Travaux pratiques - géométrie vectorielle analytique - correction - 1° partie, Exercices de Calcul avancé
Eusebe_S
Eusebe_S20 May 2014

Travaux pratiques - géométrie vectorielle analytique - correction - 1° partie, Exercices de Calcul avancé

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Travaux pratiques de sciences mathématique sur la géométrie vectorielle analytique - correction - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Vecteurs, Colinéarité, Lecture graphique, Droites/carré, Const...
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Classe de Seconde

Géométrie vectorielle et analytique Exercices Corrigés

1. Question de cours (c) 2. Vecteurs (c) 3. Colinéarité (c) 4. Lecture graphique (c) 5. Droites/carré (c) 6. Construction (c) 7. Equations de droites 1 (c) 8. Equations de droites 2 (c) 9. Droites concourantes (c)

10. Equations de droites 3 (c) 11. Equations de droites, rectangle (c) 12. Equations de droites : Th. de Pappus (c) 13. Equations de droites : Quadrilatère complet (c) 14. Equations de droites : Centres de gravité, régionnement (c) 15. Fabriquer un carré (c) 16. Trois carrés (c)

1. Question de cours (c)

Démontrer que si les deux vecteurs ( ; )u x y et ( ' ; ')v x y sont colinéaires alors leur déterminant est nul.

Correction

Prenons deux vecteurs ( ; )u x y et ( ' ; ')v x y colinéaires. Par définition de la colinéarité, il existe un

nombre réel k tel que v ku .

On a donc : x’ = kx et y’= ky. Calculons, le déterminant des vecteurs u et v :

  '

det ; ' ' 0 '

x x u v xy x y xky kxy kxy kxy

y y         .

2. Vecteurs (c)

Soit ABC un triangle quelconque. A’ le milieu de [BC], G le centre de gravité du triangle, D et E les

points tels que 1

3 CD AB et

1

3 BE AC . On note I le milieu de [DE].

1. a. Montrer que 2 2

3 3 AI AB AC  .

b. Exprimer 'AA en fonction de AB et AC .

c. Démontrer que les points A, A’ et I sont alignés.

2. Démontrer que le point G est le milieu de [AI].

3. Prouver que les droites (BC) et (ED) sont parallèles.

Correction (en utilisant un repère)

I

E

D

G

A'

C

B A

Seconde 2 F. Laroche

Exercices : géométrie vectorielle et analytique

1. a. Prenons le repère  ; ,A AB AC A a pour coordonnées (0 ; 0), B(1 ; 0) et C(0 ; 1). Des données

de construction on tire que 1

1 ; 3

E      

et 1

;1 3

D      

, soit 2 2

; 3 3

I      

ou encore 2 2

3 3 AI AB AC  .

b. Les coordonnées de A’ sont 1 1

' ; 2 2

A      

d’où 1 1

' 2 2

AA AB AC  .

c. Faisons le déterminant des vecteurs :   1 / 2 2 / 3

det ', 0 1 / 2 2 / 3

AA AI   ; on pouvait également

remarquer que 3 4

2 ' ' 2 3

AA AB AC AI AI AA     .

2. Les coordonnées de G sont 1 1

; 3 3

G      

d’où 2AI AG et G est le milieu de [AI].

3.  

1 2 0 1 1 1

2 23 3 det , 0

1 2 3 3 1 0 1 1

3 3

BC ED

   

     

 

donc les droites (BC) et (ED) sont parallèles.

3. Colinéarité (c)

Soit un triangle ABC.

1. Construire les points D et E vérifiant : 2AD BC AB  et AE CB CA  .

2. Montrer que BD AC. Que peut-on en déduire géométriquement ?

3. Montrer que 2BE CA . Déduire de cette égalité et de la précédente que E, B et D sont alignés.

4. Soit I le milieu de [AB]. Justifier que 2CA CB CI  . Qu’en déduire pour les droites (AE) et (CI) ?

Correction

1. facile !

2. 2BD BA AD BA BC AB AB BA AB BC AC          .

On en déduit que ABDC est un parallélogramme.

3. 2BE BA AE BA CB CA CB BA CA CA CA CA           .

On en déduit que 2 2 2BE CA AC BD     : BE et BD sont donc colinéaires, les points E, B et D sont alignés.

4. Comme I est le milieu de [AB], on a : 0IA IB  .

D’où 2 2CA CB CI IA CI IB CI IA IB CI         .

On en déduit que, comme AE CB CA  = CA CB , alors 2AE CI . Si bien que AE et CI sont colinéaires. Les droites (AE) et (CI) sont parallèles.

4. Lecture graphique (c)

Répondez directement sur le sujet.

1. En utilisant les informations données sur le dessin, déterminer une équation de chacune des droites ci-dessous (on donnera des valeurs exactes, pas de justification).

(d1) : .........................................................................

(d2) : .........................................................................

(d3) : .........................................................................

Seconde 3 F. Laroche

Exercices : géométrie vectorielle et analytique

2. Les droites (d2) et (d3) sont elles parallèles ? Pourquoi ?

Correction

1. (d1) : passe par (−5 ; 4) et (−1 ; 1), équation : 5 4

3 15 4 16 0 4 3 1 0 4 3

x x y y x

y

          

  .

(d2) : passe par (4 ; 4) et (0 ; 1), coeff. directeur 3

4 , ordonnée à l’origine : 1, équation :

3 1

4 y x  .

(d3) : passe par (−5 ; −5) et (2 ; 0), coeff. directeur 5

7 ,

5 10 0 .2

7 7 p p     , équation :

5 10

7 7 y x  .

2. Les droites (d2) et (d3) ne sont pas parallèles : elles n’ont pas le même coefficient directeur.

5. Droites/carré (c)

Soit ABCD un carré, E le milieu de [AB], F le milieu de [AD]. On pose AE = 1.

1. Donner les coordonnées des points A, B, C, D, E et F dans

le repère (A ; , )AE AF .

2. a. Ecrire l’équation de la droite (BF).

b. Soit 2 2

; 3 3

G      

. Montrer que G appartient à la droite

(BF).

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7x

y

(d1)

(d2)

(d3)

Seconde 4 F. Laroche

Exercices : géométrie vectorielle et analytique

3. Montrer que les points D, E et G sont alignés.

4. Que représente G pour le triangle ABD ? Justifier.

5. Que peut-on en déduire sur la droite (AC) ? Justifier.

G

E

F

CD

BA

Correction

1. A(0 ; 0), B(2 ; 0), C(2 ; 2), D(0 ; 2), E(1 ; 0) et F(0 ; 1).

2. a. 2 0 2

1( 2) ( 2) 2 2 0 0 1 0

x x y x y

y

         

  .

b. On remplace x et y par les coordonnées de G : 2 2 6

2 2 2 0 3 3 3      . Ok.

3. Calculons les coefficients directeurs : 2 / 3 0 2 0 2 / 3

2 2 / 3 1 0 1 1 / 3

G E D E

G E D E

y y y y

x x x x

        

    . Ok.

4. (DE) est une médiane puisque E est le milieu de [AB], de même (BF) est une médiane donc G est le centre de gravité du triangle ABD.

5. (AC) est la troisième médiane puisqu’elle passe par le centre du carré, soit par le milieu de [DB]. A, G et C sont alignés. En fait la droite (AC) a pour équation y = x qui contient évidemment G.

6. Construction (c)

Le but de l’exercice est de construire un triangle ABC’ à l’intérieur d’un triangle ABC de sorte que

- A’ est le milieu de [BC’],

- B’ est le milieu de [CA’],

- C’ est le milieu de [AB’].

A

C

B

On choisit le repère  ; ,A AB AC : les coordonnées de A sont donc (0 ; 0), celles de B (1 ; 0) et celles de C (0 ; 1). On pose les coordonnées de A’ : ( ; ')a a , celles de B’ ( ; ')b b et celles de C’ : ( ; ')c c .

1. a. Montrez que 1 2

' 2 '

c a

c a

   

puisque 2

' 1 2 '

a b

a b

   

et 2

' 2 '

b c

b c

  

.

b. Résoudre le système d’inconnues a, b et c :

1 2

2

2

c a

a b

b c

   

 

.

Seconde 5 F. Laroche

Exercices : géométrie vectorielle et analytique

c. Résoudre un système similaire d’inconnues a’, b’ et c’.

2. A l’aide des résultats précédents montrez les relations suivantes :

4 1 '

7 7

2 4 '

7 7

1 2 '

7 7

AA AB AC

AB AB AC

AC AB AC

 

 

 

3. Utilisez ces relations pour construire les points A’, B’ et C’ sur la figure jointe (les vecteurs de construction doivent apparaître).

4. Vérifiez que ' ' 'AC C B à l’aide des relations du 2. Qu’en concluez-vous ? Ecrivez deux autres relations que vous pourriez obtenir de la même manière.

5. Curieusement les triangles ABC et ABC’ ont l’air semblables sur la figure. Qu’en pensez-vous ?

Correction

A

C

B

C'

B'

A'

1. a. A’ est le milieu de [BC’] donc

1

1 22

0 ' ' 2 ' '

2

c a

c a

c c a a

   

    



; B’ est le milieu de [CA’] donc

0

22

' 1 ' 1 2 ' '

2

a b

a b

a a b b

    

    

, enfin C’ est le milieu de [AB’] donc

0

22

0 ' ' 2 ' '

2

b c

b c

b b c c

    

   

.

b.

1 2 1 4 8 1 7 1 / 7

2 2 2 4 / 7

2 2 2 2 / 7

c a c b c c c

a b a b a b a

b c b c b c b

                       

         

.

c.

' 2 ' ' 2 ' ' 2 / 7

' 1 2 ' ' 1 4 ' 8 ' ' 1 / 7

' 2 ' ' 2 ' ' 4 / 7

c a c a c

a b a c a a

b c b c b

                 

      

.

Seconde 6 F. Laroche

Exercices : géométrie vectorielle et analytique

2. Les coordonnées de A’ dans le repère  ; ,A AB AC sont donc 4 1

; 7 7

     

, soit écrit sous forme

vectorielle : 4 1

' 7 7

AA AB AC  . De même les coordonnées de B’ sont 2 4

; 7 7

     

donc 2 4

' 7 7

AB AB AC  ,

enfin celles de C’ sont 1 2

; 7 7

     

d’où 1 2

' 7 7

AC AB AC  .

3.

A'

C'

B'

4/7=0,5714286

2/7=0,2857143

1/7=0,1428571 u=7

A

C

B

4. 2 4 1 2 1 2

' ' ' ' ' ' ' 7 7 7 7 7 7

C B C A AB AB AC AB AC AB AC AB AC AC           . Ceci montre bien

que C’ est le milieu de [AB’]. On a de même ' ' 'BA A C et ' ' 'CB B A .

5. En fait ces triangles ne sont pas du tout semblables… sur la figure du début on voit bien que les angles sont différents !

A

C

B

C'

B'

A'

7. Equations de droites 1 (c)

Dans le repère orthonormé ( ; , )O i j on donne les points A(2 ; −4) et B(4 ; 2)

a. Tracez la droite (AB) et expliquez comment obtenir une équation de cette droite par simple lecture graphique.

b. Déterminez par le calcul une équation de la droite (AB).

c. Déterminez une équation de la droite (D) parallèle à (AB) et passant par le point C(0 ; 3).

Seconde 7 F. Laroche

Exercices : géométrie vectorielle et analytique

d. Déterminez une équation de la médiane issue de A dans le triangle ABC.

-20

-15

-10

-5

0

5

10

-4 -2 0 2 4 6 8

Correction

a. L’ordonnée à l’origine est −10, le coefficient directeur est indiqué par les traits gras :

6 3

2

différence des y

différence des x   .

b. 2 4 2

6( 2) 2( 4) 6 2 20 0 3 10 0 4 2 ( 4)

x x y x y x y

y

             

   .

c. Même coefficient directeur 3 : 3

3 3 3 3.0

y x b y x

b

    

  .

d. On cherche le milieu de [BC], soit 5

; (2 ; ) 2 2 2

B C B Cx x y yI   

   

.

Equation de la médiane (AI) :

2 2 2 13 13 ( 2) 0( 4) 13 0 2

4 5 / 2 ( 4) 2 2

x x y x x

y

          

   .

Seconde 8 F. Laroche

Exercices : géométrie vectorielle et analytique

8. Equations de droites 2 (c)

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé ( ; , )O i j , on considère les points (4 ; 2)A  , ( 4 ; 1)B   ,

(2 ; 8)C et ( 2 ; 2)H  .

1. Faire une figure et montrer que les points B, C et H sont alignés.

2. a. Calculer les distances AH, BH et AB.

b. Démontrer que le triangle AHB est rectangle en H.

3. Calculer l’aire du triangle ABC.

4. Soit (D) la droite qui passe par A et qui est parallèle à (BC).

a. Déterminer le coefficient directeur de (BC) ou un vecteur directeur de (BC).

b. Déterminer une équation de (D).

c. Le point 5

7 ; 2

E      

appartient-il à (D) ?

d. Quelle est l’aire du triangle BCE ?

Correction

EH

C

B

A

y

j

i xO

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé ( ; , )O i j , on considère les points (4 ; 2)A  , ( 4 ; 1)B   ,

(2 ; 8)C et ( 2 ; 2)H  .

1. B, C et H sont alignés :   2 4 2 4 6 2

det , 18 18 0 8 1 2 1 9 3

BC BH   

      

.

2. a. 2 2( 2 4) (2 2) 36 16 52AH         , 2 2( 2 4) (2 1) 4 9 13BH         ,

2 2( 4 4) ( 1 2) 64 1 65AB         .

Seconde 9 F. Laroche

Exercices : géométrie vectorielle et analytique

b. Pythagore dans AHB : 2 2 252 13 65AH BH AB     .

3. Le triangle ABC a pour base BC et pour hauteur AH. Il suffit donc de calculer BC :

2 2(2 4) (8 1) 36 81 117BC        d’où l’aire du triangle ABC : 1 1

. 52. 117 39 2 2

AH BC   .

4. a. Le coefficient directeur de (BC) est 9 3

6 2

C B

C B

y y

x x

  

 ; un vecteur directeur de (BC) est

6

9 BC

      

.

b. (D) passe par A et est parallèle à (BC) donc elle a même coefficient directeur ou même vecteur directeur :

*

3 / 2 3 / 2 3

83 82 4 2

2

m m

y mx p y x pp

 

            

ou bien

*   4 6

det , 9( 4) 6( 2) 0 9 36 6 12 0 3 2 16 0 2 9

x AM BC x y x y x y

y

                

.

c. 5

7 ; 2

E      

appartient à (D) : 5

3.7 2. 16 21 5 16 0 2

      .

d. L’aire du triangle BCE est la même que celle du triangle ABC… (même base BC et même hauteur AH).

9. Droites concourantes (c)

On définit trois droites de la manière suivante :

* (D1) passe par A(−4 ; −1) et a pour coefficient directeur 3

4 ;

* (D2) passe par B(0 ; 2) et C(3 ; 0) ;

* (D3) est parallèle à l’axe (Oy) et passe par C.

1. Représenter ces trois droites.

2. Ecrire une équation de chacune de ces droites.

3. Déterminer leur(s) point(s) d’intersection deux à deux. Sont-elles concourantes ?

Correction

1.

A

B

C

1

1O

2. (D1) : 3

4 y x b  et

3 1 ( 4) 1 3 2

4 b b         ; on a donc

3 2

4 y x 

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