Travaux pratiques - géométrie vectorielle analytique - 1° partie, Exercices de Calcul avancé
Eusebe_S
Eusebe_S20 May 2014

Travaux pratiques - géométrie vectorielle analytique - 1° partie, Exercices de Calcul avancé

PDF (468.1 KB)
7 pages
291Numéro de visites
Description
Travaux pratiques de sciences mathématique sur la géométrie vectorielle analytique - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Construire, Triangle facile, Calcul analytique.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Aperçu3 pages / 7
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document

Classe de Seconde

Géométrie vectorielle et analytique

1. Construire 2. Triangle facile 3. Parallélogramme - 1 4. Parallélogramme - 2 5. Parallélogramme - 3 6. Parallélogramme - 4 7. Parallélogramme - 5 8. Parallélisme 9. Alignement - 1 10. Alignement - 2 11. Alignement - 3 12. Alignement - 4 13. Alignement - 5 14. Barycentres -1 15. Barycentres -2 16. Orthogonalité 17. Construction de vecteurs - 1 18. Construction de vecteurs - 2 19. Trigo/ lignes trigo de 75° 20. Droites/rectangle 21. Droites orthogonales (en utilisant Pythagore…) 22. Vecteur directeur, coefficient directeur 23. Equations de droites : lecture graphique 1 24. Equations de droites : lecture graphique 2 25. Equations de droites : lecture graphique 3 26. Equations de droites : lecture graphique 4

27. Equations de droites 1 28. Equations de droites 2 29. Equations de droites 4 30. Equations de droites 5 31. Equations de droites 6 32. Equations de droites 7 33. Equations de droites 8 34. Equation hauteur et médiatrice 1 35. Equation hauteur et médiatrice 2 36. Equation d’une médiatrice. 37. Equations de droites et intersections 38. Parallélogramme 1 39. Parallélogramme 2 40. Parallélogramme 3 41. Parallélogramme 4 42. Carré 43. Distances - 1 44. Distances - 2 45. Distances 3 46. Equations de droites et intersections / Rectangle d’or. 47. Equations de droites orthogonalité. 48. Equations de droites 49. Equations de droites : Th. de Pappus 50. Equations de droites : Quadrilatère complet

1. Construire

1. On donne deux points A et B. Placer C tel que 3

4 AC AB .

2. Exprimer BC en fonction de AB puis AC en fonction de BC .

3. Placer D tel que 2

3 AD AB  . Exprimer CD en fonction de AB et BD en fonction de BC .

2. Triangle facile

Soit un triangle ABC.

1. Placer les points D et E définis par 2AD AB AC  et 1

3 BE BC .

2. Montrer que les points A, D, E sont alignés.

3. Parallélogramme - 1

On considère un triangle ABC et les points D, E, F, G tels que : CD AB , 0EA EB  , 1

2 BF BC , G

milieu de [BD].

1. Faire la figure.

2. Montrer que EBGF est un parallélogramme.

3. La droite (EG) coupe (BF) en I, (CD) en J et (AC) en K. Montrer que JG GE EK  .

4. Parallélogramme - 2

Soit un parallélogramme ABCD. On désigne par O le centre du parallélogramme, E le symétrique de A par rapport à B, F le symétrique de B par rapport à C, G le symétrique de C par rapport à D, H le symétrique de D par rapport à A.

Il semble que le quadrilatère EFGH soit un parallélogramme. Montrons le en utilisant trois méthodes différentes.

Méthode 1 : Calcul analytique.

Indications : Choisir un repère ; donner les coordonnées des points A, B, C, D, E, F, G et H.

Calculer les coordonnées des vecteurs HE et GF et conclure.

Méthode 2 : Transformations.

Trouver les symétriques de E et F par rapport à O.

Méthode 3 : Calcul vectoriel.

Exprimer les vecteurs HE et GF à l’aide des vecteurs AB et AD .

5. Parallélogramme - 3

ABCD est un parallélogramme de centre O. E le point du segment [CD] tel que 3CD CE et F donné par

3

2 AF AE .

1. Démontrer que les points B, C et F sont alignés.

2. Construire le point G défini par 1

3 AG AB . Démontrer que les points E, O et G sont alignés.

3. Construire les points H et K définis par AH BD et CK BD . Montrer que D est le milieu de [AK] et de [CH].

4. M, N, P et Q sont les points définis par : 1

3 AM AB ,

1

3 BN BC ,

1

3 CP CD ,

1

3 DQ DA . Prouver

que MNPQ est un parallélogramme .

6. Parallélogramme - 4

Soit un parallélogramme ABCD.

1. Construire les points E, F et H tels que 2 3 0EA EB  , 3

2 BF BC  , et

5

4 DH DA  .

2. Déterminer les vecteurs et EF EH en fonction des vecteurs et AB BC .

3. Trouver k réel tel que EH kEF . Que peut-on en déduire pour les points E, F et H ?

7. Parallélogramme - 5

Soit ABCD un parallélogramme.

1. Placer les points I, J, K et L définis par : 1

4 DI DC ,

1

4 BJ BC ,

2

3 AK AB ,

1

3 DL AD  .

2. a. En utilisant la relation de Chasles, exprimer IJ en fonction de AB et AD , puis KL en fonction de

AB et AD .

b. En déduire que les droites  IJ et  KL sont parallèles.

3. a. On se place dans le repère  ; ,A AB AD . Déterminer dans ce repère les coordonnées des points A, B, C, D, I, J, K et L.

b. Les droites  IL et  JK sont-elles parallèles ? Justifier.

4. Quelle est la nature du quadrilatère IJKL ?

8. Parallélisme

On donne un triangle ABC et les trois points D, E et F définis par : 3AD AB , 2CF CB , 3AE AC  .

1. Prouver que D,E et F sont alignés.

2. On donne le point G tel que : 2BG BC . On appelle le point I le milieu de [AC]. Prouver que (DG) est parallèle à (BI).

3. On donne les points H et K tels que 2

3 CH CA et

1

3 BK BA . Prouver que (HK) est parallèle à (BI).

9. Alignement - 1

Soit un parallélogramme ABCD de centre O (rappel : on place les points dans le sens trigonométrique direct).

1. On choisit  ,AB AD comme base de vecteurs. Pourquoi ce choix est-il possible ?

2. Quelles sont les coordonnées des vecteurs AC , AO et DB (justifiez) ?

3. Construire E tel que les coordonnées de CE soient 2 5

; 3 3

   

  .

4. Démontrer que D, B et E sont alignés.

10. Alignement - 2

Soit un parallélogramme non aplati ABCD, E et F deux points de la droite (BD).

1. Placer les points G et H définis par AG AB AE  et AH AB AF  .

2. Montrer que les points C, G et H sont alignés.

3. On pose .BE x BD et .BF y BD Comment choisir les réels x et y pour que :

a. G appartienne à (AB) et H à (DC).

b. C soit le milieu de [GH].

c. G soit le milieu de [CH].

d. H soit le milieu de [CG].

11. Alignement - 3

Soit le rectangle ABCD de centre O, I le milieu du segment [AD].

1. Placer le point J tel que 1

3 IJ IB .

2. Il semble que les points A, J et C soient alignés. Montrons le en utilisant deux méthodes différentes …

Méthode 1 : Calcul analytique.

On se place dans le repère ( , , )A AB AC . Trouver les coordonnées du point J. Démontrer que les points A,

J et C sont alignés.

Méthode 2 : Méthode géométrique.

Que représente le segment [IB] pour le triangle ADB ? Que représente le point J pour le triangle ADB ? Rédiger une démonstration de l’alignement des points A, J et C.

12. Alignement - 4

On donne un triangle ABC.

1. Placer le point E tel que 2 0EA EB  (on cherchera d'abord une relation du type AE kAB ).

2. F un point quelconque. Montrer que 2 3FA FB FE  . Placer le point H tel que 2 3 0HA HB HC   .

3. Quelle conjecture peut-on faire pour les points C, E et H ?. La démontrer.

13. Alignement - 5

Soit ABC un triangle, I le milieu de [BC], D et E les points définis par : 1

2 CD AB et

1

2 BE AC .

Soit J le milieu de [DE]. Faire une figure.

1. Montrer l'égalité BE CD AI  , d'autre part l'égalité 2BE CD IJ  .

2. Déduire des questions précédentes que A, I et J sont alignés.

3. Soit F le point défini par 3

4 AF AI . Montrer que F est le milieu de [AJ].

14. Barycentres -1

ABC est un triangle de centre de gravité G. On appelle I le milieu de [BC]. La parallèle à (BC) menée par G coupe (AC) en E.

1. Faire la figure et construire le point D défini par 2AD AB .

2. Trouver k réel tel que AE kAC .

3. Montrer que 0AB DB  .

4. Monter que les points I, D et E sont alignés.

15. Barycentres -2

Deux triangles ABC et DBC ont en commun le côté BC. On note O le milieu de [BC], I le centre de gravité du triangle ABC et J celui de DBC. Montrez que (IJ) est parallèle à (AD).

16. Orthogonalité

Dans un carré de côté 1, on place M tel que 1

4 DM DC , et N tel que

1

4 CN CB .

P est le milieu de [AB]. La droite (MP) coupe la droite (CB) en S.

La perpendiculaire à (MP) passant par N coupe (DC) en R.

Démontrez que (MN) et (RS) sont perpendiculaires (pour la figure prendre un carré de côté 3 cm).

17. Construction de vecteurs - 1

Soient les points A(2 ; 3), B(−2 ; −1) et C(0 ; 2).

1. Calculer les coordonnées des vecteurs AB et AC . Sont-ils colinéaires ? Les points A, B, C sont ils alignés ?

2. Déterminer les coordonnées de D tel que ABCD soit un parallélogramme : on utilisera l’égalité de deux vecteurs puis le symétrique de B par rapport au milieu de [AC] pour vérifier.

3. Soit E le point de coordonnées (–1 ; –1). Est-ce que ABEC est un parallélogramme ? (indiquer 3 méthodes pour montrer que 3 points forment un parallélogramme, en choisir une et l’appliquer).

4. Les droites (ED) et (AB) sont-elles parallèles ?

18. Construction de vecteurs - 2

Dans un repère orthonormal  ; ,O i j on se donne les vecteurs 2 3u i j  et 2v i j   .

1. Construire u et v puis les vecteurs 1

3 ; 2 ; 3 2 ; 2 2

u v u v u v u v      .

2. Donner les coordonnées de chacun de ces vecteurs.

3. Construire le vecteur 2 3w u v i j    . Quelles sont ses coordonnées ? Donner une expression

vectorielle simple de w en fonction de eti j .

19. Trigo/ lignes trigo de 75°

Soit ABC un triangle tel que l’angle ˆ 4

B   et l’angle ˆ

3 C   radians. H et K sont les projetés orthogonaux

de A sur (BC) et de C sur (AB). De plus BH = 6.

1. Faire la figure. Quelle est la mesure en radians de l’angle  ? En degrés ? Placer le point M d’abscisse

curviligne  sur le cercle trigonométrique.

2. Donner une valeur approchée de cos, sin et tan de  avec le cercle (inutile d’utiliser la calculatrice…).

3. Calculez les longueurs AH, AC, BC, CK et AK.

4. Déduisez en les valeurs exactes de cos( ), sin( ) et tan( ).

20. Droites/rectangle

Soit un rectangle ABCD, AB = 6 cm, AD = 4 cm. M le milieu de [AB], N le milieu de [CD], les droites (DM) et (BN) coupent [AC] en I et J.

1. Montrer que (DM) et (BN) sont parallèles.

2. Montrer que AI = IJ = JC.

On prend maintenant le repère  ; ,A i j (A en bas à gauche, i de longueur 1 cm et colinéaire à AB , j

de longueur 1 cm et colinéaire à AD ).

3. Déterminer les coordonnées des points A, B, C, D, M et N.

4. En déduire les équations des droites (DM), (BN), (AC). Reprendre alors les questions 1° et 2°.

21. Droites orthogonales (en utilisant Pythagore…)

On se donne la droite D(x+y = 0) ainsi que le point A(4 ; –2).

1. Déterminer l’équation de la droite  orthogonale à D et passant par A.

2. Déterminer les coordonnées du point d’intersection H entre D et .

3. Calculer la distance AH.

22. Vecteur directeur, coefficient directeur

On se donne deux vecteurs a

u b

      

et c

v d

      

.

1. Montrer que ces deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si 0ad bc  .

2. Montrer que ces deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si 0ac bd  .

3. On dira que u est un vecteur directeur d’une droite (d) si et seulement si pour tout point M de (d), si

A est un point de (d) alors AM et u sont colinéaires.

a. Trouver un vecteur directeur de chacune des droites suivantes :

* 2 3 4 0x y   ; * 1 2

3 0 2 5

x y   ; * 4 5 0x   ; * 2 1y  ; * x y ; 1 3

2 4 y x   .

b. On se donne la droite (d) passant par A et de vecteur directeur u ; donner une équation cartésienne de (d).

*  : 11A  , 2

3 u       

; * 0 : 1

2 A      

, 1

0,3 u

      

; * : 1 1

2 A      

, 0

2 u       

;

* : 2 7

5 3 A      

, 1 / 4

3 u       

; *  : 11A  , 2 / 2

2 / 2 u         

; *  : 21A  , 2008

1004 u       

.

4. a. Montrer que pour une droite d’équation 0ax by c   un vecteur directeur est b

a

     

.

b. Donner les coordonnées d’un vecteur directeur de la droite d’équation y mx p  .

c. Comment passe-t-on de l’un à l’autre ?

d. Quel est le lien entre vecteur directeur et coefficient directeur ?

e. Une droite fait un angle  avec l’horizontale. Donner en fonction de  les coordonnées d’un vecteur directeur et du coefficient directeur de cette droite.

23. Equations de droites : lecture graphique 1

Donner, sans justification, les équations des droites ci-contre.

(D1) : ...............................................

(D2) : ...............................................

(D3) : ...............................................

(D4) : ...............................................

(D5) : ...............................................

(D6) : ...............................................

(D7) : ...............................................

(D8) : ...............................................

24. Equations de droites : lecture graphique 2

1. En utilisant les informations données sur le dessin, déterminer une équation de chacune des droites ci-contre (on donnera des valeurs exactes).

(d1) : .........................................................................

(d2) : .........................................................................

(d3) : .........................................................................

(d4) : .........................................................................

2. Les droites (d2) et (d4) sont elles parallèles ? Pourquoi ?

25. Equations de droites : lecture graphique 3

Déterminer graphiquement une équation de chacune des droites ci-dessous :

26. Equations de droites : lecture graphique 4

D1

D2

D3

D4

D5

1. Voici 5 droites dans un repère (chaque carreau a pour côté 1).

a. Associer à chaque droite l’une des équations suivantes en justifiant votre choix :

x + 2y  3 = 0 ; 2x + y  4 = 0 ; x + y + 3 = 0 ; xy  3 = 0 ; x  2y + 4 = 0.

b. Donner l’équation de la droite parallèle à D2 passant par le point de coordonnées (−1 ; −2).

27. Equations de droites 1

OABC est un carré de côté 4 cm. Soit F le point tel que 3

2 CF CO et E le milieu de [BC]. On rapporte le

plan au repère orthonormal  ; ,O i j avec 1

4 i OC  et

1

4 j OA .

1. Donner par lecture graphique les coordonnées des points A, B, C et calculer celles de E et F. Montrer que le triangle AEF est rectangle isocèle.

2. Déterminer une équation cartésienne de la droite (BF)

3. Déterminer une équation cartésienne de la hauteur (h) issue de O dans le triangle OAF et calculer les coordonnées du point d’intersection I de (BF) et (h)

4. Soit G le point d’ordonnée négative tel que le triangle OFG soit rectangle et isocèle en F. Préciser les coordonnées de G et prouver que les points A, I et G sont alignés. Quelle propriété possèdent les droites (AG), (BF) et (h) ?

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome