Travaux pratiques - fonctions - 3° partie, Exercices de Calcul avancé
Eusebe_S
Eusebe_S20 May 2014

Travaux pratiques - fonctions - 3° partie, Exercices de Calcul avancé

PDF (458.0 KB)
13 pages
215Numéro de visites
Description
Travaux pratiques de sciences mathématique sur les fonctions - 3° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Triangle et 2nd degré, Aire d’un triangle rectangle, Trapèze, Triangle et rectangle.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Aperçu3 pages / 13
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document

7. On calcule : 2( 1) 66 6

( ) 1 1 1

x x x x f x x

x x x

          

   ; puis on vérifie en développant :

2 2 2 21 25 1 1 25 242 6

2 4 2 4 4 4 x x x x x x x

                                   

;

enfin on factorise :   2

1 25 1 5 1 5 3 ( 2)

2 4 2 2 2 2 x x x x x

                                           

, ce qui donne

pour f : ( 3)( 2)

( ) 1

x x f x

x

   

 . Il reste à faire le tableau de signes et l’on retrouve le résultat précédent.

50. Fonctions et inéquations 2 (c)

On munit le plan muni du repère orthonormal  ; ,O i j d’unité 2 cm ci-dessous dans lequel figure Cf la

courbe représentative de la fonction f. Et on définit sur [−5 ; 1]\{−1} la fonction g par2

( ) 2 1

g x x

  

dont la courbe représentative est notée Cg.

x −3 −1

0

x + 1

+

− −

x − 2

f(x)

0

0

+

+ + −

− −

− (x+3)

0 −

2

+

+

− 0

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-5 -4 -3 -2 -1 0 1x

y

A. Étude de la fonction f

1. Par simple lecture graphique :

a. Dresser le tableau des variations de f. Déterminer les extremums de f et les valeurs en lesquelles ils sont atteints.

b. Préciser le signe de f(x) en précisant clairement votre démarche.

2. On admet par la suite que sur [−5 ; 1], ( ) ² 4f x x x   . Retrouver par le calcul, le signe de f(x).

B. Étude de la fonction g

1. Déterminer les variations de g sur [−5 ; −1[ et sur ]−1 ; 1]. On dressera le tableau des variations de g.

2. a. Dresser le tableau de valeurs (arrondies au centième) de g sur [−5 ; 1]\{−1} par pas de 0,5.

b. Tracer, dans le repère, la courbe Cg avec soin.

C. Positions relatives des courbes

1. Montrer que 3 25 6

( ) ( ) 1

x x x f x g x

x

    

 .

2. Développer l’expression x(x + 2)(x + 3). En déduire une factorisation de f(x) – g(x).

3. Déterminer alors par le calcul les positions relatives des courbes Cf et Cg sur [−5 ; 1]\{−1}.

Correction

A. 1. a. Par simple lecture graphique, on a le tableau ci-contre.

On déduit du tableau de variations de f que le maximum de f est 4, atteint en −2 et que le minimum de f est −5 atteint en −5 et en 1.

b. La courbe de f est en-dessous de l’axe des abscisses pour x  [−5 ; −4[ puis pour x  ]0 ; 1].

La courbe de f est au-dessus de l’axe des abscisses pour x  ]−4 ; 0[.

x −5 −2 1

f(x)

4

−5 −5

La courbe de f intercepte l’axe des abscisses en −4 et en 0.

2. ( ) ² 4 ( 4)f x x x x x      . Les racines de f sont donc −4 et 0 : –x = 0

donne x = 0 et x + 4 = 0 donne x = −4.

On retrouve donc le tableau de signe ci-contre.

B. 1. Sur [−5 ; −1[ : soit a < b < – 1, alors a + 1 < b + 1 < 0 puis 1 1

1 1a b

  ,

2 2

1 1a b     

,

2 2 2 2

1 1a b     

; donc g(a) < g(b) et g est croissante sur [−5 ; −1[.

Sur ]−1 ; 1] : soit –1 < a < b, 0 < a + 1 < b + 1, 1 1

1 1a b

  ,

2 2

1 1a b     

, 2 2

2 2 1 1a b

    

donc g(a) < g(b), g est croissante sur

]−1 ; 1].

2. a. & b. Voir graphique

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-5 -4 -3 -2 -1 0 1x

y

Valeurs arrondies à 10−4 près.

x −5 −4,5 −4 −3,5 −3 −2,5 −2 −1,5 −0,5 0 0,5 1

x −5 −4 0 1

−x + + –

x+4– + +

f(x) – + –

x −5 −4 0 1

f(x) – + –

x −5 −1 1

g(x)

2,5

1

g(x) 2,5 2,5714 2,6667 2,8 3 3,3333 4 6 −2 0 0,6667 1

C. 1. 3 32 ( ² 4 )( 1) 2 4 ² ² 4 2 5 ² 6

( ) ( ) ² 4 1 1 1 1

x x x x x x x x x x x x x f x g x x x

x x x x

                   

    .

2. x(x + 2)(x + 3) = (x2 + 2x)(x + 3) = x3+ 3x2 + 2x2 + 6x = x3 + 5x2 + 6x. On déduit des deux questions

précédentes que ( 2)( 3)

( ) ( ) 1

x x x f x g x

x

    

.

3. Les racines du numérateur sont 0, −2 et −3. Et on dresse le tableau de signes suivant :

x −5 −3 −2 −1 0 1

−x + + + + −

x + 2 – – + + +

x + 3 – + + + +

x + 1 − − − + +

f(x) – g(x) − + − + −

On trouve donc par le calcul que

Cf est en-dessous deCg pour x  [−5 ; −3[ ]−2 ; −1[ ]0 ; 1].

Cf est au-dessus de Cg pour x  ]−3 ; −2[ ]−1 ; 0[.

Cf intercepteCg en −3 , en –2 et en 0 ce qui confirme bien ce qu’on voit sur les courbes.

51. Triangle et 2nd degré (c)

Une unité étant choisie, soit un segment [AB] de longueur 10, M un point du segment [AB]. Soient deux points R et P tel que les triangles AMR et MBP soient équilatéraux, on se propose dans ce problème d’étudier l’aire du triangle MRP lorsque M varie sur le segment [AB].

A.1. Soit Q l’intersection des droites (AR) et (BP). Montrer que le triangle ABQ est équilatéral.

2. Quel est la nature du quadrilatère MPQR, justifier votre réponse.

B. Soit x la longueur AM et f la fonction qui à x associe l’aire du triangle MPR.

1. Sur quel intervalle la fonction f est-elle définie ?

2. Déterminer l’aire des triangles AMR, MPB et ABQ en fonction de x.

3. Montrer que pour tout nombre réel x de l’intervalle [0 ; 10] on a 3

( ) (10 ²) 4

f x x x  .

C. 1. Dresser un tableau de valeurs de f avec environ une quinzaine de valeurs de x judicieusement choisies.

2. Tracer la représentation graphique de f dans un repère du plan (O, I, J) (OI=1 cm et OJ=1 cm).

3. Montrer que pour tout nombre réel x de l’intervalle [0 ; 10] on a 3 3

( ) ( 5)² 25 4 4

f x x    .

En déduire la valeur de l’aire maximale de ABQ et pour quelle valeur de AM elle est atteinte ? Retrouver graphiquement ce résultat.

4. Dresser le tableau de variation de f.

Correction

A. 1. ARM est un triangle équilatéral par conséquent l’angle MAR mesure 60°. MBP est aussi un triangle équilatéral par conséquent l’angle MPB mesure aussi 60°.

Dans le triangle ABQ on a : BAQ MAR 60   , ABQ MBP 60   .

la somme des angles d’un triangle étant de 180°, l’angle AQB mesure aussi 60°. Le triangle AQB est donc un triangle équilatéral.

2. Les angles AMR et MBP ont la même mesure de 60°, ils sont donc correspondants, les droites (MR) et (BP) sont alors parallèles. Ainsi les côtés [MR] et [PQ] du quadrilatère MPQR sont parallèles, de la même façon les côtés [RQ] et [MP] sont parallèles.

Le quadrilatère MPQR est un parallélogramme car il a ses côtés opposés parallèles.

B. 1. M est sur le segment [AB] de longueur 10, la longueur x du segment [AM] peut alors prendre n’importe quelle valeur entre 0 et 10. f est donc définie sur l’intervalle [0 ; 10] .

2. Formule de la longueur de la hauteur d’un triangle équilatéral de côté c : 3

2 c . Formule de l’aire d’un

triangle équilatéral de côté c : 3 3

² 2 2 4

c A c c   .

Aire du triangle AMR de côté x : 3

² 4

AMRA x ;

aire du triangle MPB de côté (10 − x) : 3

(10 )² 4

MPBA x  ;

aire du triangle ABQ de côté 10 : 3

100 4

ABQA  .

3. Sachant que MPQR est un parallélogramme on a :

 

1 1

2 2

3 3 31 ( ) 100 ² (10 )²

2 4 4 4

3 3 3 100 ² 100 20 ² (20 2 ²) (10 ²).

8 8 4

MPR MPQR MPR ABQ AMR MPB MPR

MPR MPR MPR

A A A A A A A x x

A x x x A x x A x x

            

  

             

D’où 3

( ) (10 ²) 4

f x x x  .

C. 1.

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4,5 5,5 4,8 5,2

f(x) 0 3,9 6,9 9,1 10,4 10,82 10,4 9,1 6,9 3,9 0 10,72 10,72 10,81 10,81

2.

3. On a pour tout nombre réel x de l’intervalle [0 ; 10] :

   

 

3 3 3 3 3 3 ( 5)² 25 ( 5)² 25 ( 5)² 25 ² 10 25 25

4 4 4 4 4 4

3 3 3 3 3 ( 5)² 25 10 ² ( 5)² 25 ( ).

4 4 4 4 4

x x x x x

x x x x f x

                 

          

On a 3

( 5)² 0 4

x   d’où 3 3 3

( 5)² 25 25 4 4 4

x    autrement dit 3

( ) 25 4

f x  ; comme

3 (5) 25

4 f  , on en déduit que

3 25

4 est un maximum pour f atteint en 5.

4.

x 0 5 10

f

3 25

4

0 0

52. Aire d’un triangle rectangle (1)

1. On donne BC = 5 cm . Construire sur la figure ci-contre uniquement à la règle et au compas un point D tel que le triangle DBC soit rectangle en D . Le point D est-il unique ?

2. On pose DB = x . Entre quelles valeurs x varie-t-il ?

3. Exprimer la longueur DC en fonction de x .

4. En déduire l’aire du triangle DBC en fonction de x. On la notera A(x) .

5. Compléter le tableau suivant :

B

C

Valeur de x (cm) 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,25 3,5 3,75 4 4,25 4,5

Valeur de DC (cm)

Aire de DBC (cm²)

6. Représenter graphiquement les points de ce tableau : le plan est rapporté à un repère orthogonal

( ; , )O i j . Les unités graphiques sont : 2 cm pour une unité sur l’axe des abscisses et 2 cm pour une unité

sur l’axe des ordonnées. On placera les valeurs de x en abscisse et les valeur de A(x) en ordonnée. Réunir ces points par une « courbe continue » (sans lever le crayon et sans utiliser la règle).

7. Comment varie A(x) lorsque x augmente de 0,5 à 3,5 ? Comment varie A(x) lorsque x augmente de 3,75 à 4,5 ?

8. Graphiquement, quel semble être le maximum de l’aire A(x) ? Pour quelle valeur de x est-il atteint ?

9. Géométriquement quelle est, à votre avis, la propriété du triangle DBC lorsque son aire est maximum ?

Calculer les valeurs de x et de A(x) correspondantes . On donnera des valeurs approchées à 0,01 près .

53. Aire d’un triangle rectangle (2)

Soit ABC un triangle rectangle en A tel que AB = 6 et AC = 12. E est un point du segment [AB] distinct de A et de B. On pose EB = x.

La parallèle à la droite (AC) passant par E coupe la droite (BC) en F. La parallèle à la droite (AB) passant par F coupe la droite (AC) en G.

On admet que le quadrilatère AEFG obtenu est un rectangle .

1. a. Prouver que BE AG

BA AC  . En déduire l’expression de AG en fonction de x.

b. Calculer l’aire A(x) du rectangle AEFG en fonction de x.

2. Compléter les tableaux ci-dessous (On donnera des valeurs approchées à 0,01 près).

Valeurs de x 0,1 0,5 1 1,5 2 2,25 2,5 2,75 2,9 3

Valeurs de A(x)

Valeurs de x 3,1 3,25 3,5 3,75 4 4,5 5 5,5 5,9

Valeurs de A(x)

3. Représenter sur papier millimétré la fonction A : xA(x) dans le plan muni d’un repère orthogonal (O, I, J). On posera OI = 2 cm et OJ = 1 cm .

4. En utilisant cette courbe, répondre aux questions suivantes :

a. Quelles sont les valeurs de x pour lesquelles l’aire du rectangle vaut 10 ?

b. Déduire de la question 1. la valeur de x pour laquelle le rectangle AEFG est un carré. Indiquer, grâce au graphique, l’autre valeur de x pour laquelle le rectangle a pour aire celle de ce carré .

c. On admet que la représentation graphique possède un axe de symétrie. Tracer cet axe sur la figure et donner son équation .

d. Quelle est la plus grande valeur de l’aire du rectangle AEFG ? Quelle est la valeur de x correspondante ? Où se trouve alors le point E sur le segment [AB] ?

54. Yin et Yang

Sur un diamètre [AB] d’un cercle de rayon 4 cm, on marque un point M. On désigne par 2x, avec

0 4x  , la longueur de AM.

On trace deux demi-cercles de part et d’autre de (AB), de diamètre [AM] pour l’un et [BM] pour l’autre.

Exprimer l’aire de la partie hachurée et déterminer pour quelle valeur de x cette aire est maximum. (Vous avez le choix de la méthode : graphique, algébrique...)

Correction

Les demi-disques de diamètre [AM] et [MB] ont pour aires : 2(2 ) 8

x

et 2(8 2 ) 8

x   . L’aire de la partie

hachurée est donc la somme des deux : 2 2( ) (8 2 ) (2 ) 8

A x x x       

. En développant, on trouve

finalement : 2( ) ( 4 8)A x x x   .

On a, entre autres, deux possibilités pour trouver le minimum :

1. on trace la courbe point par point pour x variant entre 0 et 4, avec un tableau de valeurs et on voit que le minimum est atteint pour x = 2. (Le tableau doit être assez précis et la courbe propre...) ;

2. on peut aussi le prouver par le calcul (plus difficile !). Pour cela, on écrit A(x) de manière différente ... 2( ) . ( 2) 4A x x    

  . Les deux termes dans le crochet sont toujours positifs et le minimum de A(x) est

atteint quand le premier est le plus petit possible et donc quand il vaut 0, c’est-à-dire pour x = 2 .

Dans tous les cas, on trouve que l’aire minimale vaut 4 cm

55. Trapèze (1)

ABCD est un trapèze rectangle tel que AB = 6, AD = 4 et CD = 2.

Le point M décrit le segment [AD]. Le réel x désigne la longueur AM. On construit le rectangle AMNP où N et P appartiennent respectivement aux Segments [BC] et [AB]. On admet que BP = AM = x.

1. Donner l’ensemble de nombres réels auquel appartient x.

2. Démontrer que l’aire A du rectangle AMNP en fonction de la longueur x est A = x(6 − x).

3. Soit la fonction f définie sur l’ensemble des nombres réels x tels que 0 4x  donnée par

( ) (6 )f x x x  .

a. Remplir le tableau de valeurs suivant (sur votre feuille) :

x 0 1 1.75 3 4

f(x)

b. Faire la représentation graphique de f : repère orthogonal, 2 cm pour 1 en abscisses, 1 cm pour 1 en ordonnées.

c. En utilisant la représentation graphique de f, donner la position de M pour laquelle l’aire A est maximale. Quelle est cette aire ?

d. Calculer l’image de 3

4 par f , de 2 2 par f .

e. Rechercher graphiquement les antécédents de 8 et 8,25 par f .

56. Trapèze (2)

ABCD est un trapèze tel que AB = 4, CD = 6 et AD=BC.

Soit A ‘(respectivement B’) le projeté orthogonal de A (respectivement de B) sur (CD), AA’= 4.

A B

x

( ) M H H’ N

M

2x A B

La droite ( ) parallèle à la base (AB) coupe [AD], [BC], [AA’] respectivement en M, N, H tels que AH = x.

D A’ C

1. Exprimer en fonction de x la longueur MH. On pourra raisonner dans le triangle AA’D.

2. En déduire une expression en fonction de x de la longueur H’N, puis de la longueur MN.

3. Calculer en fonction de x l’aire, notée f(x), du trapèze ABNM.

4. Préciser l’intervalle sur lequel la fonction f est définie.

5. Résoudre graphiquement à l’aide de la représentation graphique de f, l’inéquation f(x)  10. Donnez votre réponse sous forme d’un intervalle.

57. Triangle et rectangle

ABC est un triangle rectangle isocèle en A tel que : AB

= AC = 6 cm. M est un point du segment  AB tel que

AM = x (  0;6x ).

Soient  N BC et  P AC tels que le quadrilatère

AMNP soit un rectangle. On admettra que les triangles CPN et BMN sont isocèles.

1. Soit f la fonction qui, à chaque valeur de x, associe l’aire du rectangle AMNP.

a. Montrer que    6f x x x  .

b. Vérifier que     2

3 9f x x    .

c. Compléter le tableau de valeurs suivant et tracer la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (unité = 1cm).

x 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6

 f x

2. a. Comment varie f lorsque x varie de 0 à 3 ?

Soit x et x’ tels que 0 3x x   ; comparer à l’aide du graphique  f x et  f x .

b. Comment varie f lorsque x varie de 3 à 6 ?

Soit x et x’ tels que 0 3x x   ; comparer à l’aide du graphique  f x et  f x .

3. On va maintenant montrer les variations de f déterminées graphiquement à la question 2. en utilisant les variations de la fonction « carré ».

a. Montrer que   2

3x x  est décroissante sur  0 ; 3 et croissante sur  3 ; 6 .

b. En déduire les variations de   2

3x x  puis de   2

3 9x x   .

c. donner le tableau de variations de f sur  0 ; 6 .

d. en déduire que l’aire du rectangle AMNP est maximale pour une position particulière du point M que l’on précisera. Quelle est l’aire correspondante ?

58. Distance d’arrêt d’une automobile (c)

Lorsqu’un automobiliste perçoit un danger majeur, il freine « à fond » pour arrêter son véhicule.

La distance d’arrêt , c’est-à-dire la distance parcourue par le véhicule entre l’instant où l’automobiliste perçoit le danger et l’instant où le véhicule s’immobilise dépend évidemment de nombreux facteurs :

x

P

A M

N

B

C

qualité des réflexes du conducteur, état du véhicule, des pneus, de la route... Mais fondamentalement cette distance est donnée par la formule :

0,75 2,5 ²

100 10 d v v 

d est exprimée en mètres et v en km.h−1 .

1. Montrez, par le calcul, que la fonction 0,75 2,5

: ² 100 10

f v v v est croissante sur  0 ;  . On a d = f(v).

2. a. Faites le tableau des valeurs de d pour des valeurs de v : 0, 10, 20, ..., 120, 130 (de 10 en 10).

b. Construisez la courbe représentative de f en utilisant l’échelle suivante :

1 km.h−1 pour 1 mm sur l’axe des abscisses.

1 m pour 1 mm sur l’axe des ordonnées.

3. Comparez l’augmentation de la distance d’arrêt lorsqu’on passe de 50 km.h−1 à 60 km.h−1, puis lorsqu’on passe de 100 km.h−1 à 110 km.h−1.

4. En utilisant la courbe représentative de la fonction f, lisez approximativement la vitesse à ne pas dépasser si l’on veut pouvoir s’arrêter en moins de 30 m ; en moins de 50 m.

5. On peut penser que la formule donnée correspond à une situation moyenne et qu’un conducteur aux réflexes rapides, dans un véhicule aux freins surpuissants, sur route sèche, réalise de bien meilleures performances. On suppose que la distance d’arrêt, dans une telle situation, est donnée par la formule :

0,5 1 ²

100 10 D v v  .

a. Construisez, dans le même repère, la courbe représentative de la fonction 0,5 1

: ² 100 10

g v v v et

répondez, dans cette nouvelle situation, aux questions 3 et 4 ci-dessus.

b. Pensez-vous que les limitations de vitesse soient justifiées ?

Correction

1. On montre que la fonction est croissante sur  0 ;  . Soient v1 et v2 deux valeurs telles que

1 20 v v  . Montrons que    1 2f v f v : 2 2 1 2v v car

2x x croissante sur  0 ;  .

De plus, (*) 2 21 2 0,75 0,75

100 100 v v car

0,75 0

100  ; d’autre part (**) 1 2

2,5 2,5

10 10 v v car

2,5 0

10  .

En additionnant (*) et (**) , on trouve : 1 2( ) ( )f v f v .

2. a. et b. Voir autre page.

3. De 50 à 60 km/h , d varie de 31,25 à 42 m, c’est à dire une augmentation de 34,4 %. De 100 à 110 km/h, d varie de 100 à 118,3 m, c’est à dire une augmentation de 18,3 %.

4. D’après le graphique, pour s’arrêter en moins de 30 m, il faut rouler à environ 49 km/h. De même, pour s’arrêter en moins de 50 m, il faut rouler à environ 66 ou 67 km/h.

5. a. Le graphique et sa lecture sont laissés au lecteur.

De 50 à 60 km/h, D varie de 17,5 à 24 m, c’est à dire une augmentation de 37,1 %. De 100 à 110 km/h , D varie de 60 à 71,5 m, c’est à dire une augmentation de 19,2 %. D’après le graphique, pour s’arrêter en moins de 30 m, il faut rouler à environ 68 km/h. De même, pour s’arrêter en moins de 50 m, il faut rouler à environ 90 km/h.

b. Bonne question ! Il y aurait beaucoup de choses à dire mais on peut au moins remarquer qu’il n’y a pas très longtemps, la vitesse en ville était limitée à 60 km/h. Aujourd’hui, elle est à 50 km/h (justement dans le but de s’arrêter en moins de 30 mètres).

On gagne, avec une voiture « normale », 10 mètres de distance de freinage sur les 40 qu’il faudrait pour s’arrêter, ce qui est déjà important ... Une autre chose à remarquer est aussi que quel que soit le véhicule, d et D varient, en pourcentage, de la même façon lorsqu’on passe de 50 à 60 et de 100 à 110 ...

59. Poitiers – Paris - Strasbourg

300 km 420 km

Poitiers Paris Strasbourg

Un train qu’on suppose rouler à la vitesse de 120 km.h−1 passe à Poitiers à 0 heure et se dirige vers Strasbourg en passant par Paris.

1. Déterminez d(t), la distance parcourue à partir de Poitiers (en km) en fonction du temps t en heures. Que dire de cette fonction ?

2. Représentez graphiquement cette fonction en respectant les unités données (1 cm pour 1 heure en abscisse et 2 cm pour 100 km en ordonnée).

3. Résoudre graphiquement   240d t  puis   120d t   .

Déterminer graphiquement  d t pour t=1h 30mn.

4. Donnez l’image de −4 ; 2 ; 3 ; 3,5 ; 5 ; 7 ; 7,5 par d.

5. Donnez les antécédents de −240 ; 120 ; 240 ; 300 ; 480 ; 600 ; 720 par d.

6. A quelle heure arrivera-t-il en gare de Strasbourg ?

7. En sachant que ce train était parti de Bordeaux à 22 h 00, quelle est la distance entre Bordeaux et Poitiers ?

60. Etude de fonction et application à la physique.

Ce problème est constitué de deux parties.

Soit la fonction f définie sur Ë par   2 6 5f x x x   ; on appellera cette expression FORME 1.

1ére partieEtude de la fonction

1. a. Démontrer que     2

3 4f x x   ; on appellera cette expression FORME 2.

b. En utilisant la FORME 2, résoudre l’équation   0f x .

c. En utilisant encore la FORME 2, démontrer que f est croissante sur [3 ;  [.

d. On admet que f est décroissante sur ]  ; 3]. Dresser le tableau des variations de f.

2. Compléter le tableau de valeurs ci-dessous.

x −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

f(x)32 12 −3 0 5 12 21

3. Tracer, la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal ( ; , )O i j judicieusement

choisi.

2èmepartieOù il est question d'électricité

On considère deux résistances R1 et R2 (la valeur est en ohms,  ). Si ces deux résistances sont montées en série, la résistance équivalente est de 6 et si ces deux résistances sont montées en parallèle, la

résistance équivalente est de 5

6  .

Les lois de l'électricité permettent d'écrire les relations suivantes:

R1 + R2 = 6 (1) et 1 2

1 1 6

5R R   (2)

1. a. Montrer que (2) équivaut à 1 2

1 2

5

6

R R

R R

 (3).

b. A partir des relations (1) et (3), déduire la relation R1R2 = 5 (4).

2. a. En utilisant la relation (1), exprimer R2 en fonction de R1.

b. Remplacer alors R2 par cette expression dans (4) et montrer que R1 vérifie la relation : R12 – 6R1 +5 = 0.

c. Pourquoi en est-il de même pour R2 ?

d. Déduire, à l’aide des questions 1.b. de la 1ère partie les valeurs de R1 et de R2.

61. Arc et flèche (Bac pro Aménagement finition, France 06/07) (c)

Une entreprise doit réaliser le plafond cintré d’une galerie selon le schéma ci-dessous.

A B

S

+ O

H

150 150

x

R

La largeur de la galerie AB = 300 cm = 3 m.

La flèche x = SH dépend du rayon de cintrage R qui est le rayon de l’arc de cercle AB passant par S :

OA = OS = OB = R.

Partie A

1. En considérant le segment [OS], exprimer OH en fonction de R et de x.

2. En déduire l’expression développée de OH2 en fonction de R.

3. Dans le triangle OBH, exprimer OH2 en fonction de R.

4. Montrer qu’à partir des expressions obtenues aux questions précédentes, on obtient :

2 22 150Rx x  .

5. En déduire que le rayon de cintrage R est donné en fonction de la flèche x par la relation :

11 250

2

x R

x   .

6. Si la flèche x vaut 0,5 m, combien vaut le rayon ? Est-il possible que le rayon soit inférieur à 1,50 m ?

Partie B

On considère la fonction f définie sur l’intervalle [70 ; 200] par :   11 250

2

x f x

x   .

1. Déterminer le sens de variation de f à l’aide de la calculatrice. Dresser le tableau de variation de f.

2. Compléter le tableau de valeurs suivant. Arrondir à l’unité.

x 70 75 90 100 120 160 180 200

f (x)

3. Tracer la représentation graphique de la fonction f.

O 50 100 150 200 x

150

200

250

y

Partie C : Exploitation de la courbe

1. Pour quelle valeur de x le rayon R est-il minimal ?

2. Quelle est dans ce cas la particularité de l’arc AB ?

3. La flèche retenue est x = 80 cm. Déterminer graphiquement, pour cette valeur de x, la longueur du

rayon de cintrage R ? Laisser apparents les traits utiles à la lecture.

Correction

Partie A

1. OS OH x OH R x     .

2.   22 2 22OH R x R Rx x     .

3. 2 2 2 2 2 2150 150OH R OH R     .

4. 2 2 2 2 2 2 2 22 150 2 150 2 150R Rx x R Rx x Rx x            .

5. 2 2 2 2

2 2 2 2 150 150 112502 150 2 150 2 2 2 2

x x x Rx x Rx x R

x x x x

            .

6. Si la flèche x vaut 0,5 m, soit 50 cm on a 11250

25 250 cm= 2,5 m 50

R    .

Il est impossible que le rayon soit inférieur à 1,50 m, sinon la galerie s’écroulerait…

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome