Travaux pratiques - géométrie vectorielle analytique - 2° partie, Exercices de Calcul avancé
Eusebe_S
Eusebe_S20 May 2014

Travaux pratiques - géométrie vectorielle analytique - 2° partie, Exercices de Calcul avancé

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Travaux pratiques de sciences mathématique sur la géométrie vectorielle analytique - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Equations de droites, Equation hauteur et médiatrice, Equation d’une médiat...
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28. Equations de droites 2

Soient dans un repère orthonormé ( ; , )O i j les points de coordonnées A(1 ; 2), B(4 ; 2) et C(6 ; 0).

1. Faire une figure (unité 3 cm) et montrer que OABC est un trapèze. 2. Déterminer les équations des diagonales de OABC et les coordonnées de leur point d'intersection D.

3. Déterminer les coordonnées des milieux I et J de [OC] et [AB].

4. Déterminer les coordonnées du point d'intersection E de (OA) et (BC).

5. Montrer que D, E, I, et J sont alignés.

29. Equations de droites 4

1. Parmi ces droites, lesquelles sont parallèles, confondues ou sécantes ?

(D1) : 6x – 3y + 4 = 0 (D2) : 2x – y + 7 = 0 (D3) : y = 2x+ 4

3 (D4) : –12x + 6y – 8 = 0

(D5) : 5x + 2y + 10 = 0 (D6) : x – 5y – 10 = 0 (D7) : 3x – 2y + 5 = 0 (D8) : 2x + 3y = 5

2. Déterminer les coordonnées du point d’intersection de D7 et D2.

30. Equations de droites 5

Dans un plan rapporté à un repère orthonormé de centre O, on considère les points

     3 ; 1 ; 1 ; 3 ; 2 3 ; 2 3A B C  

1. Faire une figure. Quelle est la nature du triangle ABC ?

2. On considère la symétrie de centre O. Soient A', B' et C' les symétriques de A, B, C dans cette symétrie. Trouver les coordonnées de A', B', C'.

3. Soit (D) la droite passant par A' et B'. Trouver une équation de (D).

4. Soit (D') la droite passant par C et C' ; trouver une équation de (D'). Montrer que (D) et (D') sont perpendiculaires.

5. Par quelle symétrie autre que celle du 2. peut on passer du triangle ABC au triangle A'B'C' ?

31. Equations de droites 6

Dans le repère orthonormé ( ; , )O i j on donne les points A( 2 ; – 4) et B (3 ; – 5).

1. Déterminer une équation cartésienne de la droite (AB)

2. Déterminer une équation cartésienne de la droite ( ) parallèle à (AB) et passant par le point C(0 ; 3).

3. Déterminer une équation cartésienne de la médiane issue de A dans le triangle ABC.

32. Equations de droites 7

Tracer les droites d'équation :

(  1) : y = 2x – 4 ( 2) : y = – 3x + 5 ( 3) : 3

4 2

y x  ( 4) : 2 1

5 5 y x  

(  5) : x + 2y – 2 = 0 ( 6) : 1

2 1 0 4

x y   ( 7) : 5 2 3 0x y   ( 8) : 3 2 7 0x y   

33. Equations de droites 8

Dans un repère orthonormé :

1. Tracer les droites (D1) d'équation 2x + 5y = 7 et (D2) d'équation 3x  4y = 5.

2. Calculer par la méthode de votre choix les coordonnées du point A intersection de (D1) et (D2). Vérifier graphiquement votre résultat.

34. Equation hauteur et médiatrice 1

Placer les points A(5 ; −2) , B(−8 ; 7) et C(13 ; 4) dans un repère orthonormal.

1. Dans le triangle ABC déterminer une équation de la hauteur issue de A et une équation de la médiane issue de B. On appellera J le pied de cette médiane.

2. Vérifier que le point H(6 ; 5) est le pied de la hauteur issue de A. Calculer la distance AH et la distance HC. Que peut-on en déduire pour la droite (HJ) ?

35. Equation hauteur et médiatrice 2

Dans un repère orthonormé, on donne les points A(– 4 ; – 1) ; B( 2 ; 6) ; C(4 ; – 5).

1. a. Déterminer une équation de la droite (AC)

b. Démontrer que la droite d’équation : 7x – 6y + 22 = 0 passe par A et B.

2. a. Déterminer une équation de la droite () perpendiculaire à (AC) passant par B.

b. Vérifier que (  ’) : 6 11

7 7 y x   est perpendiculaire à (AB) et passe par C (utiliser Pythagore).

c. Déterminer les coordonnées de l’orthocentre du triangle ABC (intersection des hauteurs du triangle).

36. Equation d’une médiatrice.

On rappelle que la distance entre deux points U, de coordonnées xU et yU, et V de coordonnées xV et yV est

2 2( ) ( )U V U VUV x x y y    .

On fera une figure soignée que l’on complètera au fur et à mesure (unité : 3 cm).

1. Soient les points A(2 ; 1) et B(−1 ; 3). En écrivant que pour un point M(x ; y) de la médiatrice de [AB]

on a MA = MB, montrez que l’équation de la médiatrice (d) de [AB] est 6 4 5 0x y   .

2. Donnez l’équation de (AB) et vérifiez que (d) et (AB) sont sécantes en I, milieu de [AB].

3. On prend le point C(0 ; −2). De la même manière que précédemment déterminez l’équation de la médiatrice (d’) de [AC]. Vérifiez que (AC) et (d’) sont sécantes en J, milieu de [AC].

4. Déterminez les coordonnées du point d’intersection P de (d) et (d’). Déduisez-en le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC.

5. On considère la droite (h) parallèle à (d) et passant par C. Déterminez son équation, déduisez-en les coordonnées du pied HC de la hauteur (h) issue de C.

6. De la même manière déterminez l’équation de la hauteur issue de B ainsi que les coordonnées du pied HB de la hauteur issue de B. Déterminez les coordonnées de l’orthocentre H du triangle ABC.

7. Déterminez les coordonnées du centre de gravité G du triangle ABC (on cherchera les équations de deux médianes puis leur intersection) ; montrez que P, H et G sont alignés et que PH = 3PG.

37. Equations de droites et intersections

Dans le plan rapporté à un repère orthonormal  ; ,O i j soient le point A(–2 ; 1) et le vecteur 2

3 u

      

. On note d la droite passant par A et de vecteur directeur u .

1. Le point O appartient-il à d ? Le point B(–1 ; –1/2 ) ?

2. Donner une équation de d et la tracer. Quelles sont les coordonnées de ses points d’intersection avec les axes ?

3. C est le point tel que 2BC AO . Déterminer les coordonnées de C ainsi qu’une équation de la droite (BC). La tracer et déterminer son intersection avec d.

4. Soit d’ la droite passant par D(0 ; 4) et parallèle à d. Donner une équation de d’, la tracer et déterminer graphiquement puis par le calcul les coordonnées de son point d’intersection K avec (BC).

5. Soit  la droite d’équation x + 2y – 4 = 0. Déterminer son vecteur directeur ainsi que deux de ses points. Tracer  . Que peut on en dire ? Déterminer ses points d’intersection avec d et d’.

6. Montrer de trois manières différentes que la figure formée par d, d’,  et (BC) est un parallélogramme.

38. Parallélogramme 1

On considère un parallélogramme ABCD . Les points I et J sont les milieux respectifs de [CD] et [AB] . Les droites (AI) et (CJ) coupent la droite (BD) en M et N.

1. Faire la figure (il est conseillé de mettre A en bas à gauche).

2. On choisit le repère  , ,A AB AD . Déterminer les coordonnées des points A, B, C, D, I et J.

3. Donner les équations des droites (AI), (CJ) et (BD) puis les coordonnées de M et N. Montrer que (MINJ) est un parallélogramme.

39. Parallélogramme 2

Soient les points    3 ;1 , 2 ; 2A B   et 1

5 ; 2

C      

. Soit D le quatrième sommet du parallélogramme

ABCD.

1. Déterminer les coordonnées de D.

2. ABCD est il un rectangle ?

3. Vérifier l'égalité  2 2 2 22 AB BC AC BD   .

40. Parallélogramme 3

On se donne les points A(−2 ; 7), B(10 ; −1), C(0 ; −4) et D(−6 ; 0).

1. Les points I, J, K, L sont les milieux des côtés [AB], [BC], [CD] et [DA].

2. Déterminer la nature des quadrilatères ABCD et IJKL.

3. La droite (IK) passe-t-elle par l’origine du repère ?

41. Parallélogramme 4

ABCD est un parallélogramme.

A B

CD

H

E

1. Dans le repère ( ; , )A AB AD , donner les coordonnées de A,B, C et D.

2. Ecrire (sans justifier) une équation de chacune des droites (AC), (BD), (BC) et (DC).

3. Trouver les coordonnées du point E tel que : 1

3 AE AC  

4. Déterminer une équation de la droite (DE) et montrer qu'elle passe par le milieu de [AB].

42. Carré

ABCD est un carré. DIC et BCJ sont des triangles équilatéraux. On veut démontrer que A, I et J sont alignés.

1. Avec un repère : choisissons le repère orthonormé ( ; , )D DC DA  

.

a. Quelles sont les coordonnées des points D, C, A et B ?

b. Calculer les coordonnées des points I et J.

c. Donner une équation de la droite (AI).

d. Démontrer que J appartient à la droite (AI).

2. Calculer les angles BAI et BAJ et conclure.

3. Avec les rotations.

a. Construire le triangle équilatéral ACK, où K est dans le demi plan contenant D.

b. Démontrer que les points B, D et K sont alignés.

c. En utilisant la rotation de centre C et d'angle 60°, déterminer l'image des points B, D et K.

d. Conclure.

43. Distances - 1

Soit un repère orthonormal ( ; , )O i j tel que l’unité soit le centimètre.

1. Soient, dans ce repère, les points 7

; 6 2

A      

, 9

; 3 2

B      

et 5

; 4 2

C      

. Faire une figure.

2. Quelle est la nature du triangle ABC ?

3. Calculer son aire en centimètres carrés.

4. Déterminer les coordonnées du milieu I du segment [AB].

5. Déterminer une équation cartésienne de la droite (CI).

6. Soit le point D symétrique de C par rapport à I. Quelle est la nature du quadrilatère ACBD ? Justifier.

44. Distances - 2

Soit un repère orthonormal ( ; , )O i j tel que l’unité soit le centimètre.

1. Soient, dans ce repère, les points  2 ; 1A  , 1

1 ; 2

B       

, 3 5

; 2 2

C      

et 3

; 2 2

D      

. Faire une figure.

2. Déterminer les coordonnées des vecteurs AB et DC . Que peut-on en déduire pour le quadrilatère ABCD ?

3. Les vecteurs AB et AD sont-ils orthogonaux ? Justifier.

4. Calculer les longueurs AB et AD. En déduire la nature du quadrilatère ABCD.

5. Déterminer les coordonnées du milieu I de [AC].

45. Distances 3

Soit ( ; , )O i j un repère orthonormé. Soient les points 1

; 2 2

A    

  ,

7 7 ;

2 2 B

     

et  1 ; 2C .

1. Quelles sont les particularités du triangle ABC ?

2. Trouver les coordonnées du point D tel que ABDC est un carré.

46. Equations de droites et intersections / Rectangle d’or.

Dans un rectangle ABCD , on note I et K les milieux des côtés [AB] et [CD]. On note L sa longueur ( par

exemple AB) et on note l sa largeur. On va chercher le rapport L

l pour que les droites (DB) et (AK)

soient orthogonales.

1. Prendre une feuille de brouillon que vous joindrez à la copie et qui sera le rectangle ABCD. Placer les points, tracer les droites. Est ce que les droites sont orthogonales (à l’œil) ? Relever à la règle les

longueurs des côtés et calculer leur rapport L

l .

2. On prend un repère  ; ,A i j tel que i ait pour direction (AB) et pour longueur 1 et j la direction (AD) et pour longueur 1. Déterminez en fonction de l et L les coordonnées de A, B, C, D, I et K, puis des

vecteurs AK et BD .

3. Vérifiez que (AK) est perpendiculaire à (BD) si et seulement si 2 L

l

4.On suppose que le rectangle ABCD est tel que 2 L

l  . Exprimez en fonction de l la longueur et la

largeur du rectangle AIKD. On note L1 et l1 sa longueur et sa largeur. Que peut on dire de 1

1

L

l ?

5. Calculer le cosinus et le sinus des angles , ,BAC BAK AKB . Donner une valeur approchée de ces angles

en radian et en degré.

47. Equations de droites orthogonalité.

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé ( ; , )O i j (unité 2 cm) on considère la droite (d)

d’équation x−2y+3 = 0 ainsi que les points 5

2 ; 2

A      

, B(–3 ; 1), 9

6 ; 2

C      

et E(–1 ; –1).

1. Soit F le point tel que 3

3 2

OF i j  . Démontrer que le triangle ACF est rectangle en F.

2. On considère le vecteur u de coordonnées (2 ; 0). Déterminer les coordonnées du point G tel que

FG u

3. On appelle H le milieu du segment [AC]. Calculer ses coordonnées. Montrer que (d) et (GH) sont perpendiculaires.

4. Soit K le point tel que HK GH . Quelle est la nature du quadrilatère AKGC ?

5. Démontrer que les points A, C, F, G et K appartiennent à un même cercle dont on déterminera le centre et le rayon.

48. Equations de droites

Dans un repère orthonormé on se donne les points A(−2 ; −3), B(5 ; −1), C(−4 ; 4).

On fera la figure et on vérifiera par avance toutes les affirmations du texte et de vos calculs (coordonnées des points, distances, etc.)

1. Trouver les coordonnées du point D tel que ABDC soit un parallélogramme.

2. Vérifier que ABDC est un carré. On précisera la longueur de son côté.

3. Trouver les coordonnées de E le milieu de [AB] et de F le milieu de [DB].

4. Ecrire les équations des droites (AF) et (CE) ; trouver les coordonnées de leur point d’intersection H.

5. Montrer que (AF) et (CE) sont perpendiculaires. Quelle est l’aire du quadrilatère BFHE ?

49. Equations de droites : Th. de Pappus

JI

K

C'

B'

A'

CBA

On se donne les points A(0 ; 0), B(1 ; 0), C(3 ; 0) et A’(0 ; 1), B’(1 ; 2), C’(2 ; 3).

On note I le point d’intersection de (AB’) et (AB), J celui de (AC’) et (AC), K celui de (BC’) et (BC).

Montrer que I, J, K sont alignés.

50. Equations de droites : Quadrilatère complet

On se donne les points A(−6 ; 0), B(−4 ; 4), C(−1 ; 3).

1. Calculez les équations des droites (AB), (AC), (OB), (OC), (BC).

2. En déduire les coordonnées de D, intersection de (AB) et (OC) et de E, intersection de (AO) et (BC).

3. Vérifiez que l’équation de (ED) est 9 13 72 0x y   .

4. Déterminez alors les coordonnées de F, intersection de (AC) et (ED) puis de G, intersection de (OB) et (ED).

5. Montrez que . 1 EF DG

EG DF  .

G

F

E

D

C

B

A O

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