Travaux pratiques - géométrie dans l'espace - 2° partie, Exercices de Calcul avancé
Eusebe_S
Eusebe_S20 May 2014

Travaux pratiques - géométrie dans l'espace - 2° partie, Exercices de Calcul avancé

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Travaux pratiques de sciences mathématique sur la géométrie dans l'espace - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Tétraèdre, Constructions.
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Seconde 8 F. Laroche

Géométrie dans l’espace

- A chaque valeur de m, associer une valeur de n.

- Conclure.

7. Tétraèdre 1 (c)

ABCD est un tétraèdre. M est un point de la face ABD, N un point de [AC] et R un point de [CD].

Construire la section du tétraèdre ABCD par le plan (MNR).

Correction

Il est évident que la droite (NR) est l’intersection des plans (MNR) et (ACD).

M est un point de la face ABD, et les droites (NR) (de (ACD)) et (AD) (de (ABD)) se coupent en I (car sécantes dans le plan (ACD)).

La droite (MI) est donc l’intersection des plans (MNR) et (ABD).

(MI) coupe les arêtes [BD] et [AB], ce qui permet d’obtenir la section du tétraèdre ABCD par le plan (MNR).

8. Tétraèdre 2

SABCD est une pyramide de sommet S et dont la base ABCD est un parallélogramme.

M est un point de l’arête [SC], N est un point de l’arête [SB], et (MN) est parallèle à (BC).

1. Montrer que (AD) et (MN) sont parallèles.

2. Dans le plan (ADM), les droites (AN) et (DM) se coupent en P.

a. Démontrer que P appartient à chacun des plans (SAB) et (SDC).

Seconde 9 F. Laroche

Géométrie dans l’espace

b. Pourquoi la droite d’intersection des plans (SAB) et (SDC) est-elle la droite (SP) ?

3. En déduire que (SP) est parallèle à (AB) et à (CD).

Correction

1. (AD) et (MN) sont parallèles à la droite (BC), donc elles sont parallèles.

2. Dans le plan (ADM), les droites (AN) et (DM) se coupent en P.

a. La droite (AN) appartient au plan (SAB), donc P aussi (car P  (AN)).

La droite (DM) appartient au plan (SDC), donc P aussi (car P  (DM)).

b. S et P appartiennent aux plans (SAB) et (SDC), donc la droite d’intersection des plans (SAB) et (SDC) est la droite (SP)

c. (AB) (du plan (SAB)) et (CD) (du plan (SDC)) sont parallèles donc, d’après le théorème du toit, elles sont parallèles également à l’intersection de ces deux plans, c’est-à-dire la droite (SP).

9. Tétraèdre 3 (c)

ABCD est un tétraèdre. I est le milieu de [AB], J est le milieu de [AC] et K est le point de [AD] tel que 1

4 AK AD .

1. Démontrer que (IJ) est parallèle (BC).

2. Tracer l’intersection (d) des plans (IJK) et (BDC).

3. Démontrer que (d) est parallèle aux droites (IJ) et (BC).

Seconde 10 F. Laroche

Géométrie dans l’espace

Correction

1. Dans le triangle ABC, I est le milieu de [AB] et J est le milieu de [AC] donc, d’après le théorème des milieux, (IJ) est parallèle (BC).

2. Voir figure ci-contre.

3. Les plans (DCB) et (IJK) sont sécants suivant (d). De plus, les droites (IJ) (de (IJK)) et (BC) (de (DBC)) sont parallèles.

Donc, d’après le théorème du toit, (d) est parallèle aux droites (IJ) et (BC).

10. Tétraèdre 4 (c)

OABC est un tétraèdre dont les faces OAB, OAC et OBC sont des triangles rectangles isocèles en O, et

ABC est un triangle équilatéral. On pose OA = OB = OC = a (on a donc 2AB AC BC a   ).

1. Démontrer que la droite (OA) est orthogonale au plan (OBC).

2. Calculer en fonction de a le volume du tétraèdre OABC.

3. H est le pied de la hauteur issue de O dans OBC (H est donc le milieu de [BC]).

Exprimer OH en fonction de a, puis montrer que 6

2 AH a .

4. Calculer l’aire du triangle ABC.

5. Déduire des questions 2. et 4. la longueur de la hauteur issue de O du tétraèdre OABC.

Correction

1. (OA) est perpendiculaires aux droites (OB) et (OC) (sécantes dans le plan (OBC)), donc (OA) est orthogonale au plan (OBC).

2. Volume(OABC) = 1

3 ×Aire(OBCAO =

31

3 2 6

a a a a

    .

Seconde 11 F. Laroche

Géométrie dans l’espace

3. H étant le milieu de [BC], [OH] est la médiane relative à l’hypoténuse du triangle OBC rectangle en O,

donc 1 2

2 2

a OH BC  .

(OA) est orthogonale au plan (OBC) donc AOH est rectangle en O.

D’après le théorème de Pythagore : AH² = AO² + OH², AH² = 2

2 22 6

4 4

a a a  ,

26 6

4 2

a AH a  .

4. Aire(ABC) = 2 2 2 2

6 2

12 4 3 2 3 32

2 2 4 4 4 2

a a BC AH

a a a a

  

     .

5. Soit h la longueur de la hauteur issue de O du tétraèdre OABC.

Volume(OABC) = 1

3 ×Aire(ABCh, soit

3 2 21 3 3

6 3 2 6

a a h a h    donc

3a h

2a

3

333

a a  .

11. Constructions

1. ABCD est un tétraèdre, T  (ABC), S  [AD] et R  [CD]. Construire la section du tétraèdre ABCD par le plan (RST).

2. ABCDEFGH est un cube, et I est dans la face ABFE. Construire la section du cube par le plan (IBG).

3. ABCDEFGH est un cube, I et J sont dans la face BCGF, et K est dans la face ABFE. Construire la section du cube par le plan (IJK).

Seconde 12 F. Laroche

Géométrie dans l’espace

Correction

1. ABCD est un tétraèdre, T  (ABC), S  [AD] et R  [CD]. Construire la section du tétraèdre ABCD par le plan (RST). PQRS est la section cherchée.

2. ABCDEFGH est un cube, et I est dans la face ABFE. Construire la section du cube par le plan (IBG). BGOP est la section cherchée.

3. ABCDEFGH est un cube, I et J sont dans la face BCGF, et K est dans la face ABFE. Construire la section du cube par le plan (IJK). MNOPQ est la section cherchée.

Seconde 13 F. Laroche

Géométrie dans l’espace

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