Travaux pratiques - géométrie dans l'espace - 1° partie, Exercices de Calcul avancé
Eusebe_S
Eusebe_S20 May 2014

Travaux pratiques - géométrie dans l'espace - 1° partie, Exercices de Calcul avancé

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Travaux pratiques de sciences mathématique sur la géométrie dans l'espace - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: géométrie espace, Les Solides de Platon.
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Classe de Seconde

Géométrie dans l’espace

1. Cours : géométrie dans l’espace 2. Cube 1 (c) 3. Cube 2 4. Cube 3 5. Pyramide (c) 6. Les Solides de Platon

7. Tétraèdre 1 (c) 8. Tétraèdre 2 9. Tétraèdre 3 (c) 10. Tétraèdre 4 (c) 11. Constructions

1. Cours : géométrie dans l’espace

1. Plan

Par 3 points A, B et C, non alignés, il ne passe qu’un seul plan noté (ABC).

Deux droites sécantes définissent un plan.

Deux droites parallèles définissent un plan.

Deux droites contenues dans un même plan sont coplanaires.

Une droite passant par deux points d’un plan est contenue dans ce plan.

2. Position relative d’une droite et d’un plan.

Une droite peut être sécante à un plan lorsqu’elle n’a qu’un seul point commun avec ce plan.

(D)  (P) = {A}

Une droite peut être parallèle à un plan, si elle n’a aucun point commun avec ce plan.

(D)  (P) = 

Une droite peut être contenue dans un plan. On dit qu’elle est incluse dans ce plan.

Seconde 2 F. Laroche

Géométrie dans l’espace

(D)  (P) = (D) ou (D)  (P)

3. Position relative de deux plans.

Deux plans peuvent être sécants lorsque leur intersection est une droite.

(P)  (P’) = (D)

Deux plans peuvent être parallèles lorsqu’ils n’ont aucun point commun.

(P)  (P’) = 

Deux plans peuvent être confondus : (P)  (P’) = (P) = (P’).

2. Cube 1 (c)

ABCDEFGH est un cube. I et J sont deux points des arêtes [GH] et [EH], et K est dans le plan (BCD).

1. Construire l’intersection des plans (ABC) et (IJK). Justifier la construction.

2. Tracer la section du cube par le plan (IJK).

Seconde 3 F. Laroche

Géométrie dans l’espace

Correction

1. Les points I et J appartiennent aux plans (EFG) et (IJK), donc la droite (IJ) est l’intersection des plans (EFG) et (IJK). De plus, comme ABCDEFGH est un cube, les plans (ABC) et (EFG), donc le plan (IJK) coupe ces deux plans, et les droites d’intersection sont parallèles. La droite d’intersection des plans (IJK) et (ABC) est donc la parallèle à (IJ) passant par K.

2. Voir figure.

Seconde 4 F. Laroche

Géométrie dans l’espace

3. Cube 2

H G

D C

F E

BA

On considère un cube ABCDEFGH.

1. Citer toutes les arêtes

a. qui sont parallèles à (AB),

b. qui coupent (AB),

c. ne sont pas coplanaires avec (AB).

2. Citer toutes les faces du cube qui

a. sont parallèles à (AB),

b. coupent (AB).

3. Citer toutes les faces du cube qui

a. sont parallèles à (ABCD)

b. coupent (ABCD).

4. Soit I le milieu de [EF] et J celui de [FG]. Les droites (DF) et (IJ) sont-elles coplanaires ?

5. Représenter la droite d’intersection des plans (ACH) et (BDF).

6. Soient P et Q les centres des carrés EFGH et ABFE.

a. Montrer que la droite (PQ) est parallèle au plan (ADHE).

b. Montrer que les plans (PQE) et (ADHE) sont sécants suivant une droite  parallèle à (IJ).

c. Représenter  dans le plan (ADHE) en précisant son intersection M avec (AD) puis représenter cette droite dans l’espace.

7. Le côté du cube mesure 4 cm. On considère les points U tel que 1

4 BU BA et V tel que

1

4 BV BC

ainsi que les points W tel que 1

4 EW EF et Z tel que

1

4 GZ GF .

a. Montrer que les droites (UV) et (AC) sont parallèles.

b. Montrer que les droites (WZ) et (EG) sont parallèles.

c. Déduire des questions précédentes que les droites (UV) et (WZ) sont parallèles.

8. Soit K le milieu de [BF], montrer que le plan (IJK) est parallèle au plan (BEG).

4. Cube 3

Soit ABCDEFGH un cube d´arêtes de longueur a et O le centre du carré ABCD. Soit I le milieu du segment [AB].

Seconde 5 F. Laroche

Géométrie dans l’espace

1. a. Démontrer que la droite (EH) est orthogonale au plan (ABF).

b. Montrer que EBCH est un rectangle. Ses diagonales se coupent en O’.

2. On appelle  la mesure de l´angle 'BO C .

a.Démontrer que les droites (OI) et (EB) sont parallèles.

b.En déduire que 2

CEB   .

c. Déterminer une valeur approchée de  à 10−1 près.

A B

CD

E F

GH

O’

O I

Correction

1. a. Comme ABCDEFGH est un cube, la droite (EH) est perpendiculaire aux droites (EF) et (EA), sécantes dans le plan (ABF). Donc (EH) est orthogonale au plan (ABF).

b. BCGF et FGEH étant des carrés, on aBC FG et FG EH . On obtient donc BC EH , ce qui prouve que EBCH est un parallélogramme.

De plus, comme (EH) est orthogonale au plan (ABF), alors (EH) est en particulier perpendiculaire à (EB).

Le parallélogramme EFGH a donc un angle droit, ce qui prouve que c’est un rectangle.

2. On appelle  la mesure de l´angle 'BO C .

a.O’ est le milieu de [CE] (car centre du rectangle EBCH) et I est le milieu de [BC]. En appliquant le théorème des milieux au triangle BCE, on obtient bien que les droites (IO’) et (BE) sont parallèles.

b.Les droites (OI) et (BE) sont parallèles.

Les angles correspondants CEB et 'CO I sont donc égaux.

De plus, BH = CE (diagonales du rectangle EBCH), donc BO’ = OC et BOC est isocèle en O’. I étant le

milieu de [BC], (OI) est la bissectrice de l´angle 'BO C , et ' 2

CO I   , et

2 CEB

  (= 'CO I ).

c. Dans le triangle EBC rectangle en B, t an 2

 = tan CEB =

BC

BE =

2

a

a =

1

2  0,7071. On obtient donc

35,26 2

o  et 70,5   .

SABCD est une pyramide régulière à base carrée dont toutes les arêtes mesurent a.

O est le centre de ABCD et [SO] est la hauteur de la pyramide.

5. Pyramide (c)

SABCD est une pyramide régulière à base carrée dont toutes les arêtes mesurent a. O est le centre de ABCD et [SO] est la hauteur de la pyramide

Seconde 6 F. Laroche

Géométrie dans l’espace

1. Exprimer AC et AO en fonction de a.

2. Montrer que 2

2 SO a .

3. Déterminer, en fonction de a, le volume de SABCD.

4. Calculer ce volume lorsque 2 cma  .

NB : on conservera les valeurs exactes.

Correction

1. AC = 2a (diagonale d’un carré de côté a) et AO = 2

2 a (car O est le centre du carré ABCD).

2. Dans le triangle SAO, d’après le théorème de Pythagore : SO² + OA² = SA², SO² + ( 2

2 a )² = a²,

SO² + 22

4

a = a², SO² = a² –

22

4

a =

2 2 24 2 2

4 4 4

a a a   ,

22 2

4 2

a SO a  .

3. Volume(SABCD) = 1

3 ×Aire(ABCDSO = 2 3

1 2 2

3 2 6 a a a   .

4. Lorsque 2 cma  , Volume(SABCD) =

3 2 2 4 2

6 6 3

   cm3.

6. Les Solides de Platon

Un polyèdre P est dit convexe si ses faces sont elles mêmes des polygones réguliers convexes, si ses faces sont égales et si de tout sommet sont issus le même nombre de côtés.

Pour la suite, nous désignerons par F le nombre de faces, S le nombre de sommets et A le nombre d'arêtes.

Un résultat étonnant est qu'il n'existe que 5 polyèdres convexes réguliers. Ce sont les cinq polyèdres (ou solides) de Platon :

le Tétraèdre, l'Octaèdre, le Cube, le Dodécaèdre et l'Icosaèdre.

Tétraèdre Octaèdre Cube Dodécaèdre Icosaèdre

Le tableau suivant résume les différentes caractéristiques de chacun des polyèdres de Platon:

Seconde 7 F. Laroche

Géométrie dans l’espace

POLYEDRE Type des

Faces

Nombre de faces

F

Nombre de

sommets S

Nombre d'arêtes

A

Nombre d’arêtes

par sommet

m

Nombre de côtés

d’une face

n

Symbole de

Schläfli

(m ; n)

Tétraèdre Triangles

équilatéraux

Octaèdre Triangles

équilatéraux

Cube Carrés

Dodécaèdre Pentagones

Icosaèdre Triangles

équilatéraux

1. Conjecturer une relation entre F, S et A (on admettra ce résultat appelé Formule d’Euler)

2. On admettra également que dans un polynôme convexe et régulier :

- à chaque sommet aboutit le même nombre d’arête ;

- chaque arête est terminée par deux sommets ;

- chaque arête est commune à deux faces ;

- chaque face est « bordée » par le même nombre d’arêtes.

En utilisant ces assertions, exprimer A en fonction de m et S, puis en fonction de n et F.

Il n'existe que cinq polyèdres réguliers convexes : ce sont les cinq solides de Platon.

(i) S + FA = 2 (Formule d’Euler)

(ii) 2A = mS = nF

1. Démontrer que quels que soient les nombres a, b, c et d (non nuls) tels que a c

b d  on a :

a c a c

b d b d

  

 puis

a c a c

b d b d

  

 .

2. Démontrer que 2 2 0a b ab   est équivalent à ( 2)( 2) 4a b   .

3. Compléter : 2nF mS A  équivaut à :

F S A  

donc

F S A F S A     

4. Démontrer que : 2

2 2

mn A

m n mn

  ;

4

2 2

n S

m n mn

  et

4

2 2

m F

m n mn

  .

- Quel est le signe du dénominateur ?

- Quelles sont les valeurs possibles de m et n ?

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