Travaux pratiques - fonctions - 2° partie, Exercices de Calcul avancé
Eusebe_S
Eusebe_S20 May 2014

Travaux pratiques - fonctions - 2° partie, Exercices de Calcul avancé

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Travaux pratiques de sciences mathématique sur les fonctions - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: fraction continue, optimisation, résolution d’équation, Courbe, équation, inéquation, Tableau de ...
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P

N

M

CD

BA

1. Soit H le projeté orthogonal de C sur (AB).

a. Montrer que le triangle BCH est isocèle rectangle.

b. Montrer que le triangle BPN est isocèle rectangle.

c. Montrer que AM = BP = x.

2. Quelles sont les valeurs possibles pour x ?

3. Démontrer que : aire (AMNP) = 6xx 2 .

4. a. Calculer l’aire du trapèze ABCD.

b. Calculer l’aire des triangles CDM et ABM.

c. En déduire que : aire (BCM) = 12 – 2x.

5. On pose f(x) = 6xx 2 et g(x) = 12 – 2x.

a. Utiliser la calculatrice pour compléter le tableau de valeurs de f :

x 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

f(x)

b. Tracer la courbe de f dans le repère ci-dessous.

x

y

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0

2

4

6

8

c. Tracer sur le même repère la représentation graphique de la fonction g.

d. Lire sur le graphique les coordonnées du point d’intersection K des deux courbes. Quels renseignements les coordonnées de ce point donnent-elles à propos des aires de BCM et AMNP ?

6. On se propose de déterminer par le calcul la valeur de x pour laquelle les aires de AMNP et de BCM sont égales.

a. Développer (x – 4) 2 – 4.

b. Ecrire l’équation permettant de calculer x pour que les deux aires soient égales.

c. A l’aide de la réponse obtenue au 6. a., résoudre cette équation et conclure.

Correction

H

4 cm

2 cm

6 cm P

N

M

CD

BA

1. a. BCH est rectangle car (CH) est orthogonale à (AB) ; il est isocèle car

6 2 4BH AB CD AD CH       .

b. BPN est isocèle rectangle car les triangles BPN et BCH sont semblables.

c. Comme BPN est isocèle rectangle, on a x AM PN PB   .

2. Le point M peut varier entre A et D, donc 0 4x  .

3. aire (AMNP) = AM.AP = x(6−x) = 6xx 2 .

4. a. Le trapèze ABCD a pour aire 2 6 2

.4 16 cm 2

  .

b. CDM a pour aire 1

(4 )2 4 2

x x   , ABM a pour aire 1

.6. 3 2

x x .

c. aire( ) aire( ) aire( ) aire( ) 16 3 (4 ) 12 2BCM ABCD ABM CDM x x x         .

5. f(x) = 6xx 2 et g(x) = 12 – 2x.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

x

y

d. K a pour coordonnées 2 et 8 : pour 2x  on a donc égalité entre les aires de BCM et AMNP.

6. a. 2 2 2( 4) 4 8 16 4 8 12x x x x x         .

b. Les deux aires sont égales lorsque 2 2( ) ( ) 6 12 2 8 12 0f x g x x x x x x         .

c. Il s’agit évidemment de la même chose, on a donc à résoudre : 2( 4) 4 4 2 6 ou 2x x x x         , mais la solution 6 ne marche pas.

35. Fonction : 3ème degré

Soient a, b, 2 réels.

1. Vérifier que l’on a 3 3 ( )( ² ²)a b a b a ab b     .

2. Vérifier que l’on a 3

² ² ( )² ² 2 4

b a ab b a b     .

3. En remarquant que 2 3

² 2 4

b a b     

  est toujours positif, montrer que si a b alors 3 3 0a b  .

4. Qu’en déduit-on quand au sens de variation de la fonction Cube : 3x x ?

36. Fonction : fraction continue

1. Représenter sur le même graphique la parabole (P) d’équation 2y x , l’hyperbole (H) 1

y x  et la

droite (D) 1y x  .

2. Déterminer graphiquement les solutions des inéquations 2 1

x x  et 2 1 0x x   .

3. Justifier que l’équation 2 1 0x x   a deux solutions a et b comprises respectivement entre 2

3  et

1

2  pour a et entre

3

2 et

5

3 pour b.

4. En cherchant une méthode pour trouver de manière plus précise la valeur de b on tient le

raisonnement suivant : puisque 2 1b b  , je peux écrire 1

1b b

  d’où 1

1 1

1

b

b

 

puis 1

1 1

1 1

1

b

b

 

,

etc. Justifier les diverses étapes du raisonnement tenu.

5. Calculer les nombres 1 1

1 1

1 1

1 2

b  

et 2 1

1 1

1 1

1 1

1 2

b  

. Est-ce que b1 et b2 sont de meilleures

approximations de b que celles obtenues au 3. ?

37. Fonction : optimisation

Une boîte parallélépipédique à base carrée, d’un volume de 64 dm3 est construite dans un matériau qui revient à 3 centimes le cm2 pour le fond et le couvercle et à 2 centimes le cm2 pour la surface latérale.

1. A combien revient un dm2 de matériau pour le fond ? pour les côtés ? Combien coûterait une boîte de 20 cm de côté sur 30 cm de hauteur ?

2. Montrer que, en posant le côté du carré x et la hauteur de la boîte h, on a le volume 2 64V x h  et on

a la surface 2 256

( ) 2S x x x

  . Quelles sont les valeurs maximales et minimales de x et h ?

3. Tracer la courbe représentant S sur l’intervalle ]0, 4] (on prendra 2 cm pour 1 unité en abscisse et 1 cm pour 5 unités en ordonnée).

4. Trouver à la calculatrice et à 10–1 près la valeur de x pour laquelle la surface de la boîte est minimale. Dresser le tableau de variation de S sur [0, 4].

5. Donner alors le volume de la boîte correspondant à la surface minimale. Quel est alors le coût de revient de la boîte.

6. Déterminer graphiquement les valeurs de x pour lesquelles on a S(x) < 120. Entre quelles valeurs évolue alors le coût de revient de la boîte ?

7. En fait on veut minimiser le coût de revient de la boîte. Quelle fonction devrait-on utiliser pour ce faire ?

38. Fonction : résolution d’équation

On veut résoudre à la calculatrice l’équation f(x) = 0 où 3 2( ) 1,01f x x x x   .

1. Expliquer en traçant la fonction pourquoi il y a trois solutions. Vérifier qu’une des solutions est 0.

2. A l’aide du zoom ou du mode trace, donner des valeurs approchées à 10—2 près de ces solutions. Contrôlez votre résultat avec un calcul.

39. Distance d’un point à une droite (c)

Dans un repère, on considère le point A(−1, 1) et la droite (D) d'équation y =−2x .

1. Soit M le point de (D) d'abcisse x. Exprimer 2AM en fonction de x seulement.

2. Soit 2( ) 5 6 2f x x x   . Trouver a et b tels que   2( ) 5f x x a b   . En déduire le sens de variation de f. Montrez que f(x) est toujours strictement positive.

3. Montrer que AM 2 est minimum pour une valeur de x que l'on précisera. Quelles sont alors les

coordonnées de M ? Aurait on pu le deviner ?

4. Déterminer à l’aide de votre calculatrice les valeurs de x pour lesquelles on a ( ) 2f x  . Quelle

interprétation géométrique pouvez-vous donner de cette inégalité et de sa solution ?

Correction

1. M le point de (D) d'abcisse x a pour coordonnées ( , 2 )x x . On a en général 2 2 2( 1) ( 1)AM x y    et

ici particulièrement 2 2 2 2 2 2( 1) ( 2 1) 2 1 4 4 1 5 6 2AM x x x x x x x x              .

2. 2( ) 5 6 2f x x x   .   2 2 2( ) 5 5 10 5 5f x x b c x bx b c       d’où

2

2 2

3 33 10 6 3 15 55

( ) 5 9 2 10 9 12 5 255( ) 2

25 5 25 25 255

b bbb f x x

b c c cb c

             

                            

    

.

f est donc décroissante pour 3

5 x   et croissante pour

3

5 x   . Par ailleurs

2 3 1

5 25 x     

  est une

somme de termes positifs et est donc positive. On peut remarquer que ( )AM f x .

3. Comme 2 ( )AM f x , AM 2 est minimum pour

3

5 x   et son minimum est alors

1 1 ( 3 / 5) 5 0

25 5 f

       

. Les coordonnées de M sont alors 3 6

; 5 5

     

et c’est le point où (D) est le plus

près de A.

4. On a ( ) 2f x  lorsque 6

; 0 5

x      

: pour ces x la distance entre (D) et A est inférieure à 2 .

40. Courbe, équation, inéquation

Cette courbe est la représentation graphique d’une fonction f dans un repère orthonormal ( ; , )O i j .

1. Décrire les variations de f.

2. Déterminer graphiquement une valeur approchée des antécédents de 1 puis toujours graphiquement une valeur approchée de l’image de 2.

3. Tracer la représentation graphique de la fonction g définie par   2g x x  .

4. Résoudre graphiquement l’équation f(x) = g(x).

5. Résoudre graphiquement l’inéquation f(x) > g(x) .

41. Tableau de variation,inéquation

Le tableau de variations suivant est celui d’une fonction f définie sur  0 ; 7 (attention : f n ‘est pas définie par intervalles).

x 0 2 4 5 7

−1 2

f(x)

0

−3 0

1. Dessiner une courbe correspondant à ces données.

2. Résoudre graphiquement l’inéquation ( ) 0f x  (décrire les étapes).

3. Quel est l’ensemble des réels k tels que l’équation ( )f x k ait une seule solution ? (justifier).

42. Courbe, équation, inéquation

Ci-dessous la parabole représentative de la fonction carré dans un repère orthogonal.

Utiliser cette représentation (et éventuellement le prolongement que l'on peut lui imaginer...) pour répondre aux questions suivantes :

1. Résoudre l'équation x2 = 4.

2. Résoudre l'inéquation 2 1x  .

3. Résoudre l'inéquation x2 > 4.

4. Compléter : * si 1 < x < 2 alors 2x  ..................

* si x < 2 alors 2x  ....................

* si 1x   alors 2x  ....................

* si 1

; 3 2

x      

alors 2x  ....................

* si  ; 1x  alors 2x  ...................

* si  2 ; 5x  alors 2x  ....................

* si  2 ;x  alors 2x  ....................

5. Résoudre ( graphiquement ) l'équation x2 = x.

6. Résoudre (toujours graphiquement) l'inéquation x2 < 2x.

7. Contrôler les résultats de 5. et 6. par une résolution algébrique

43. Fonction affine par morceaux

1. Pourquoi la représentation graphique ci-contre est bien celle d’une fonction ?

On nomme f cette fonction.

2. Quel est l’ensemble de définition de f ?

3. De quel type est cette fonction ? Pourquoi ?

4. Résoudre graphiquement les équations f (x) = 3 et f (x) = 5.

5. Soit  un réel. Pour quelles valeurs de  l’équation  f x  n’a-t’elle pas de solutions ?

44. Fonction : inéquations (voir également équations-inéquations)

Soient les fonctions 3( ) 8f x x  et ( ) 4 8g x x   représentées ci-dessous.

1. a. Résoudre graphiquement l’équation f(x) = g(x).

b. Résoudre graphiquement l’inéquation ( ) ( )f x g x .

2. Factoriser l’expression ( ) ( )f x g x .

3. Résoudre alors par le calcul l’équation et l’inéquation du 1.

On complétera les figures 2 et 3 jointes que l’on rendra avec la copie.

45. Fonction : inéquations et degré 3 (c)

Le but de l’exercice est de déterminer les dimensions d’un rectangle inscrit dans une parabole de sorte que son aire soit maximale. Nous nous intéresserons également à quelques questions subsidiaires.

1. On considère la parabole représentée par la fonction 2( ) 9f x x   sur l’intervalle [−5 ; 5].

a. Etudier les variations de f sur l’intervalle [−5 ; 0] puis sur [0 ; 5], dresser son tableau de variations et tracer sa courbe représentative (P) sur la feuille jointe (figure 2).

b. On considère le rectangle MNPQ où les points ont pour coordonnées : M(x ; f(x)), N(−x ; f(−x)), P(−x ; 0) et Q(x ; 0). Tracer MNPQ pour x = 2 puis pour x = 4.

2. On prend x dans l’intervalle [0 ; 3].

a. Montrer que l’aire de MNPQ est donnée par 3( ) 2 18g x x x   .

b. Calculer les valeurs exactes de cette aire pour x = 1, 3x  , x = 2, x = 3.

3. La courbe représentative de g est donnée sur la figure 3. Faire le tableau de variation de g sur [0 ; 3].

4. A l’aide de votre calculatrice donnez une valeur approchée à 210 près du maximum de g(x) et de la valeur x0 pour laquelle ce maximum est atteint. Quelle vous semble être la valeur exacte de x0 ?

5. Résoudre graphiquement l’inéquation ( ) 12g x  .

6. On prend x réel quelconque : résoudre par le calcul l’inéquation ( ) 0g x  . A votre avis pour quelle

raison s’est-on limité à l’intervalle [0 ; 3] au début de cette partie ?

Figure 2

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

-3 -2 -1 0 1 2 3

x

y

y = f(x)

y = g(x)

-18

-13

-8

-3

2

7

12

17

-6 -4 -2 0 2 4 6

x

y

Figure 3

0

5

10

15

20

25

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

x

y

Correction

1. a. Lorsque 0a b  , on a 2 2 2 2 2 29 9 ( ) ( )a b a b a b f a f b            donc f est croissante ;

lorsque 0 a b  f est décroissante.

b.

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

-6 -4 -2 0 2 4 6

x

y

2. a. Le rectangle MNPQ a pour largeur 2x et pour hauteur 2( ) 9f x x   ; son aire est donc

2 3( ) 2 ( 9) 2 18g x x x x x      .

b. x = 1, (1) 2 18 16g     ; 3x  , ( 3) 2(3 3) 18 3 12 3g     ; x = 2,

(2) 2.8 18.2 16 36 20g        et x = 3, (3) 54 54 0g     .

3.

4. Sans être très malin, on se doute que le maximum est obtenu lors que 3x  … et le maximum de

g(x) est alors 12 3 .

5. ( ) 12 [0 ; 0,7] [2,7 ; 3]g x x    .

6. 3 2( ) 0 2 18 0 2 ( 9) 0 2 ( 3)( 3) 0g x x x x x x x x           . On fait le tableau de signes, ce qui

donne : [ 3 ; 0] [3 ; [x    .

On s’est limité à [0 ; 3] car sinon on aurait pu avoir une aire négative… ce qui n’est pas terrible.

46. Similitude (c)

Soit ABCD un rectangle tel que AB = 1 et AD = 2.

Soit M un point du segment [DC]. On pose DM = x.

Le segment [AM] coupe la diagonale [BD] en un point K. Le point K se projette orthogonalement en H sur la droite (DC) et en L sur la droite (AB) (inutile de refaire la figure).

A

B C

D

M

K HL

1. Montrer que les triangles ABK et MDK sont semblables. Vérifier que le rapport de similitude vaut x .

2. On pose KH = h.

a. Exprimer KL en fonction de h.

b. Démontrer que (2 )x h h  .

c. En déduire que 2

1

x h

x  

.

3. Exprimer en fonction de x les aires des triangles DMK et ABK.

4. Montrer que l’aire de la portion du plan délimitée par la réunion des triangles ABK et DMK est 2 1

( ) 1

x f x

x

  

.

5. A l’aide de votre calculatrice déterminer la valeur de x pour laquelle cette aire est minimale et donner une valeur approchée de ce minimum.

Correction

x

g

0

0

1,7 3

g’ − +

0 0

21

1. AKB DKM car opposés par le sommet ; ABK KDM car alternes-internes ; les triangles sont

semblables et :

A M

s K K

B D

  

 

; le rapport de similitude est alors MK MD KD

AK AB KB   or

1

MD x x

AB   .

2. KH = h.

a. Comme AD = 2, on a 2 2KL KH h    .

b. Evidemment les hauteurs des triangles AKB et DKM sont dans le même rapport de similitude que les

triangles eux-mêmes, soit (2 ) 2

KH h x x h h x

KL h      

 .

c. 2

(2 ) 2 2 (1 ) 2 1

x h h x h x hx h hx x h x x h

x             

 .

3. 21 1 1 .2

Aire( ) . . 2 2 2 1 1

x x x DMK DM KH x h

x x    

  ;

1 1 1 Aire( ) . . .1.(2 )

2 2 1 ABK AB KL h

x    

 .

4. La somme des deux aires est évidemment 2 1

( ) 1

x f x

x

  

.

5.

0,7

0,75

0,8

0,85

0,9

0,95

1

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

x

y

Le minimum est aux environs de 0,4 et vaut environ 0,83.

47. Fonction : inéquations

Soit la fonction 2( ) 2 4 6f x x x    .

1. Tracer sa courbe représentative (C) dans un repère orthonormal (unités=1 cm).

2. Etudier ses variations et dresser son tableau de variations.

3. Résoudre graphiquement l'inéquation f(x)<0.

4. Tracer sur la même figure la droite (AB) où A a pour coordonnées (–2, 4) et B(1, 0) ; trouvez graphiquement les points d’intersection de (C) et de (AB).

5. Déterminez l’équation de la droite (AB) et vérifiez par le calcul ce que vous avez trouvé au 4.

6. Déterminez graphiquement les abscisses des points du plan pour lesquels la droite (AB) est au dessus de (C).

48. Tangente à la parabole et à l’hyperbole (c)

1. Tracer dans un repère orthonormé ( ; , )O i j (unité : 2 cm) les courbes 1

H y x

   

  ,  2P y x

et ( )D y x .

2. Résoudre graphiquement et par le calcul les inéquations : 2x x , 1

x x  et 2

1 x

x  .

3. On cherche s’il existe un point de H et un point de P ayant des tangentes parallèles.

Chercher graphiquement une réponse à la question…

4. Analytiquement le problème consiste à trouver une équation de la tangente en un point quelconque de chacune de ces courbes puis à identifier leurs coefficients directeurs de manière à répondre à la question.

a. Tangente à P : on considère un point A de coordonnées 2( ; )a a de P et une droite Dt de coefficient

directeur t passant par A. Montrer que l’équation de Dt est : 2y tx at a   .

b. En règle générale cette droite recoupe P en un autre point : montrer que cet autre point a pour abscisse x t a  ; déterminer son ordonnée.

c. Pour quelle valeur de t Dt ne recoupe-t-elle pas P ? En déduire l’équation de la tangente T à P en A.

d. Tracer les tangentes à P aux points d’abscisses −2, −1, 1 et 2.

5. Tangente à H : la méthode précédente pourrait éventuellement s’appliquer, mais elle manque de

généralité. On va procéder autrement : on considère deux points de H d’abscisses positives U 1

;u u

     

et

1 ;V v

v

     

.

a. Déterminer le coefficient directeur de la droite (UV) et montrer que cette droite a pour équation 1 1 1

y x uv u v

    .

b.On considère maintenant que V se confond avec U et que la droite (UV) se confond avec la tangente T’ à H en U : donner une équation de T’. Pour quelle raison a-t-on considéré u et v positifs ?

c. Tracer les tangentes à H aux points d’abscisses −2, −1, 1 et 2.

6. Vérifier que pour répondre à la question initiale il faut résoudre l’équation 2

1 2x

x   . En déduire les

coordonnées de l’unique point satisfaisant et tracer les tangentees correspondantes.

Correction

1.

2. Graphiquement : 2x x lorsque D est en dessous de P, soit pour ] ; 0[ ]1 ; [x    ;

1 x

x  lorsque D est en dessous de H, soit pour ] ; 1[ ]0 ;1[x    ;

et 2 1

x x  lorsque P est en dessous de H, soit pour ]0 ;1[x .

Par le calcul :

2 2 0 (1 ) 0x x x x x x       ; on fait le T.S, ce qui donne ] ; 0[ ]1 ; [x    ;

2 ( 1)( 1)1 1 1 0 0 0

x xx x x

x x x x

          ; on fait le T.S, ce qui donne ] ; 1[ ]0 ;1[x    ;

3 2 1 1 0

x x

x x

    ; or 3 31 0 1 1x x x      ; on a donc le T.S. suivant et le résultat ]0 ;1[x .

49. Fonctions et inéquations 1 (c)

Soit la fonction f définie par 6

( ) 1

f x x x

   

. C sa courbe représentative dans un repère orthonormé

( ; , )O i j (unités : 2 cm).

1. Quel est son ensemble de définition ?

2. Montrer que f est décroissante lorsque 1x   . Qu’en est-il lorsque 1x   ?

3. Déterminer par le calcul la position C par rapport à la droite D ( )y x  .

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

x

y

1 H y

x

   

 

 2P y x ( )D y x

x 0 1

x3−1 −

− + x

quotient

0

0

+

+

+ + −

0

4. Tracer D et C.

5. Déterminer graphiquement la position de C par rapport à (Ox).

6. Quelles inéquations doit-on résoudre pour répondre par le calcul à la question 5 ?

7. Vérifier que 2 6

( ) 1

x x f x

x

   

 puis que

2 2 1 256

2 4 x x x

           

   

. Résoudre alors par le calcul

l’inéquation ( ) 0f x  et conclure quand à la question 5.

Correction

1. { 1}fE    .

2. Prenons a et b tels que 1a b   , alors 1a b    et

1 1 6 6 1 1 0

1 1 1 1 a b

a b a b        

    ;

en ajoutant les deux inégalités, on a 6 6

( ) ( ) 1 1

a b f a f b a b

        

donc l’inégalité de départ a été

changée, la fonction est décroissante.

Lorsque 1x   c’est bien évidemment la même chose, cette condition n’intervenant pas.

3. Il nous faut le signe de la différence 6

( ) ( ) 1

f x x x

   

: lorsque 1x   , 6

0 1x

 donc C est au dessus

de D ; lorsque 1x   , 6

0 1x

 donc C est en dessous de D.

4.

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-5 -3 -1 1 3 5

x

y

5. Lorsque ] ; 3] ] 1 ; 2]x     C est au-dessus de (Ox) ; lorsque [ 3 ; 1[ [2 ; [x     C est en dessous

de (Ox).

6. On doit résoudre ( ) 0f x  pour savoir quand C est au-dessus de (Ox) ; ( ) 0f x  pour savoir quand C

est en dessous de (Ox).

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