), déterminer le composé B⋆ I. Que peut-on dire du point I vis-à-vis de cette loi de composition ?

3. Si A est un point quelconque de (Γ), montrer qu’il existe deux points distincts de (Γ) solutions de l’équation

X 2 =A.

X est un point inconnu et où X 2 désigne le composé X X .

4. Montrer que, quels que soient les points A et B de (Γ), il existe un point X unique de (Γ) tel que l’on ait

(1) B⋆X =A ;

en particulier on notera B−1 le point de (Γ) tel que B⋆B−1 = I.

Dans le cas où A et B sont quelconques, peut-on déterminer le point X qui vérifie (1), à partir de B−1 et de A ?

N. B. Les parties B et C sont indépendantes

Partie B

Soit P et Q les points de Poncelet du faisceau défini par (D) et (Γ). Soit B et C, deux points de (Γ) et A′ =B⋆C. Soit B1, C1, A′1, I1 et Q1 les transformés des points B, C, A

′, I et Q, respectivement, dans l’inversion J de pôle P et de puissance k2 (k réel non nul).

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

1. Montrer que

(

−−−→

Q1I1 , −−−−→

Q1B1 )

+

(

−−−→

Q1I1 , −−−−→

Q1C1 )

=

(

−−−→

Q1I1 , −−−−→

Q1A ′

1

)

(mod 2π)

2. SoitG l’ensemble des nombres complexes de module 1.

a. Montrer queG est un groupepour la loi «multiplicationdedeuxnombres complexes ».

b. On considère un repère orthonormé (

Q1, −→

ı , −→

)

, d’origine Q1 où −→

ı = −−−→

Q1I1 .

Si M est un point de (Γ), on désigne par M1 le transformé de M dans l’inversion J et par z le nombre complexe dont l’image est M1 dans le repère considéré.

Montrer que z appartient à G et que l’application ϕ de (Γ) dans G qui à M associe ϕ(M)= z est bijective.

3. Montrer que, si B et C sont deux points quelconques de (Γ) on a ϕ(B⋆C) = ϕ(B)⋆ϕ(C).

En déduire que l’ensemble (Γ), muni de la loi ⋆, est un groupe.

Partie C

Il résulte de la partie B que la loi ⋆ est une loi associative sur (Γ), c’est-à-dire que, pour tout A, pour tout B, pour tout C, l’égalité

(2) A⋆ (B⋆C)= (A⋆B)⋆C

est vraie. Le but de cette partie est de faire établir cette égalité (2), non pour toutes les posi- tions de A, B et C,mais « en général », c’est-à-dire suivant certaines conditions, qu’on précisera. On posera

B⋆C=A′ et A∗B=C′.

1. Lemme : Soit (L) et (L′) deux cercles sécants en S et T. Une droite passant par S coupe (L) en P et (L′) en P′ ; une droite passant par T coupe (L) en Q et (L′) en Q′.

Montrer que les droites PQ et P′Q′ sont parallèles.

2. On suppose que les points A, B et C vérifient les conditions suivantes :

– chacun d’eux est distinct de I ; – A est distinct de C ; – la droite BC coupe (D) en a ; – la droite AB coupe (D) en c.

Montrer que les trois points a, B et I sont distincts et non alignés.

On désigne par (Γ′) le cercle circonscrit au triangle aBI. (Γ′) recoupe AB en α, IC′ en γ, et (D) en a′.

3. On suppose en outre que a′ est distinct de c.

Montrer que les trois points a,γ etα sont distincts.Montrer que les droites AA′

et CC′ ne sont pas parallèles ; on désigne par ω leur point de rencontre.

Montrer que les deux triangles aγα etω C ′A sont homothétiques. (On pourra utiliser le lemme.)

En déduire (dans les conditions envisagées) l’égalité (2)

Dijon 2 juin 1969

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