Travaux pratiques - informatique - 1° partie, Exercices de Calcul avancé
Eusebe_S
Eusebe_S20 May 2014

Travaux pratiques - informatique - 1° partie, Exercices de Calcul avancé

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Travaux pratiques de sciences mathématique sur l'informatique - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Initiation à Geogebra : configurations, L’équerre, Quadrilatère de Varignon, Triangle d’aire max...
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Seconde

Travaux pratiques Informatique

1. Initiation à Geogebra : configurations 1

1-1 : Un triangle rectangle 1

1-2 : L’équerre 3 2. Petits exos de géométrie 5

2-1 : Carré et triangles équilatéraux 5

2-2 : Quadrilatère de Varignon 5

2-3 : Triangle d’aire maximale 6

2-4 : La parabole 6

2-5 : Lieu de points 6

2-6 : Rotation 7

2-7 : Point fixe 8

3. Pentagone et nombre d’or 8 3-1 : Angles et côtés 8 3-2 : Construction dite de Ptolémée 9 3-3 : Méthode des cercles tangents 9 3-4 : Construction de Dürer 9

3-5 : Les étoiles de Compostelle 10 4. Conjectures et démonstrations 10

4-1 : Autour de trapèzes 10

4-2 : Points remarquables dans le triangle & Droite d’Euler 11

4-3 : Le parallélogramme tournant 11

4-4 : Le parallélogramme tournant (2ème version, B. Brodin) 11

5. Lieux de points 12

5-1 : Avec des vecteurs 12

5-2 : Avec des fonctions 13

5-3 : Arc et flèche 13 6. Probabilités et statistiques 14

6-1 : TP EXCEL Nous voulons une fille ! 14 7. Problèmes 17

7-1 : Un poncho très « fashion » 17

1. Initiation à Geogebra : configurations

1-1 : Un triangle rectangle

A. Propriétés du triangle rectangle

1. On se propose de construire un triangle ABC rectangle en A et de retrouver une propriété de ce triangle.

a. Ouvrez le logiciel Geogebra.

b. Sélectionnez l’ icône « nouveau point » pour construire les points A et B .

c. Construire le segment [AB] : choisir dans le menu « segment entre deux points » ; cliquer ensuite sur A puis sur B.

d. Construire la perpendiculaire à [AB] passant par A : approcher le curseur du segment [AB], puis du point A.

e. Créer un nouveau point C sur la droite obtenue précédemment.

Choisir le mode « nouveau point », positionner le curseur sur la droite puis double cliquer.

Le fait de se positionner sur la droite fera du point C un point de cette droite.

Créer le segment [BC].

f. Construire le milieu I du segment [BC] : rapprocher le curseur du segment [BC] puis renommer le milieu que le logiciel appelle D par défaut ( clic droit et « renommer » ).

g. On se propose de comparer les longueurs des segments [AI], [IB] et [IC]. Définir ces segments et comparer leurs longueurs qui s’affichent dans la colonne de gauche. Rédiger votre réponse :

Bouger les points B et C : pour déplacer le point B, choisir l’icône « déplacer » (première en partant de la gauche) puis cliquer en maintenant appuyé sur le point B ( le curseur se transforme en main ).

La propriété mise en évidence précédemment est-elle encore vraie ?

Pouvez-vous le démontrer ? Vous pourrez utiliser la symétrie centrale de centre I.

1-2 : L’équerre

Le triangle ABC représente une équerre telle que AB = 3, AC = 6 et l’angle en B est droit. Les points A et C glissent respectivement sur les demi-droites perpendiculaires [OM) et [OS). Le point I est le milieu du segment [AC]. On s’intéresse aux lieux des points I et B.

B

I

A

C

M

SO

1. Observer les propriétés géométriques de la figure. Avec Geogebra, construire une figure dynamique illustrant la situation.

Appeler le professeur pour vérifier la construction

ou en cas de difficulté.

2. Visualiser, à l’aide du logiciel, le lieu du point I quand A décrit la demi-droite [OM).

Quelle conjecture peut-on émettre sur la nature de ce lieu ?

Appeler le professeur pour valider la conjecture.

Aide pour la construction de la figure et la détermination du lieu.

1. Construire les demi-droites [OS) et [OM) (voir partie A).

2. Créer un point A sur la demi-droite [OM) (voir partie A).

Il faut définir le point C. Il se trouve à l’intersection de deux courbes. Lesquelles ?

3. Pour construire le cercle de centre A et de rayon 6, entrer L_1=6 dans la fenêtre de « saisie » puis faire « entrée » sur votre clavier.

Il suffit ensuite de créer le cercle de centre A et de rayon L_1 ( icône « Cercle (centre-rayon) »

Pour créer le point C comme intersection du cercle et de la demi-droite, il y a deux possibilités :

- création de C comme simple point d’intersection : en mode « nouveau point », il suffit de placer le curseur à l’intersection des deux courbes et de double cliquer.

- création de tous les points d’intersection possible : se placer en mode « intersection de deux objets », sélectionner le cercle ( qui passe en gras ) et la demi-droite( idem ) ; le point est créé.

Le point B est également à l’intersection de deux courbes. Lesquelles ?

4. Construisez le triangle ABC ; après avoir fait un clic droit près d’un cercle, désactivez la fonction « afficher l’objet » pour supprimer les cercles de construction.

5. Pour observer le lieu du point I lorsque A décrit la droite [OM), activez la trace de ce point ( clic droit près du point puis « trace activée ») .

(6) Pouvez-vous démontrer ce que vous venez de conjecturer ?

7. Sur quelle courbe se situe le point B lorsque A décrit la demi-droite [OM) ? Pouvez-vous le

démontrer ? (Indication : que vaut l’angle AOB lorsque A est distinct de O ? )

2. Petits exos de géométrie

2-1 : Carré et triangles équilatéraux

Construire un carré ABCD. Sur le côté AB construire un triangle équilatéral ABI, I à l’intérieur du carré ; sur le côté BC construire un triangle équilatéral BCJ, J à l’extérieur du carré.

Que pouvez vous dire de D, I, J ?

2-2 : Quadrilatère de Varignon

On considère un triangle BOA quelconque. On construit sur les côtés OB et OA deux triangles rectangles isocèles de sommet O : BOE et AOC.

I, J, K et L sont les milieux de [AB], [AC], [CE] et [EB].

1. Faire la figure.

2. Que pouvez-vous dire de IL et KJ ?

3. Comparez les longueurs BC et AE.

3. Que pouvez-vous dire que quadrilatère IJKL ? Preuve ? (On pourra utiliser une rotation de centre O et

d'angle 2

 .)

2-3 : Triangle d’aire maximale

On considère un triangle isocèle de périmètre fixé, égal à 15.

Le but de cet exercice est de déterminer parmi tous les triangles possibles celui dont l’aire est maximale.

1. Expérimentation à l’aide d’un logiciel de géométrie :

a. A l’aide d’un logiciel de géométrie, construire un triangle ABC isocèle en A, dont le périmètre est fixé et exactement égal à 15.

b. Parmi tous les triangles possibles, quelle semble être la nature du triangle d’aire maximale ?

2. Démonstration : on note x la longueur BC et A(x) l’aire de ABC.

a. Dans quel intervalle le réel x peut il prendre ses valeurs ?

b. Soit H le milieu de [BC], exprimer AH en fonction de x et en déduire que   225 30 4

x x x A .

c. Résoudre le problème posé.

2-4 : La parabole (M. Obadia)

A. Enoncé

Dans un repère orthonormal, P est la parabole d’équation 2y x .

Un point M d’abscisse m  0m sur P se projette orthogonalement en H sur l’axe  Oy des ordonnées.

La perpendiculaire à  OM passant par M coupe l’axe  Oy au point I.

Objectif : Etudier la distance HI lorsque le point M décrit la parabole P.

B. Partie expérimentale

1. Avec un logiciel de géométrie, construire une figure dynamique illustrant la situation.

2. Conjecturer le comportement de la distance HI lorsque le point M décrit la parabole P.

Réponse :

Appeler le professeur pourvalider la conjecture.

C. Production écrite

Objectif : démonstration de la conjecture émise.

1. Démontrer que IMH HOM .

2. Calculer tan IMH et tan HOM .

3. Démontrer la conjecture émise dans la partie B.

2-5 : Lieu de points (M. Obadia)

A. Enoncé

Soit C un cercle de centre O et de rayon 4 cm et d une droite donnée dont la distance au point O est égale à 8 cm. On note H le projeté orthogonal du point O sur d.

Soit M un point variable de la droite d.

Les droites     et MB MC sont les tangentes au cercle C issues du point M, en B et C respectivement.

La droite  BC coupe  OM en K.

Objectifs :

(1) Démontrer que la droite  BC passe par un point fixe I lorsque le point M décrit la droite d.

(2) Déterminer l’ensemble auquel appartient le point K lorsque le point M décrit la droite d.

B. Partie expérimentale

1. Avec un logiciel de géométrie, construire une figure dynamique illustrant la situation.

Appeler le professeur pour vérifier la construction ou en cas de difficulté.

2. Quelles conjectures pouvez-vous faire sur la position du point I et sur la distance OI, lorsque le point M décrit le cercle C ?

Réponse :

Appeler le professeur pourvalider les conjectures.

3. En utilisant la fonction Trace, quelles conjectures peut-on émettre sur :

a. la nature du lieu du point K lorsque M décrit le cercle C ?

b. les éléments caractéristiques de ce lieu ?

Réponse :

Appeler le professeur pourvalider la conjecture.

C. Production écrite Objectif : démontrer partiellement ou totalement les conjectures émises.

On note I le point d’intersection de  BC avec  OM .

1. Démontrer que la droite  MO est la médiatrice du segment  BC .

2. Démontrer que les triangles OKI et OHM sont semblables et que OI OH OK OM   .

3. Démontrer que les triangles OKB et OBM sont semblables et que 16OK OM  . 4. Calculer la distance OI et conclure pour la première conjecture. 5. Sur quelle « ligne » se déplace le point K lorsque M décrit le cercle C ? A. Enoncé

2-6 : Rotation (M. Obadia)

Soit ABCD un carré direct de centre O et de côté 4 cm.

QOP est une équerre qui pivote autour du point O de manière que le segment  OP coupe  AD en M

et  OQ coupe  AB en N.

On donne OP =3,5 cm et OQ =6 cm .

Objectif du TP : l’étude de l’aire du quadrilatère AMON.

B. Partie expérimentale

1. Avec un logiciel de géométrie, construire une figure dynamique illustrant la situation.

Appeler le professeur pour vérifier la construction ou en cas de difficulté.

2. Quelle conjecture pouvez-vous faire sur l’aire du quadrilatère AMON et la valeur en cm² de cette aire ?

Réponse :

Appeler le professeur pourvalider les conjectures.

C. Production écrite

Objectif : démontrer la conjecture émise.

Soit I le milieu de  AD , J le milieu de  AB et r le quart de tour de sens direct qui transforme A en B.

1. Quelles sont les images des points D et I par r ?

2. a. Quelles sont les images par r :

- de la demi-droite  OP ?

- du segment  AD ?

b. En déduire l’image du point M par r.

3. Déterminer l’image du triangle MOI par r.

4. Terminer la démonstration de la conjecture énoncée dans la partie B.

2-7 : Point fixe (M. Obadia)

A. Enoncé

Soit C un cercle de centre O et de rayon r,  AB un diamètre de C et Ble symétrique de O par rapport à B.

Soit  MN un diamètre variable de C distinct de  AB . On note  le cercle circonscrit au triangle

MNC qui recoupe  AB en I.

Objectif : démontrer que le cercle  passe par un second point fixe (autre que B’), lorsque le diamètre

 MN varie.

B. Partie expérimentale

1. Avec un logiciel de géométrie, construire une figure dynamique illustrant la situation.

Appeler le professeur pour vérifier la construction ou en cas de difficulté.

2. Quelle conjecture pouvez-vous faire sur ce second point fixe ?

Réponse :

Appeler le professeur pourvalider la conjecture.

C. Production écrite

Objectif : démontrer la conjecture émise.

1. a. Démontrer que les triangles OIM et ONB’ sont semblables.

b. En déduire que : 2'OI OB r  .

2. Démontrer alors que I est le point fixe cherché.

D. Pour aller plus loin

On note O’ le centre du cercle  de rayon R,  0 180    la mesure en degré de l’angle AOM et 

la mesure en degré de l’angle ' 'OO B .

Conjecturer :

- la valeur de  pour laquelle le rayon R est minimal.

- la valeur correspondante de  et la position du centre O’ du cercle  .

3. Pentagone et nombre d’or

Construction du pentagone régulier convexe inscrit dans un cercle de centre O et rayon r, ayant un sommet A donné.

Consignes et questions

3-1 : Angles et côtés

1. L'angle au centre du Pentagone régulier est de 72° ou 2

5

 rad et

l'angle intérieur de 108° ou 3

5

 rad.

Faire la construction dans un cercle trigonométrique.

2. Si a est la longueur du côté, d la longueur d'une diagonale et r le rayon du cercle circonscrit, on a :

Mesurer a et d sur la figure et effectuer les vérifications numé-riques des affirmations.

2 sin 10 2 5 3 1,176 5 2

r a r r r

       ;

10 2 5 2 1,902 2

r d r r     .

Le rapport diagonale/côté est égal au nombre d'or 1 5

2

   .

3-2 : Construction dite de Ptolémée Alexandrie 85-165 après J.-C.

1. Pour construire un pentagone à la « règle et au compas » il suffit de

savoir construire un angle au centre dont le cosinus est égal à 5 1

4

 .

2. Pour un pentagone inscrit dans un cercle de centre O, ayant un sommet A donné on peut effectuer la construction suivante :

Tracer un cercle C1 de centre O, passant par A. Placer [AA’] un diamètre et [OB’] un rayon perpendiculaire à [AA’].

K est le milieu du rayon [OA’], le cercle C2 de centre K et de rayon KB’ coupe le segment [OA] en U.

La médiatrice de [OU] passe par le milieu I de [OU] et coupe le premier cercle C1 aux points B et E qui sont deux sommets du pentagone. Le cercle de centre B passant par A recoupe C1 en C. Le symétrique D de C par rapport à (AA') termine la construction du pentagone.

Vérifier numériquement que

2 5 1 cos

5 4

   .

Faire la figure. On prendra O à l’origine et A au point (1, 0).

Montrer que

2 5 1 cos

5 4 OI

    .

On note J le point d’intersec- tion de (CD) et (AA’).

Que vaut OJ ?

De quels angles l’abscisse de J est-elle le cosinus ?

3. On trace les diagonales du pentagone : (AC), (BD), (CE), (DA), (EB). La figure obtenue s’appelle un pentagramme. Les points d’intersection de ces droites dessinent un nouveau polygone.

A, C, E, B, D dans cet ordre sont les sommets d'un polygone régulier étoilé appelé pentagramme. Ce pentagramme de Pythagore était le sceau secret de reconnaissance de la secte des Pythagoriciens dont les francs-maçons ont repris certains thèmes.

Faire une nouvelle figure.

Est-ce encore un vrai pentago-

ne régulier ?

3-3 : Méthode des cercles tangents

Placer deux points O, A et le cercle C1 de centre O, de rayon r, passant par A. A’ est le symétrique de A par rapport à O. I est le milieu d’un rayon perpendiculaire au diamètre [AA’].

C2 est le cercle de centre I et de rayon 2

r . La droite (A’I) coupe le cercle

C2 en P et Q. C3 et C4 sont les cercles de centre A’ tangents à C2. Le cercle C3 est tangent intérieurement au cercle C2 en P et le cercle C4 est tangent extérieurement au cercle C2 en Q. Le cercle C3 coupe C1 en B et E et le cercle C4 coupe C1 en C et D. Les points ABCDE sont les sommets du pentagone cherché.

On rappelle que deux cercles sont tangents en un point M si les tangentes aux cercles en M sont identiques.

Faire la figure. Et effctuer les mesures nécessaires permettant de vérifier que l’on a bien un pentagone régulier.

3-4 : Construction de Dürer

« Albert Dürer (né à Nuremberg en 1471, mort en 1528) appartient, comme Léonard de Vinci, à cette génération de grands artistes, peintres, sculpteurs et architectes, pour lesquels la géométrie est non seulement un instrument d'analyse, mais un puissant moyen de perfectionnement. L'étude de la perspective le conduisit à la transformation des figures en d'autres figures du même genre. Et de là naquirent plusieurs méthodes géométriques, comme celle qui consiste à faire croître proportionnellement les ordonnées des points d'une figure, dans le dessin d'un profil dont on veut rendre les dimensions en hauteur plus facilement appréciables. Dürer maniait très habilement le compas pour tracer des ellipses et d'autres figures géométriques. Le pentagone de Dürer est un pentagone, construit avec une seule ouverture de compas ; mais d'autres géomètres ont démontré depuis que ce pentagone n'a pas tous les angles égaux et que sa figure n'est qu'approximative.»

Source : Ferdinand Hoefer, Histoire des mathématiques, Paris, Hachette, 1874, p. 337

Placer deux points A et B.

A partir de ce segment [AB] qui sera un côté du pentagone on trace cinq cercles de même rayon : le cercle de centre A passant par B, celui de centre B passant par A. Ces deux cercles se coupent en P et Q. Le cercle de centre P passant par A (et par B) coupe les deux premiers cercles en R et S, et le segment [PQ] en G.

La droite (SG) coupe le premier cercle en E et (RG) coupe le deuxième cercle en C. Le dernier point D se trouve à l'intersection des cercles de centre E passant par A et de centre C passant par B.

Faire la construction.

Le pentagone ABCDE est-il régulier ?. A-t-il ses angles égaux ?

Construire un vrai pentagone

régulier ABC’D’E’ de côté [AB].

Que peut-on dire de D et D’ ?

3-5 : Les étoiles de Compostelle

Placer deux points libres M et N, puis le carré MNPQ. Le cercle de centre M passant par P coupe la demi-droite [MN) en O. La droite (OQ) coupe la diagonale [MP] du carré en C. Le cercle de centre O passant par C coupe [MN] en B. [BC] est un premier côté du pentagone.

Le cercle de centre B passant par C coupe [NM) en A, point du pentagone. Le cercle de centre C passant par B coupe [CQ) en D, quatrième point du pentagone. On termine le pentagone en trouvant l'intersection E des cercles de même rayon de centres A et D. Le pentagone ABCDE a ses cinq côtés égaux. L'erreur sur les angles est de un à deux degrés.

Faire la construction.

Quelle est l’erreur sur les angles ?

4. Conjectures et démonstrations

4-1 : Autour de trapèzes

Un trapèze est un quadrilatère convexe qui a deux côtés opposés parallèles.

Voici un demi cercle de rayon 1 et de diamètre [CD].

On s’intéresse aux trapèzes ABCD inscrits dans ce demi cercle, admettant pour bases [AB] et (CD].

A. Constructions et conjectures

1. Constructions : construire la figure 1. La compléter en la figure 2 de telle façon que A puisse décrire l’arc

DE . D C

figure 1

Puis faire calculer et afficher par le logiciel le périmètre du trapèze ABCD avec 5 décimales.

Observer les variations de ce périmètre lorsque A décrit

l’arc DE .

2. Conjectures

a. Existe-t-il de tels trapèzes de périmètre 3,5 ?

b. Existe-t-il de tels trapèzes de périmètre 5 ? Si oui, combien ?

c. A quelles conditions sur p, existe-t-il de tels trapèzes de périmètre p ?

D C

A B

E

O

figure 2

B. Démonstrations

1. Démontrer la conjecture du 2. a.

2. On pose AD = a et AB = b.

a. Prouver avec la méthode de votre choix que 22b a  .

Indication : on appelle H le projeté orthogonal de A sur (CD). Calculer de deux façons différentes 2AH .

b. Exprimer p en fonction de a seulement et montrer que 2( 1) 5p a    .

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