Travaux pratiques - géométrie classique - 2° partie, Exercices de Calcul avancé
Eusebe_S
Eusebe_S20 May 2014

Travaux pratiques - géométrie classique - 2° partie, Exercices de Calcul avancé

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Travaux pratiques de sciences mathématique sur la géométrie classique - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Similitude, Rectangle et triangle semblable, Triangles semblables, Configurations dans u...
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a. Construire un triangle ABC de côtés AB = 6, AC = 10 et BC = 14 (on prendra un centimètre comme unité).

b. Placer les points suivants : R sur (AB) tel que 2

3 AR AB , Q sur (AC) tel que

1

5 AQ AC et P sur (BC)

tel que 8

7 CP CB .

c. Calculer les longueurs AR, BR, BP, CP, CQ et AQ ; en utilisant la réciproque du th. de Menelaüs (si

. . 1 BP CQ AR

CP AQ BR  alors P, Q et R sont alignés) montrer que P, Q et R sont alignés.

18. Similitude (c)

[BC] et [DE] sont deux segments perpendiculaires d’intersection A.

On donne : AB = 28, AD = 21, AC = 72, AE = 96 et BD = 35.

1. Les triangles ABD et ACE sont semblables. Le prouver et calculer CE.

2. Trouver tous les angles de même mesure sur la figure.

3. (CD) et (EB) se coupent en F. Montrer que ADC et ABE sont semblables.

4. Prouver que les triangles DFE et BFC sont semblables. Quel est le coefficient de réduction ou d’agrandissement entre ces deux triangles.

Correction

D

E

C

B

A

e=3,5

d=9,6

c=7,2

b=2,1

a=2,8

F

E

C

D'

D

B

k*BD=2,005618

k*AE=5,5011236

k*AC=4,1258427

k*AD=1,2033708

k*AB=1,6044944

A

k=0,0573034

ut=1,1475 cm

t uv=20,025 cm

vu

BD=35

AE=96

AC=72

AD=21

AB=28

1. On a un angle droit en A pour les deux triangles et deux côtés proportionnels : 21 7

72 24

AD

AC   ,

28 7

96 24

AB

AE   . Les deux triangles sont bien semblables et on a

7 24 24 35 120

24 7 7

BD CE BD

CE      .

2. On a évidemment ADB ACE et ABD AEC .

3. Comme on a déjà l’angle A égal dans les deux triangles, il suffit de recommencer comme au 1.

A A

D B

C E

  

 

: 28 4

21 3

AB

AD   ,

96 4

72 3

AE

AC   , c’est bon.

4. Comme les triangles ADC et ABE sont semblables, on a ADC ABE et ACD AEB , ce qui donne

deux angles égaux dans les triangles DFE et BFC qui sont donc semblables :

F F

D B

C E

  

 

.

On calcule alors 2 2 2 2

2 2 2 2

28 96 100 4

75 321 72

BE AB AE

DC AD AC

     

  (on pouvait s’y attendre).

19. Rectangle et triangle semblable (c)

ABCD est un rectangle tel que AB = 15 cm et BC = 9 cm. M est le point de [AD] tel que AM = 4 cm.

La droite (DE) est perpendiculaire à (MC) et la coupe en H.

1. a. Montrer que ADE = DCH.

b. En déduire que les triangles DMC et AED sont semblables.

c. Montrer alors que AE = 3 cm.

2. a. Calculer ME.

b. Démontrer que la droite (MC) est la médiatrice du segment [DE].

Correction

1. a. On remarque d’abord que ADE MDH et que MDC = 90° car ABCD est un rectangle.

Comme MDC MDH HDC  , on obtient que 90MDH HDC  .

Dans le triangle HDC : 180DCH CHD HDC    soit 90DCH HDC  puisque DHC est un angle droit.

Donc comme 90MDH HDC  et que 90DCH HDC  , on trouve que MDH DCH .

Puis comme ADE MDH et que MDH DCH alors on obtient bien que ADE DCH .

On en déduit aussi que ADE DCM .

b. Les triangles DMC et ADE ont deux angles égaux deux à deux : 90DAE MDC   et ADE DCM comme démontré précédemment. Donc les triangles DMC et ADE sont semblables.

c. On en déduit que les côtés de ces triangles sont proportionnels et on a la relation suivante :

DM DC MC

AE DA DE   .

Ainsi, 5 15

9AE  (puisque AD = BC et que DM = ADAM = BCAM = 9 – 4 = 5) ; en utilisant le produit

en croix on obtient bien : AE = 3 cm.

2. a. Dans le triangle ADE rectangle en A (puisque ABCD rectangle), on a, avec le théorème de Pythagore :

ME² = AM² + AE² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25.

Dont on déduit que ME = 5 cm.

b. (MC) est la hauteur du triangle MDE puisque « la droite (DE) est perpendiculaire à (MC) et la coupe en H ».

Or, le triangle MDE est un triangle isocèle (ME = MD) puisque :

ME = EM = 5 cm et MD = DM = ADAM = BCAM = 9 – 4 = 5 cm.

Comme la hauteur issue du sommet principal d’un triangle isocèle est confondue avec la bissectrice, la médiane et la médiatrice du côté opposé, on en déduit que la droite (MC) est la médiatrice du segment [DE].

20. Triangles semblables (c)

( ) est un cercle de centre O de rayon r, ABC est un triangle inscrit dans ( ) tel que l’angle BAC est aigu. H est le projeté orthogonal de A sur [BC]. La droite (AO) recoupe C en D (inutile de refaire la figure).

1. Démontrer que les triangles ABD et AHC sont semblables.

2. On pose AB = c, AC = b et AH = h. Déduire de la question précédente que bc = 2rh.

D

H C B

A

O

Correction

1. Comme [AD] est un diamètre du cercle, 90ABD AHC   ; par ailleurs les angles ACB et ADB interceptent le même arc de cercle, ils sont égaux.

Les triangles sont donc bien semblables par :

A A

s B H

D C

  

 

.

2. On pose AB = c, AC = b et AH = h. Ecrivons les rapports : 2

AH AC HC h b HC

AB AD BD c r BD      .

Le premier rapport donne bc = 2rh.

21. Triangles semblables

1. Montrer que les triangles DAC et BAE ci-dessous sont semblables (les mesures sont en mm : AD = 21, AC = 72, AB = 28 et AE = 96).

Quel est le rapport de similitude ?

2. Quel est le rapport des aires de ces deux triangles ?

3. On admet que BE = 110. Que vaut la longueur DC ?

72

28 96

21

E

D

C

B

A

22. Triangles semblables

ABC est un triangle tel que BC = 27 mm, CA = 48 mm et AB = 36 mm.

On place le point D sur le côté [AB] tel que AD = 16 mm et E sur le côté [AC] tel que AE = 12 mm.

1. Démontrer que les triangles ABC et AED sont semblables. En déduire deux égalités d'angles.

2. Quel est le rapport d’agrandissement pour transformer le triangle AED en ABC ?

3. Calculer la longueur DE.

4. Les droites (BC) et (DE) se coupent en F.

a. Démontrer que les triangles FBD et FEC sont semblables (on pourra utiliser une égalité d'angles obtenue au 1.).

b. Quel est le rapport de réduction pour transformer le triangle FEC en FBD ?

23. Sinus de 75°

Sur la figure ci-dessous, ABC est un triangle, H le projeté orthogonal de A sur (BC), 45BAH   ,

30HAC   et AH = 6 cm.

Le cercle (C) de diamètre [AH] et de centre O coupe (AB) en D et (AC) en E.

E

D

H

A

v=-30

u=45

CB

1. a. Calculer AB et AC.

b. Montrer que AHE est un triangle rectangle.

c. Montrer que AE = 3 3 cm.

2. a. Démontrer que AHE = ADE = 60° et ACB = 60°.

b. En déduire que les triangles BAC et EAD sont semblables.

c. Après avoir rempli le tableau de proportionnalité des longueurs, déduisez-en que le rapport de

similitude qui fait passer du triangle BAC au triangle EAD est 6

4 . S’agit-il d’une réduction ou d’un

agrandissement ? Expliquer.

3. a. Calculer BC (on pourra couper par H).

b. Déduisez-en que DE =  3 6 2 2   cm.

4. On note F le point diamétralement opposé à D sur C.

a. Démontrer que DFE = 75° .

b. Déduisez-en que sin75° =  2 3 1) 4

 .

24. Configurations dans un cercle 1

Soit un triangle ABC inscrit dans un cercle C .

H est le point de concours des hauteurs du triangle ABC.

D est le point diamétralement opposé à B dans le cercle C .

1. Montrer que les droites (AD) et (CD) sont respectivement perpendiculaires aux droites (AB) et (CD).

2. Démontrer que le quadrilatère AHCD est un parallélogramme.

25. Configurations dans un cercle 2

Soit un cercle C et trois points I, J et K de ce cercle .Tracer la médiatrice D1 du segment [IJ] et la médiatrice D2 du segment [JK] , O est le point d’intersection des médiatrices , montrer que O est le centre du cercle C.

26. Configurations dans un cercle 3

Soit un triangle ABC rectangle en A, et I le milieu de [BC].

Le cercle de diamètre [AI] coupe [AB] en E et [AC] en F.

1. Démontrer que AFIE est un rectangle.

2. En déduire la position exacte de E sur [AB] et de F sur [AC].

3. Montrer que (EF) est parallèle à (BC).

27. Aires dans un carré (1)

ABCD est un carré de centre O et de côté a.

I est le milieu de [AB] et J est le milieu de [AD].

(DI) coupe (CJ) en H et (AC) en G.

1. a. Montrer que les triangles ADI et DCJ sont isométriques.

b. Que peut-on dire des angles ADI et DCJ ? Justifier.

c. En déduire que HDC DCH 90   et que les droites (DI) et (CJ) sont perpendiculaires.

2. a. Calculer ID en fonction de a.

b. Démontrer que les triangles DHJ et DAI sont des triangles semblables.

A B

CD

O

I

J

H

G

c. En déduire que JD 1

ID 5  .

d. Soit 1 l’aire du triangle DHJ et 2 l’aire du triangle DAI.

En utilisant les questions b. et c. déterminer 1 en fonction de 2. En déduire 1 en fonction de a.

3. a. Démonter que G est le centre de gravité du triangle ADB et calculer AG en fonction de a.

b. Soit 3 l’aire du triangle DAG. Justifier que 3 1

2 AG DO A puis calculer 3 en fonction de a.

4. Soit 4 l’aire de JHGA. Déduire des questions précédentes que 2

4

7

60 aA .

28. Aires dans un carré (2)

ABCD est un carré de centre O et de côté a ; I est le milieu de [AB] et J celui de [AD] ; la droite (DI) coupe (CJ) en H et (AC) en G.

1. Démontrer que ADI DCJ ; en déduire que (DI) est orthogonale à (CJ).

2. Montrer que les triangles DHJ et DAI sont semblables ; en déduire que l’aire de DHJ est 2 1

20 a .

3. Que représente G pour le triangle ADB ? Montrer que 2

3

a AG  et que l’aire de DAG est

2

6

a . Déduire

des questions précédentes l’aire de JHGA.

29. Triangle rectangle (1)

Dans un triangle ABC la bissectrice de l’angle A coupe [BC] en I, la perpendiculaire à (AI) issue de B coupe (AI) en H, la perpendiculaire à (AI) issue de C coupe (AI) en K.

1. Montrer que les triangles ACK et ABH sont semblables puis que les triangles IKC et IHB sont semblables.

2. En déduire que IB AB

IC AC  . On suppose que AB = 7, BC = 8, AC = 9 ; calculer IB.

30. Triangle rectangle (2)

ABC est un triangle dont le pied de la hauteur issue de A est H et tel que 45BAH   , 30HAC   , AH = a. Le cercle (C) de diamètre [AH] coupe (AB) en D et (AC) en E. Toutes les mesures seront exprimées en fonction de a.

1. Calculer AB, AC et AE.

2. Montrer que BAC et EAD sont semblables ; trouver le rapport de similitude entre ces deux triangles.

3. Calculer BC, en déduire DE.

4. Soit F le point de (C) diamétralement opposé à D. Déterminer une mesure de l’angle DFE et donner la valeur exacte du sinus de cet angle.

31. Pentagone et nombre d’or

Construction du pentagone régulier convexe inscrit dans un cercle de centre O et rayon r, ayant un sommet A donné.

Consignes et questions

31-a : Angles et côtés

1. L'angle au centre du Pentagone régulier est de 72° ou 2

5

 rad et

l'angle intérieur de 108° ou 3

5

 rad.

Faire la construction dans un cercle trigonométrique.

2. Si a est la longueur du côté, d la longueur d'une diagonale et r le rayon du cercle circonscrit, on a :

2 sin 10 2 5 3 1,176 5 2

r a r r r

       ;

10 2 5 2 1,902 2

r d r r     .

Le rapport diagonale/côté est égal au nombre d'or 1 5

2

   .

Mesurer a et d sur la figure et effectuer les vérifications numé-riques des affirmations.

31-b : Construction dite de Ptolémée Alexandrie 85-165 après J.-C.

1. Pour construire un pentagone à la « règle et au compas » il suffit de

savoir construire un angle au centre dont le cosinus est égal à 5 1

4

 .

2. Pour un pentagone inscrit dans un cercle de centre O, ayant un sommet A donné on peut effectuer la construction suivante :

Tracer un cercle C1 de centre O, passant par A. Placer [AA’] un diamètre et [OB’] un rayon perpendiculaire à [AA’].

K est le milieu du rayon [OA’], le cercle C2 de centre K et de rayon KB’ coupe le segment [OA] en U.

La médiatrice de [OU] passe par le milieu I de [OU] et coupe le premier cercle C1 aux points B et E qui sont deux sommets du pentagone. Le cercle de centre B passant par A recoupe C1 en C. Le symétrique D de C par rapport à (AA') termine la construction du pentagone.

Vérifier numériquement que

2 5 1 cos

5 4

   .

Faire la figure. On prendra O à l’origine et A au point (1, 0).

Montrer que

2 5 1 cos

5 4 OI

    .

On note J le point d’intersec- tion de (CD) et (AA’).

Que vaut OJ ?

De quels angles l’abscisse de J est-elle le cosinus ?

3. On trace les diagonales du pentagone : (AC), (BD), (CE), (DA), (EB). La figure obtenue s’appelle un pentagramme. Les points d’intersection

Faire une nouvelle figure.

de ces droites dessinent un nouveau polygone.

A, C, E, B, D dans cet ordre sont les sommets d'un polygone régulier étoilé appelé pentagramme. Ce pentagramme de Pythagore était le sceau secret de reconnaissance de la secte des Pythagoriciens dont les francs-maçons ont repris certains thèmes.

Est-ce encore un vrai pentago- ne régulier ?

31-c : Méthode des cercles tangents

Placer deux points O, A et le cercle C1 de centre O, de rayon r, passant par A. A’ est le symétrique de A par rapport à O. I est le milieu d’un rayon perpendiculaire au diamètre [AA’].

C2 est le cercle de centre I et de rayon 2

r . La droite (A’I) coupe le cercle

C2 en P et Q. C3 et C4 sont les cercles de centre A’ tangents à C2. Le cercle C3 est tangent intérieurement au cercle C2 en P et le cercle C4 est tangent extérieurement au cercle C2 en Q. Le cercle C3 coupe C1 en B et E et le cercle C4 coupe C1 en C et D. Les points ABCDE sont les sommets du pentagone cherché.

On rappelle que deux cercles sont tangents en un point M si les tangentes aux cercles en M sont identiques.

Faire la figure. Et effctuer les mesures nécessaires permettant de vérifier que l’on a bien un pentagone régulier.

31-d : Construction de Dürer

« Albert Dürer (né à Nuremberg en 1471, mort en 1528) appartient, comme Léonard de Vinci, à cette génération de grands artistes, peintres, sculpteurs et architectes, pour lesquels la géométrie est non seulement un instrument d'analyse, mais un puissant moyen de perfectionnement. L'étude de la perspective le conduisit à la transformation des figures en d'autres figures du même genre. Et de là naquirent plusieurs méthodes géométriques, comme celle qui consiste à faire croître proportionnellement les ordonnées des points d'une figure, dans le dessin d'un profil dont on veut rendre les dimensions en hauteur plus facilement appréciables. Dürer maniait très habilement le compas pour tracer des ellipses et d'autres figures géométriques. Le pentagone de Dürer est un pentagone, construit avec une seule ouverture de compas ; mais d'autres géomètres ont démontré depuis que ce pentagone n'a pas tous les angles égaux et que sa figure n'est qu'approximative.»

Source : Ferdinand Hoefer, Histoire des mathématiques, Paris, Hachette, 1874, p. 337

Placer deux points A et B.

A partir de ce segment [AB] qui sera un côté du pentagone on trace cinq cercles de même rayon : le cercle de centre A passant par B, celui de centre B passant par A. Ces deux cercles se coupent en P et Q. Le cercle de centre P passant par A (et par B) coupe les deux premiers cercles en R et S, et le segment [PQ] en G.

La droite (SG) coupe le premier cercle en E et (RG) coupe le deuxième cercle en C. Le dernier point D se trouve à l'intersection des cercles de centre E passant par A et de centre C passant par B.

Faire la construction.

Le pentagone ABCDE est-il régulier ?. A-t-il ses angles égaux ?

Construire un vrai pentagone régulier ABC’D’E’ de côté [AB]. Que peut-on dire de D et D’ ?

31-e : Les étoiles de Compostelle

Placer deux points libres M et N, puis le carré MNPQ. Le cercle de centre M passant par P coupe la demi-droite [MN) en O. La droite (OQ) coupe la diagonale [MP] du carré en C. Le cercle de centre O passant par C coupe [MN] en B. [BC] est un premier côté du pentagone.

Le cercle de centre B passant par C coupe [NM) en A, point du pentagone. Le cercle de centre C passant par B coupe [CQ) en D, quatrième point du pentagone. On termine le pentagone en trouvant l'intersection E des cercles de même rayon de centres A et D. Le pentagone ABCDE a ses cinq côtés égaux. L'erreur sur les angles est de un à deux degrés.

Faire la construction.

Quelle est l’erreur sur les angles ?

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