Travaux pratiques - fonctions - 1° partie, Exercices de Calcul avancé
Eusebe_S
Eusebe_S20 May 2014

Travaux pratiques - fonctions - 1° partie, Exercices de Calcul avancé

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Travaux pratiques de sciences mathématique sur les fonctions - 1° partie.Les principaux thèmes abordés sont les suivants:Ensemble de définition,coefficients,parité,Fonctions affines et linéaires.
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Classe de Seconde

Fonctions

1. Ensemble de définition 2. Fonction : antécédents 3. Fonction : coefficients 4. Fonctions : parité (c) 5. Fonctions : parité 6. Questions (c) 7. Fonctions affines et linéaires 8. Lecture graphique 9. Lecture graphique 10. Lecture graphique : paraboles 11. Tableau de variation 12. Fonction : symétrie centrale 13. Fonction : quotient 1 14. Fonction : quotient 2 15. Fonction : quotient 3 16. Fonction : quotient 4 17. Fonction : quotient 5 18. Fonction : quotient 5 19. Fonction : quotient 6 20. Fonction : quotient 7 21. Fonction : quotient 8 22. Fonction : quotient 9 23. Fonction : quotient 10 24. Fonction : quotient 11 25. Fonction : quotient 12 26. Fonction : Mise en équation 27. Fonction : 2nd degré 28. Fonction : 2nd degré 29. Fonction : 2nd degré (c) 30. Fonction : 2nd degré et valeur absolue 31. Fonction : 2nd degré 32. Fonction : 2nd degré et droite (c)

33. Fonction : valeur absolue 34. Fonction : 2nd degré (c) 35. Fonction : 3ème degré 36. Fonction : fraction continue 37. Fonction : optimisation 38. Fonction : résolution d’équation 39. Distance d’un point à une droite (c) 40. Courbe, équation, inéquation 41. Tableau de variation,inéquation 42. Courbe, équation, inéquation 43. Fonction affine par morceaux 44. Fonction : inéquations (voir également équations-inéquations) 45. Fonction : inéquations et degré 3 (c) 46. Similitude (c) 47. Fonction : inéquations 48. Tangente à la parabole et à l’hyperbole (c) 49. Fonctions et inéquations 1 (c) 50. Fonctions et inéquations 2 (c) 51. Triangle et 2nd degré (c) 52. Aire d’un triangle rectangle (1) 53. Aire d’un triangle rectangle (2) 54. Yin et Yang 55. Trapèze (1) 56. Trapèze (2) 57. Triangle et rectangle 58. Distance d’arrêt d’une automobile (c) 59. Poitiers – Paris - Strasbourg 60. Etude de fonction et application à la physique. 61. Arc et flèche (Bac pro Aménagement finition, France 06/07) (c)

1. Ensemble de définition

Déterminer l'ensemble de définition des fonctions suivantes :

3 2( ) 2 4 2f x x x   2

1 2 ( )

2 1 g x

x x    

1 ( ) 3 2h x x

x   4 2( ) 4 3 1k x x x  

Trouver l'ensemble de définition de la fonction 2 1

( ) 4 1 2

f x x x

   

Déterminez l'ensemble de définition de 2 4

( ) 9 1

f x x x x

   

. f est elle paire, impaire, rien ?

2. Fonction : antécédents

Soit la fonction 2( ) 2 1f x x   .

Déterminer les images par f des nombres −1, 10, −101, 2 et - 2 .

Déterminer si ces nombres ont des antécédents ?

A quelle condition un nombre y a-t-il des antécédents ?

3. Fonction : coefficients

1. Soit la fonction ( ) x a

f x x b

  

a et b sont deux réels inconnus (pour l'instant...). Peut on trouver a et

b pour que f(−2)=0 et que −1 soit valeur interdite de f ?

2. On prend a=2, b=1 ; tracez la fonction obtenue sur l’intervalle [−5, +5].

3. Dressez le tableau de variations de f.

4. Résoudre graphiquement l’inéquation ( ) 1f x  .

5. On veut résoudre l’inéquation ( )f x x . Proposez une méthode et appliquez la.

4. Fonctions : parité (c)

On définit la fonction suivante : ² 1

( ) x

f x x

  .

Quel est son ensemble de définition ?

Cette fonction est-elle paire ? impaire ? rien de particulier ?

Correction

f(x) = ² 1x

x

 . 2 1x  doit être positif ou nul et x doit être non nul. On résout donc 2 1 0x   avec 0x  .

Ceci donne (x – 1)(x + 1) 0 et le tableau ci-après.

On en déduitla solution    ; 1 1 ;    et comme 0 (la valeur interdite du dénominateur) n’appartient pas à cet

intervalle,    Def ; 1 1 ;     .

On constate que cet ensemble est symétrique par rapport à

zéro. f peut éventuellement être paire ou impaire.

On a ( )² 1 ² 1 ² 1

( ) ( ) ( )

x x x f x f x

x x x

          

  : f est donc

une fonction impaire.

5. Fonctions : parité

1. Remplir ce tableau :

Propriété algébrique Propriété graphique

f est une fonction paire

f est une fonction impaire

f est ni paire, ni impaire

2. Dire pour chacune de ces fonctions si elle est paire, impaire ou non. En déduire des propriétés pour leur représentation graphique.

: ²

: 3

f x x

g x x

  3

: 2 ²

: 3

h x x

i x x x

3. a. Compléter la courbe ci-contre en rouge pour que la courbe alors obtenue soit représentative d’une fonction paire, que l’on notera f.

b. Etablir le tableau de variations de f.

x  –1 1 

x + 1– + +

x – 1 – – +

P + – +

6. Questions (c)

Traduire à l’aide d’écritures simples les phrases suivantes :

a. La courbe de la fonction f passe par le point A(3 ; −1).

b. L’ordonnée du point d’abscisse 2 de la courbe C de g vaut 1.

c. La représentation graphique de la fonction h coupe l’axe des ordonnées au point d’ordonnée 3.

d. La courbe représentant la fonction k passe par l’origine.

e. La courbe C’ représentant la fonction m est au-dessus de l’axe des abscisses entre les points d’abscisse −5 et 4.

Correction

a. La courbe de la fonction f passe par le point A(3 ; −1) : (3) 1f   .

b. L’ordonnée du point d’abscisse 2 de la courbe C de g vaut 1 : (2) 1g  .

c. La représentation graphique de la fonction h coupe l’axe des ordonnées au point d’ordonnée 3 :

(0) 3h  .

d. La courbe représentant la fonction k passe par l’origine : (0) 0k  .

e. La courbe C’ représentant la fonction m est au-dessus de l’axe des abscisses entre les points

d’abscisse −5 et 4 :  ( ) 0 5 ; 4m x x    .

7. Fonctions affines et linéaires

1. Remplir le tableau suivant :

Vrai Faux Sûr Pas sûr

2 ( )

3 f x  est une fonction affine.

Dans l’équation de droite y cx d  , d est le coefficient

directeur et c l’ordonnée à l’origine.

La représentation graphique d’une fonction constante est une droite parallèle à l’axe des ordonnées.

( )g x ax où a , est l’expression d’une fonction linéaire.

La représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite parallèle à l’axe des abscisses.

2. Fonctions affines

a. Donner les expressions des fonctions affines 1 2 3, ,f f f dont les représentations graphiques sont

respectivement les droites 1 2 3, ,d d d tracées dans le repère (O, I, J) ci-dessous

b. Tracer la droite 4d représentative de la fonction 4f définie par  4 1

1 2

f x x  dans le même repère.

c. Donner le sens de variation de chacune des fonctions 1 2 3 4, , ,f f f f .

d. Calculer l’expression de la fonction affine k sachant que k(3) = 1 et k(2) = 5.

3. a. Donner l’expression de la fonction affine f dont la représentation graphique est la droite ci-dessous.

b. Tracer sur le même repère les représentations graphiques des fonctions g et h définies par   3

2 g x

et   1

2 2

h x x   .

c. Calculer l’expression de la fonction affine k sachant que k(−1) = 4 et k(1) = 2. Déterminer le sens de variation des fonctions f, g, h, k.

4. Soit f la fonction définie par  ( ) 2 3 1f x x   pour tout réel x.

a. Quelle est le nom d’une telle fonction ?

b. Quel est le sens de variation de f (justifier) ?

c. Déterminer l’image de 2 par f.

d. Déterminer le (ou les) antécédent(s) de 3 1 par f.

e. Tracer sa courbe représentative dans un repère  ; ,O i j orthonormé.

O I

J

1d

f. Résoudre graphiquement l’équation f(x) = 4.

8. Lecture graphique

- 5

- 4

- 3

- 2

- 1

0

1

2

3

4

5

- 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6

x

y

Le graphique ci-dessus représente une fonction f sur l’intervalle [−3 ; 6].

1. Dresser le tableau de variations de f sur [−3 ; 6].

2. Déterminer le signe de f(x) suivant les valeurs de x.

3. Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses en justifiant votre réponse :

a. f est négative sur ]−2 ; 1[.

b. Si on a pour deux nombres a et b tels que 2 0a b    alors 3 ( ) ( ) 3f b f a    .

c. L’équation f(x) = 2 a 4 solutions sur [−3 ; 6].

d. On a f(−3) < f(5) car f est croissante sur l’intervalle [−3 ; 5].

9. Lecture graphique

Les courbes représentées ci-dessous sont les représentations graphiques des fonctions de références suivantes : la fonction carrée, cube, valeur absolue, inverse, racine et une fonction affine.

Attribuer à chaque courbe la fonction de référence correspondante et préciser le nom de cette courbe lorsqu’il existe.

10. Lecture graphique : paraboles

On donne ci-dessous les représentations graphiques de six fonctions que l'on peut considérer comme déduites de la fonction carré :

2 1 :f x x ;

2 2

1 :

2 f x x ; 23 : 1f x x  ;  

2 4 : 2f x x  ;

2 5 : 1f x x  ;

2 6 : 2 3f x x x  .

1. Associer à chaque fonction la courbe qui lui correspond. On notera P1 la parabole représentant f1 , P2 celle représentant f2 , ...

2. Quelle transformation géométrique permet de passer de la parabole représentant la fonction carré à la parabole représentant chacune des fonctions f1 , f3 , f4 , f5 , f6 ?

11. Tableau de variation

f est une fonction paire définie sur  6 ; 6 dont on connaît une partie du tableau de variations :

x −6 0 2 5 6

f(x)

5 3

2

0

1. Compléter ce tableau de variations.

2. Tracer une représentation graphique de f en utilisant que des segments de droite.

3. Existe-t-il d’autres fonctions paires ayant le même tableau de variations que f ?

12. Fonction : symétrie centrale

Montrer que le point A de coordonnées (2, 1) est le centre de symétrie de la courbe représentative de la

fonction 3

( ) 2 3 2

f x x x

   

.

13. Fonction : quotient 1

Soit g la fonction définie sur    ; 3 3 ;    par :   ( 3)( 1)² 2 ( 3)

4 ( 3)

x x x x g x

x x

    

 .

1. Montrer que   ² 1

4

x g x

x

  pour tout    ; 3 3 ;x     .

2. Quel est le plus grand ensemble sur lequel la fonction g pourrait être définie ? (c’est à dire quels sont les x pour lesquels g(x) peut être calculé).

3. Etudier la parité de la fonction g.

4. Quelle propriété la courbe représentative de g possède-t-elle ?

5. Existe-t-il un ou des antécédent(s) de 0 par g ?

14. Fonction : quotient 2

Soit f la fonction définie sur    ; 1 1 ;E      par   ( 1) ² 2 1

2 ( 1)

x x x x f x

x x

    

 .

1. Montrer que   1

2 f x

x

  pour tout x E .

2. Pouvez-vous trouver les images de −1 ?, 0 ?, 2 ?

3. Quel est le plus grand ensemble sur lequel la fonction f peut être définie ? (c’est à dire quels sont les x pour lesquels le nombre f(x) peut être calculé).

4. Montrer que la fonction f est impaire.

5. Quelle propriété la courbe représentative de f possède-t-elle ?

15. Fonction : quotient 3

On considère la fonction f définie par   2

1

x f x

x  

.

1. Déterminer l’ensemble de définition de f.

2. Déterminer les images de 3

7  et 5 par f (rendre rationnel le dénominateur).

3. Résoudre par le calcul :   2f x  ,   0f x  ,   3f x x  .

4. Recopier sur la copie et compléter le tableau de valeurs suivant :

x −5 −4 −3 −2 −1 0 0,5 0,75 1 1,25 1,5 2 3 4 5 6 7

f(x)

5. Dans un repère orthonormal ( ; , )O i j , unité = 1 cm, sur une feuille à part, tracer

D1 représentation graphique de 1x  ,

D2 représentation graphique de 2y  ,

D3 représentation graphique de 3y x  ,

Cf représentation graphique de la fonction f pour  5 ; 7x  .

6. Retrouver graphiquement les solutions de   2f x  ,   0f x  ,   3f x x  .

16. Fonction : quotient 4

Soit g la fonction définie par 5 13

( ) 3

x g x

x

 

 .

1. Donner l'ensemble de définition Dg de g.

2. Trouver deux réels a et b tels que pour tout x élément de Dg, ( ) 3

b g x a

x  

 .

3. En déduire les variations de g.

17. Fonction : quotient 5

Soit f la fonction donnée sur [−10 ; 10] par 2

( ) 3

x f x

x

  

.

1. Pour quelle valeur de x ne peut-on pas calculer f(x)?

2. En déduire son ensemble de définition.

3. Quelle est l’image par f de : −5 ? 3 ? 3

4 ?

4. Déterminer le (ou les) antécédent(s) de 3 par f.

18. Fonction : quotient 5

Soit la fonction 2

( ) 3

x f x

x

  

, C sa courbe représentative dans un repère orthonormé,

1. Déterminer les valeurs de x pour lesquelles les images par f sont positives ou nulles

2. Montrer que –1 n'a pas d'antécédent par f.

3. Trouver deux nombres a et b tels que ( ) 3

b f x a

x  

 .

4. Tracer la courbe C de f, ainsi que les droites (x = –3) et (y = –1).

5. Déterminer graphiquement la position de C par rapport à la droite y = x – 2, puis algébriquement.

19. Fonction : quotient 6

Soit la fonction 2 1

( ) 1 3

x f x

x

  

. On veut écrire f de manière différente. Pour cela on suppose que f peut

s’écrire ( ) 1 3

b f x a

x  

 .

1. En choisissant deux valeurs de x et en remplaçant dans les deux formes de f, trouver un système satisfait par a et b.

2. Résoudre le système.

3. Vérifiez que votre résultat est correct….

4. Etudiez les variations de f et dressez son tableau de variations.

20. Fonction : quotient 7

Soit la fonction 5

( ) 1 3

f x x

  

.

1. Déterminer son ensemble de définition. Etudier les variations et dresser le tableau de variations de f.

2. Tracer les droites (x = 3), (y = 1) et la courbe (C) dans un même repère.

3. Déterminer l'intersection si elle existe entre (C) et (y = 1).

4. Résoudre graphiquement puis algébriquement l'inéquation f(x) > –1.

21. Fonction : quotient 8

Soit la fonction 8 2

( ) 3

x f x

x

  

.

1. Déterminer son ensemble de définition. Trouver les valeurs de a et b tels que ( ) 3

b f x a

x  

 . Cette

fonction est-elle paire ? impaire ? 2. Déterminer le sens de variation de f. Dresser le tableau de variations de f.

3. Tracer les droites (x = 3), (y = 2) et la courbe (C) dans un même repère. Déterminer l'intersection si elle existe entre (C) et (y = 2) .

4. Pour quelles valeurs de x la courbe (C) est -elle au dessus de l'axe x'Ox ? La courbe (C) coupe-t-elle la droite (y = 2) ?

5. Résoudre graphiquement puis algébriquement l'inéquation f(x) > 4 − x.

6. Même question avec f(x) < x + 2.

22. Fonction : quotient 9

On considère la fonction f définie par 2 4

( ) 3

x f x

x

  

. (C) sa courbe représentative dans un repère

orthonormal (unité 1 cm).

1. Déterminer son ensemble de définition E et montrer que pour tout x de E 2

( ) 2 3

f x x

  

. Montrer

que le point A(3 ; 2) est centre de symétrie de (C). Déterminer le sens de variation de f et dresser son tableau de variation.

2. Tracer (C) soigneusement en précisant quelques valeurs de f.

3. Résoudre algébriquement les inéquations

* f (x)  0 * f(x)  4 * f(x) = x + 5

Donner une interprétation graphique de ces équations.

4. On considère les points B et C de la courbe (C) d'abcisses respectives −1 et 4 . Déterminer une

équation de la droite (BC) et en déduire la résolution de l'inéquation 1

( ) 2 2

f x x 

5. Résoudre graphiquement le systême

2 4 0

( )

3

x y

y f x

x

    

 

6. La courbe (C) coupe l'axe des abcisses en D . Déterminer l'aire du triangle BCD.

23. Fonction : quotient 10

Soit la fonction 2

1 ( )

1 f x

x  

C sa courbe représentative dans un repère orthonormal  , ,O i j (unités : 3

cm par axe).

1. Vérifier que f est définie sur . Montrer que f est croissante avant 0 et décroissante après, dresser son tableau de variations.

2. Soit la droite D d’équation 1

1 2

y x   . Vérifier que D passe par le point A d’abscisse 1 de la courbe C.

Déterminer l’équation de la droite D’ symétrique de la droite D par rapport à l’axe (y’Oy) . Tracer D, D’ puis C.

3. Déterminer l’ordonnée du point de D d’abscisse 1,02 puis du point de D d’abcisse 0,96. Calculer f(1,02) et f(0,96). Que constate-t-on ?

4. Résoudre graphiquement puis par le calcul les (in)équations suivantes :

* f(x) = 1 ; * f(x) = 2 ; * f(x) < 1

2 .

24. Fonction : quotient 11

Soit la fonction 2

1 ( ) 2

4 f x

x  

 .

1. Déterminer son ensemble de définition.

2. Déterminer à l’aide de la calculatrice le sens de variation de f. Justifiez ce que vous avez trouvé.

3. Tracer la courbe représentative C de f dans un repère orthonormé  , ,O i j .

4. Résoudre graphiquement l'inéquation f(x) < 0.

5. Déterminer graphiquement puis par le calcul l’intersection entre C et la droite D(y = 2).

6. Déterminer graphiquement puis par le calcul la position de C par rapport à la droite D’(y = 1).

25. Fonction : quotient 12

Partie A : On appelle f la fonction définie sur par 2( ) 4 3f x x x   .

1. Calculer ( 1)f  .

2. Déterminer par le calcul les antécédents de 3.

3. a. Montrer que   ( ) 3 1f x x x   .

b. En déduire la résolution dans de l’équation ( ) 0f x  .

4. On cherche à démontrer que f admet un minimum en 2.

a. Calculer (2)f .

b. Etudier le signe de ( ) (2)f x f .

c. Conclure.

Partie B : On appelle g la fonction définie par 2

( ) 3

x g x

x

  

.

1. Donner Dg l’ensemble de définition de g.

2. Rechercher le (ou les) antécédents de 0 par g.

3. En utilisant la calculatrice, calculer les valeurs de g(x) à 0,1 près pour x compris entre −2 et 6 par pas de 0,5.

4. Résoudre l’inéquation ( ) 2g x  .

5. a. Montrer que 1

( ) 1 3

g x x

  

.

b. Etudier les variations de la fonction g sur  ; 3 .

c. On admettra que les variations de la fonction g sont les mêmes sur  3 ;  que sur  ; 3 . Dresser le tableau de variation de la fonction g .

6. Représenter graphiquement dans un repère orthonormé la fonction g sur l’intervalle [−2 ; 6].

7. Résoudre graphiquement ( ) ( )g x f x . Les valeurs lues sur le graphique seront données à 0,1 près.

26. Fonction : Mise en équation

Construire un triangle ABC tel que AB = 12, BC = 16 et CA = 8 ( unité : 1 cm) . Soit E un point de [AB] , on pose AE = x .

La parallèle à (BC) menée par E coupe [AC] en F . La parallèle à (AB) menée par F coupe [BC] en K. Faire la figure....

1. Calculer en fonction de x les périmètres P1, P2 et P3 du triangle AEF et des quadrilatères EFCB et EFKB.

2. Calculer x pour que P1 = P2. 3. Représenter dans le même repère les fonctions P1(x) et P2(x). Retrouver le résultat du 2.

4. Résoudre l'équation P1= P3. Représenter P3(x) sur la figure précédente.

27. Fonction : 2nd degré

Soit la fonction 2( ) 2 4 6f x x x    .

1. Tracer sa courbe représentative (C) dans un repère orthonormal (unités=1 cm).

2. Trouver les nombres a et b tels que 2( ) 2 ( )f x x a b      

.

2. Etudier les variations de f et dresser son tableau de variations.

3. Résoudre graphiquement l'inéquation f(x)<0.

4. Tracer sur la même figure la droite (AB) où A a pour coordonnées (–2, 4) et B(1, 0) ; trouvez graphiquement les points d’intersection de (C) et de (AB).

5. Déterminez l’équation de la droite (AB) et vérifiez par le calcul ce que vous avez trouvé au 4.

6. Déterminez graphiquement les abscisses des points du plan pour lesquels la droite (AB) est au dessus de (C).

28. Fonction : 2nd degré

Dans un repère, on considère le point A(3 ; 1) et la droite D d'équation y = 2x .

1. Soit M le point de D d'abcisse x. Exprimer AM 2 en fonction de x seulement.

2. Soit 2( ) 5 10 10f x x x   . Trouver a, b, c tels que   2( )f x a x b c   . En déduire le sens de variation de f. Dresser son tableau de variations. Tracer sur la même figure la droite D et la courbe P représentant f.

3. Montrer que AM 2 est minimum pour une valeur de x que l'on précisera. Aurait on pu le deviner ?

29. Fonction : 2nd degré (c)

Soit la fonction 2( ) 2 3 5f x x x   .

1. Tracer sa courbe représentative (C) dans un repère orthonormal (unités=1 cm).

2. Trouver les nombres a et b tels que 2( ) 2 ( )f x x a b     

.

3. Etudier les variations de f et dresser son tableau de variations.

4. Résoudre graphiquement l'inéquation f(x) < 0.

p. 1

5. Résoudre par le calcul l’équation ( ) 0f x  .

6. Tracer sur la même figure la droite (AB) où A a pour coordonnées (−1, 0) et B(2, −3) ; déterminez l’équation de la droite (AB).

Quelle inéquation doit-on résoudre si l’on veut déterminer les valeurs de x pour lesquelles (C) est au- dessus de (AB) ?

Correction

1.

-10

-5

0

5

10

15

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

y

2. On développe :

2 2 2 2 2( ) 2 ( ) 2 2 2 4 2 2f x x a b x ax a b x ax a b                 

; en identifiant les coefficients, on a

2

4 3 3 / 4 3 / 4

2 5 2(9 / 16) 49 / 8 49 / 162 2 5

a a a

b ba b

          

          

d’où 2

3 49 ( ) 2

4 16 f x x

           

.

3. Les variations dépendent en fait du terme 2

3

4 x    

  qui change de sens de variation suivant que

3

4 x

(décroissant) ou 3

4 x  (croissant) ; lorsqu’on soustrait

49

16 ça ne change rien et lorsqu’on multiplie par

2 non plus.

4. On voit sur la figure que f(x) est négatif (C en dessous de l’axe Ox) lorsque x est entre −1 et 2,5. La

solution est donc ] 1 ; 2, 5[ .

5.   2

3 49 3 7 3 7 5 ( ) 0 2 0 2 0 1 0

4 16 4 4 4 4 2 f x x x x x x

                                  

          

. On retrouve

bien les solutions −1 et 5/2.

x

f

−∞ 3/4 +∞

−49/8

6. 1 2 1

3( 1) 3 0 1 0 1 3

x x y x y y x

y

              

 .

Il faut résoudre ( ) 1f x x   ; les solutions sont ici : ] ; 1] [2 .; [x     .

30. Fonction : 2nd degré et valeur absolue

La fonction f est définie sur par 2( ) 2 3f x x x    . On appelle C sa courbe représentative dans le

plan rapporté à un repère orthonormal  , ,O i j (unité 2 cm).

1. Vérifier que 2( ) ( 1) 4f x x    pour tout x réel.

2. a. Etudier les variations de f sur ]−, 1] puis sur [1, +[ et dresser son tableau de variations.

b. f admet-elle un minimum sur l’intervalle [0, 4] ? Si oui, quel est ce minimum et pour quelle(s) valeur(s) de x est il atteint ?

3. a. Préciser par le calcul les coordonnées des points d’intersection de C avec les axes de coordonnées.

b. Résoudre graphiquement puis par le calcul l’inéquation ( ) 0f x  .

c. Soit A le point d’intersection de C avec l’axe vertical y’Oy et B le point d’intersection de C avec l’axe horizontal x’Ox qui a une abscisse positive. Déterminer une équation de la droite (AB).

4. a. Calculer f(−2), f(0,5), f(1,5), f(2) , puis tracer C et (AB).

b. Résoudre graphiquement l’inéquation ( ) 3f x x   .

5. Soit la fonction g définie sur par 2

( ) 2 3g x x x    .

a. En utilisant le fait que x x si x est positif ou nul et x x  si x est négatif ou nul, par quelle

transformation géométrique peut-on en obtenir la représentation graphique de g dans le repère

orthonormal  ; ,O i j ?

b. Donner l’expression de g(x) lorsque x est positif ou nul et représenter g sur la figure précédente en

utilisant une couleur différente. En déduire la résolution graphique de l’inéquation ( ) 0g x  .

31. Fonction : 2nd degré

1. Soit la fonction 2( )P x ax bx c   . Déterminer a, b et c pour que l’on ait

P(–1)=0, P(1)= –4 et P(–2)=8.

2. Soit la fonction 2( ) 2 2 4f x x x   définie sur R . Tracez la courbe représentative (C) de f dans un

repère orthonormé (feuille entière, origine au milieu de la feuille, unitée= 2 cm ou 3 carreaux sur chaque axe). Dressez son tableau de variation (on prendra comme abscisse du minimum x=0,5).

3. Montrez que la fonction f est la même que la fonction P du 1.

4. Déterminez graphiquement suivant les valeurs de x les solutions de l’inéquation ( ) 0f x  puis celles de

( ) 2f x  (les explications doivent figurer sur la figure)

5. Vérifiez que 2

1 9 ( ) 2

2 4 f x x

           

; en déduire une factorisation de f(x) puis le signe de f(x). Quelles

sont alors les solutions de ( ) 0f x  ?

32. Fonction : 2nd degré et droite (c)

On considère la fonction f définie sur par 2( ) 3 1f x x x   dont la représentation graphique est la

courbe P et la fonction g définie sur par ( ) 4 3g x x   dont la représentation graphique est la droite

D.

On a représenté les deux courbes sur le graphique ci-dessous.

1. a. Vérifier que 2

3 5 ( )

2 4 f x x

       

.

b. Déterminer les coordonnées du minimum de f.

c. Dresser le tableau de variation de f après avoir justifié par calculs le sens de variation de f.

2. a. Résoudre graphiquement l’équation ( ) ( )f x g x .

b. Résoudre graphiquement l’inéquation ( ) ( )f x g x .

3. Soit ( ) ( ) ( )d x f x g x  .

a. Développer l’expression ( 1)( 2)x x  . En déduire que ( ) ( 1)( 2)d x x x   .

b. Retrouver par le calcul les solutions de la question 2. a. et de la question 2. b.

4. L’affirmation « si a et b sont deux nombres réels tels que 2 1a b    , alors on a l’inégalité

1 ( ) ( ) 15f b f a    » est-elle vraie ou fausse ? Justifiez votre réponse.

Correction

1. a. 2

2 23 5 3 9 5( ) 2 3 1 2 4 2 4 4

f x x x x x x               

.

b. Comme 2

3

2 x    

  est toujours positif ou nul, le minimum de f est obtenu pour

3

2 x  et vaut alors

5

4  .

c. Prenons 2 2 2 2

3 3 3 3 3 3 5 3 5 0 ( ) ( )

2 2 2 2 2 2 4 2 4 a b a b a b a b f a f b

                                 

        donc f est

décroissante.

2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 5 3 5

0 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 2 4

a b a b a b a b f a f b        

                                 

donc f est croissante.

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

x

y

P

D

2. a. Les courbes se coupent en 2x   et en 1x  donc l’équation ( ) ( )f x g x a pour solutions −2 et 1.

b. La courbe de f est en dessous de la courbe de g lorsque 2 1x   , donc l’inéquation ( ) ( )f x g x a pour

solution l’intervalle [ 2 ;1] .

3. a. 2 2( 1)( 2) 2 2 2x x x x x x x         et 2 2( ) ( ) ( ) 3 1 4 3 2d x f x g x x x x x x          donc

( ) ( 1)( 2)d x x x   .

b. On a ( ) ( )f x g x lorsque ( ) 0d x  , soit lorsque 2x   ou 1x  ; on a ( ) ( )f x g x lorsque

( ) ( 1)( 2) 0d x x x    d’où aprsè un tableau de signes la solution [ 2 ;1] .

4. Lorsque 2 1a b    , la fonction f est décroissante, on a donc (1) ( ) ( ) ( 2)f f b f a f    or (1) 1f   et

( 2) 11f   d’où 1 ( ) ( ) 11f b f a    ; comme par ailleurs 11 15 , ona bien 1 ( ) ( ) 15f b f a    .

33. Fonction : valeur absolue

Un campeur arrive dans un camping et souhaite installer sa tente dans un endroit bien choisi afin de faire le moins de distance possible lors de ces déplacements.

Notre campeur fréquente surtout trois lieux qui sont alignés :

- la piscine, où il se baigne deux fois par jour ;

- le restaurant, où il va manger trois fois par jour ;

- la douche, où il se rend une fois par jour.

Entre deux activités (piscine, restaurant, douche), notre campeur repasse toujours par sa tente.

Le restaurant est équidistant de la piscine et de la douche.

1. Ces trois lieux peuvent être considérés comme trois points P, R et D d’une droite graduée, d’abscisses respectives 0, 1 et 2.

Exprimer, à l’aide de la valeur absolue, la distance

- de la tente à la piscine TP

- de la tente au restaurant TR

- de la tente à la douche TD.

2. On définit sur la fonction d par : d(x) = 2 x + 3 1x  + 2x  .

a. Que représente d(x) ?

b. Calculer d(0), d(1) et d(2). Que représentent ces trois nombres ?

c. A l’aide de la calculatrice, donner la valeur de x pour laquelle d est minimale. Quel endroit doit donc choisir le campeur pour installer sa tente ?

34. Fonction : 2nd degré (c)

ABCD est un trapèze rectangle tel que AB = 6 cm, CD = 2 cm, AD = 4 cm. M est un point de  AD . On

pose AM = x cm.

On construit le rectangle AMNP inscrit dans ABCD comme sur la figure.

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