Travaux pratiques - géométrie classique - 1° partie, Exercices de Calcul avancé
Eusebe_S
Eusebe_S20 May 2014

Travaux pratiques - géométrie classique - 1° partie, Exercices de Calcul avancé

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Travaux pratiques de sciences mathématique sur la géométrie classique - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Figures de base, Radians et degrés, La Rosace du Temple de Diane, Puissance d’un point.
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Classe de Seconde

Géométrie classique

1. Figures de base 1 2. Radians et degrés 3. La Rosace du Temple de Diane (Nîmes) 4. Triangles aires et longueurs 5. Problème de construction 6. Triangle rectangle (c) 7. Rectangle (c) 8. Trapèze 9. Puissance d’un point (1) 10. Puissance d’un point (2) 11. Triangle équilatéral (c) 12. Carrés 1 13. Carrés 2 (c) 14. Carrés 3 (c) 15. Parallélogramme 16. Trapèze 17. Théorème de Menelaüs 18. Similitude (c)

19. Rectangle et triangle semblable (c) 20. Triangles semblables (c) 21. Triangles semblables 22. Triangles semblables 23. Sinus de 75° 24. Configurations dans un cercle 1 25. Configurations dans un cercle 2 26. Configurations dans un cercle 3 27. Aires dans un carré (1) 28. Aires dans un carré (2) 29. Triangle rectangle (1) 30. Triangle rectangle (2) 31. Pentagone et nombre d’or

31-a : Angles et côtés 31-b : Construction dite de Ptolémée 31-c : Méthode des cercles tangents 31-d : Construction de Dürer 31-e : Les étoiles de Compostelle

1. Figures de base 1

ABCD est un carré de côté 1, les triangles ABE et BCF sont équilatéraux.

H et K sont les milieux respectifs de  AB et  BC .

On rappelle que la somme des angles d’un triangle est de 180°.

Evaluer l’angle DEA

puis AEB

, puis BEF

.

Que vaut DEF

? Que dire des points D, E et F ?

K

D

A

C

F

B

E

2. Radians et degrés

y

0,5

1

0,5

A xO

1. Placer sur le cercle trigonométrique ci-dessus les points suivants :

M1 tel que 1 6

AOM   , M2 tel que 2

3

4 AOM

  , M3 tel que 3

2

3 AOM

   , M4 tel que 4

5

2 AOM

   ,

M5 tel que 5 5

6 AOM

  , M6 tel que 6 3AOM   , M7 tel que 7

3 AOM

   , M8 tel que 8

11

4 AOM

   .

2. Je dis que les points N1 tel que 1 17

6 AON

   et N2 tel que 2 570AON   sont diamétralement

opposés sur le cercle. Ai-je raison ?

3. La Rosace du Temple de Diane (Nîmes)

La rosace du temple de Diane est composée de polygones réguliers dont les côtés ont même longueur, et de douze triangles isocèles.

Les sommets extérieurs de cette figure étant quasiment situés sur un cercle, on peut prendre comme valeur approchée par défaut du rayon de ce cercle la distance OA.

Pour les calculs, on supposera que la valeur commune des côtés des polygones réguliers est 1.

OA

Aire du carré =

Aire du triangle équilatéral =

Aire de l’hexagone =

Aire du losange =

Aire du triangle isocèle = ?

Pour calculer l’aire d’un triangle isocèle, on cherchera son angle au sommet, puis la mesure de sa base et de sa hauteur :

M

N P

H

NMP =

NMH =

MNH =

MH = NH= NP =

Aire de MNP =

1. Calculer l’aire de la Rosace. En prenant cette aire comme aire du disque de rayon OA, déterminer une valeur approchée p de  .

2. Calculer le périmètre de la Rosace. En utilisant ce périmètre comme valeur de la circonférence de rayon OA, déterminer une valeur approchée p’ de  .

4. Triangles aires et longueurs

Une unité de longueur étant choisie, on considère un triangle ABC tel que : AB = 5, AC = 4 et BAC = 60°.

On se propose de calculer la longueur BC et les deux angles ABC et ACB.

1. Soit H le pied de la hauteur issue de C. Calculer les valeurs exactes des longueurs CH et AH. En déduire la longueur BH.

2. Calculer la valeur exacte de la longueur BC, puis une valeur approchée à 0,01 prés .

3. Calculer la valeur exacte de cos ABC , puis donner une valeur approchée de l'angle ABC en degrés à

0,1° prés par défaut. En déduire une valeur approchée de l'angle ACB.

5. Problème de construction

Sur une droite  , on considère 3 points B, H et C dans cet ordre (ne pas placer H au milieu de [BC]).

On veut construire un point A tel que ABC soit rectangle en A et [AH] soit hauteur de ABC.

1. Indiquer en justifiant sur quelles lignes doit se trouver A. Réaliser la construction.

2. Combien y a-t-il de solutions ?

3. Peut-on construire A si H n’appartient pas à [BC] ? Pourquoi ?

6. Triangle rectangle (c)

ABC est un triangle rectangle en A, H le pied de la hauteur issue de A.

1. En écrivant de deux façons le cosinus de l’angle ABC , montrer que 2BA BH BC  . De même

montrer que 2CA CH BC 

2. En écrivant BC = BH + CH et en utilisant Pythagore dans ABC ainsi que les relations précédentes

montrer que 2AH BH CH  .

3. Montrer que 2 2 2

1 1 1

AH AB AC   .

4. On applique les relations précédentes au triangle ABCAB = 6 et AC = 8. Calculer BC, HB, HC et HA on pourra utiliser la relation du 3. même si elle n’est pas démontrée…).

H

A

B C

Correction

1.  cos ABABC BC  ; on a ABC ABH donc  cos BHABC

AB  d’où 2

AB BH AB BH BC

BC AB     .

En refaisant la même chose avec l’angle ACB on obtient la deuxième relation ;

2. Avec Pythagore : 2 2 2 2 2 2( ) 2AB AC BC BH HC BH CH BH CH        et en développant AB2 et

AC2 dans les triangles AHB et AHC : 2 2 2 2 2 2AB AC AH HB AH HC     ; on a donc après égalité et

simplification : 2AH BH CH  .

3. Essayons de travailler la relation proposée pour voir ce que l’on en tire :

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1AC AB BC BC AB AC AH BC

AH AB ACAH AB AC AH AB AC AB AC

           

Un produit représente souvent une aire… mais oui, ça y est, c’est l’aire du triangle ABC ! (enfin le double de l’aire plutôt.) Et l’autre produit ? C’est pareil puisque AH est la hauteur et BC la base. Nous avons simplement deux expressions de l’aire de ABC, cette égalité est donc vraie et la relation de départ également.

4. Pour BC on fait Pythagore, ce qui donne BC = 10 ; avec 2BA BH BC  on a 2 36

3,6 10

BA BH

BC    et

avec 2CA CH BC  on a CH = 6,4 ; on termine avec 2 36 64

. 10 10

AH BH CH   d’où AH = 4,8. On

pouvait aussi utiliser la relation du 3. (à vous de jouer…).

7. Rectangle (c)

Soit un rectangle ABCD tel que AB = 1 et 2BC  . Soit I le milieu du côté BC. Démontrer que les droites (AI) et (BD) sont perpendiculaires.

Correction

K

I

CD

BA

Les triangles AKB et KBI sont semblables car ils ont les mêmes angles ; le rapport de similitude est

1

2

BI

AD  donc

1 1 1 3 3

2 3 3 2 KI AK KI AI KI AI      car

2

2 2 2 2 3 31 2 2 2

AI AB BI AI  

          

.

Même chose pour BK : 1 1

3 3 3

BK BD  car 2 2 2 3 3DB AD AB DB     .

Il reste à vérifier Pythagore : 2 2 1 3 1 1 1 1 2 1

3 9 2 9 6 3 6 6 2

IK BK          , or 2 1 2 1

2 2 4 2

BI BI    .

8. Trapèze

ABCD est un trapèze rectangle tel que AB = 2, BC = 1 et 45BAD   . AEB est un triangle rectangle en E

tel que 30BAE   (inutile de refaire la figure).

a. Calculer les longueurs AD, DC, AE et EB.

b. Calculer l’aire du trapèze ABCD, du triangle AEB, du triangle BEC, et en déduire celle du quadrilatère ADCE.

BAE=30,0313336°

E

D C

BA

9. Puissance d’un point (1)

1. Soit un point A extérieur à un cercle (C) de centre O, de rayon R. Deux doites issues de A coupent (C) repectivement en M et N ainsi que M’ et N’.

Montrer que les triangles AMN’ et AMN sont semblables.

Déduisez-en que 2 2 2. '. 'AM AN AM AN AO R AT    où T est le point de contact d’une des tangentes à (C) issues de A.

2. On construit deux cercles (C) et (C’) de centres respectifs O et O’ et de rayons R et R’. Ces cercles sont sécants en A et B. Soit P un point de (AB), T et T’ les points de contact des tangentes à (C) et (C’) issus de P.

a. Montrez que PA.PB = PT2 = PT’2.

b. Déduisez-en que si on considère tous les cercles passant par A et B alors les centres de ces cercles sont sur une droite (que l’on précisera) et les points T sont sur un cercle (que l’on précisera également).

10. Puissance d’un point (2)

Deux cercles (C) et (C’) de centres O et O’ se coupent en A et B ; une droite (d) passant par B coupe (C) en M et (C’) en M’.

1. Montrer que (OO’) est la médiatrice de [AB]. En déduire que AMB AOO .

2. Montrer que les triangles OAO’ et MAM’ sont semblables. En déduire que le rapport '

AM

AM est

indépendant du choix de la droite (d).

11. Triangle équilatéral (c)

ABC est un triangle équilatéral, M, N, P sont des points de [BC], [CA], [AB] tels que BM = CN = AP.

1. Démontrer que les triangles BMP, CNM et NAP sont tous isométriques.

2. En déduire que MNP est équilatéral.

P

N

M

C

BA

Correction

1. Les angles en A, B et C sont égaux à 60°, par ailleurs BM = CN = AP = x donc

CM = AN = BP = côté du triangle − x.

Les triangles ayant deux côtés égaux et un angle égal sont isométriques.

2. Puisqu’ils sont isométriques leurs troisièmes côtés sont tous égaux : PM = MN = NP donc MNP est équilatéral.

12. Carrés 1

F G HE

DCBA

On se donne trois carrés accolés de côté 1 comme sur la figure.

1. Calculer une valeur approchée à 10−2 près des angles DCH , DBH et DAH .

2. Montrez que les triangles AFH et HCB sont semblables en utilisant les longueurs des côtés.

3. Déduisez-en que CBH AHF puis que 45HAD HBC   .

13. Carrés 2 (c)

ABCD et AEFG sont deux carrés (voir figure ci- contre).

Montrer que DG = EB et que les droites (DG) et (EB) sont perpendiculaires.

F

C

G

E

D

B

A

Correction

Si on considère la rotation de centre A et d’angle 90° (ou 2

 ), on envoie B sur D et E sur G. La rotation

est une isométrie, elle conserve les distances, par conséquent la distance de départ BE devient la distance d’arrivée DG et BE DG ; de même l’angle entre les segments de départ [BE] et d’arrivée [DG]

est l’angle de rotation, soit 90° (ou 2

 ).

14. Carrés 3 (c)

Deux carrés ABCD et AEFG ont en commun le point A, (AD) est perpendiculaire à (AG). Soit I le milieu

de [GD] et H le point d’intersection de (AI) et (BE). On pose GDA  et DGA  .

On souhaite montrer que (IH) et (BE) sont perpendiculaires.

Vous complèterez la figure ci-dessous.

1. a. Montrez que les triangles ADG et ABE sont isométriques.

b. Quelles sont alors les mesures des angles ABE et AEB ?

2. a. Expliquez pourquoi A est sur le cercle de diamètre [GD].

b. En déduire que le triangle ADI est isocèle puis que l’angle EAH =  .

3. Quelle est la mesure de l’angle AHE ? Expliquer (on pourra utiliser la valeur de   ).

4. Conclure.

G

F E

D C

B A

Correction

1. a. ADG et ABE sont isométriques : AG = AE, AD = AB puisqu’on a des carrés ; l’angle en A est droit dans les deux cas.

b. Les correspondances d’angles sont alors ABE GDA   et AEB DGA   .

2. a. Le triangle AGD est rectangle en A donc GD est l’hypothénuse et AGD est dans un cercle de diamètre [GD].

b. On a donc ID IG IA  donc le triangle ADI est isocèle de sommet I et EAH DAI ADI    .

3. Puisqu’on a 90 180 90           dans ADG, on a

180 180 180 90 90AHE ABH AEH            

dans ABE.

4. Conclusion : AH est orthogonale à (BE).

 

H

I

G

F E

D C

B A

15. Parallélogramme

Soit ABCD un parall élogramme, I est un point donné de (BD), (AI) coupe (BC) en J et (DC) en K.

1. Montrez que les triangles AID et BIJ sont semblables de même que AIB et DIK.

2. Montrer que 2IA IJ IK  .

16. Trapèze

ABCD est un trapèze de bases [AB] et [CD] ; les droites (AD) et (BC) se coupent en S ; les droites (AC) et (BD) se coupent en K ; I est le milieu de [AB], J celui de [CD].

1. Montrer que les points S, I, J et K sont alignés.

2. Application : ABC est un triangle, I, J et K les milieux respectifs des côtés [AB], [BC] et [CA]. Montrer que les triangles ABC et IJK ont le même centre de gravité ; comparer les aires de ces deux triangles.

17. Théorème de Menelaüs

ABC est un triangle, une droite (d) coupe les côtés (BC), (AC) et (AB) (éventuellement prolongés) en P, Q

et R. Le théorème de Menelaüs dit alors que . . 1 BP CQ AR

CP AQ BR  .

1. On peut faire la démonstration comme suit : on appelle A’, B’ et C’ les projetés orthogonaux de A, B et C sur (d) et on pose AA’ = a, BB’ = b et CC’ = c.

a. Montrer que les triangles RBB’ et RAA’ sont semblables ; montrer de même que les triangles QAA’ et QCC’ sont semblables ainsi que PCC’ et PBB’.

b. Exprimer les rapports des côtés des triangles semblables en fonction de a, b et c et retrouver la

relation . . 1 BP CQ AR

CP AQ BR  .

2. La réciproque du théorème est vraie et nous l’admettrons.

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