Travaux pratiques - informatique - 2° partie, Exercices de Calcul avancé
Eusebe_S
Eusebe_S20 May 2014

Travaux pratiques - informatique - 2° partie, Exercices de Calcul avancé

PDF (443.6 KB)
9 pages
413Numéro de visites
Description
Travaux pratiques de sciences mathématique sur l'informatique - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Points remarquables dans le triangle & Droite d’Euler, Le parallélogramme tournant, Le parallélo...
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Aperçu3 pages / 9
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document

Démontrer la conjecture b).

c. A quel intervalle I appartient a ?

Etudier les variations de p sur I. Puis dresser le tableau de variation de p sur I.

Démontrer la conjecture c).

d. Lorsque 4,99p  , combien y a-t-il de solutions possibles ? Les préciser.

4-2 : Points remarquables dans le triangle & Droite d’Euler

A. Les points remarquables d’un triangle

Construire dans un triangle ABC le centre du cercle circonscrit O, les milieux I, J et K de [AB], [BC] et [CA], le centre de gravité G et l’orthocentre H. Construire le cercle circonscrit (C).

B. La droite d’Euler : conjecture à l’aide de la figure

1. Observer les déplacements des points O, G et H lorsqu’on déplace les sommets A, B ou C. Quelle conjecture peut-on faire ?

2. Calculer OG

OH r  . Déplacer les points A, B, C. Que peut-on conjecturer sur la valeur de r ?

C. Démonstration

Compléter au fur et à mesure la figure sur l’écran et répondre aux questions.

Soit A’ le point diamétralement opposé à A sur le cercle (C) circonscrit au triangle ABC.

1. Tracer les droites (CH) et (BA’) et démontrer que ces droites sont parallèles.

2. Tracer le quadrilatère BA’CH et démontrer que c’est un parallélogramme. En déduire que I est le milieu de [HA’].

3. En déduire que G est le centre de gravité du triangle AHA’

4. Préciser la position du point G par rapport aux points O et H.

On appelle droite d’Euler la droite (OG).

4-3 : Le parallélogramme tournant

Un rectangle ABCD est tel que AB = 5 et BC = 3. M est un point du segment [AB]. On construit les points N, P et Q respectivement sur [BC], [CD] de [DA] tels que AM = BN = CP = DQ.

On veut étudier la façon dont l’aire du quadrilatère MNPQ varie suivant la position du point M sur [AB], et savoir en particulier pour quelle position de M l’aire du quadrilatère MNPQ est minimale.

1. Conjectures

a. Faire une figure. On appelle x la longueur du segment [AM], a l’aire du parallélogramme.

b. Entre quelles valeurs doit varier x pour que les points N, P et Q correspondent à l’énoncé ? Quelles sont les coordonnées du point M’ position extrême de M autre que A ? Placer M’ et redéfinir M comme appartenant à [AM’].

c. Quelle est la valeur maximale de l’aire ? Pour quelle valeur de x ? Justifier.

d. Quelle est la valeur minimale de l’aire ? Pour quelle valeur de x ?

e. Placer le point F d’abscisse x et d’ordonnée a dans le repère. Créer le lieu de F quand M se déplace sur le segment [AM’].

f. Quelle est la valeur de l’aire pour x = 1 ? pour x = 3 ?

g. Quel est le sens de variation de a ?

2. Démonstration de la conjecture concernant la valeur minimale de l’aire

a. Soit x la longueur du segment [AM]. Calculer en fonction de x l’aire a du parallélogramme.

b. Montrer que a peut s’écrire 22( 2) 7x   .

c. Pour quelle valeur de x cette expression est-elle minimale ? Quelle est alors la valeur de a ? Démontrer la réponse.

4-4 : Le parallélogramme tournant (2ème version, B. Brodin)

Aire et périmètre d’un quadrilatère inscrit dans un rectangle

ABCD est un rectangle de cotés AB = 5 cm et BC = 3 cm. k est un réel quelconque.

On fera afficher 5 décimales (options).

On place les points M, N, Q et P tels que 5

k AM AB ,

3

k BN BC ,

5

k CP CD et

3

k DQ DA .

1. Construire la figure. On prendra une valeur quelconque pour k (taper k=2 par exemple dans la ligne de saisie) et on fera afficher k.

2. Entre quelles valeurs doit varier k pour que M, N, P et Q restent sur le pourtour du rectangle ? Régler le curseur k pour que cela soit bien respecté (propriétés, mettre le pas à 0,01).

3. Montrer que MNPQ est un parallélogramme.

On veut visualiser et étudier les variations de l’aire S et du périmètre L de MNPQ.

4. a. Placer un point S de coordonnées (k ; aire(MNPQ)). A l’aide de la trace de S dresser le tableau de variation de S en fonction de k. Pour quelle valeur de k la fonction S est-elle minimale ?

b. Calculer l’aire des triangles AMQ et BMN en fonction de k et montrer que     2 7

2 2 2

S k k  

     

.

Retrouver ainsi en les justifiant les résultats de la question 4. a.

c. Peut-on trouver graphiquement une position de M pour laquelle S est égale à la moitié de l’aire du rectangle ABCD ? Vérifier votre résultat à l’aide d’un calcul algébrique.

5. a. Refaire la même séquence d’opérations qu’au 4. a. pour visualiser les variations du périmètre L en fonction de k.

b. Dresser le tableau de variation de L. Donner à 10−2 près la valeur de k pour laquelle la fonction L est minimale. On note k0 cette valeur.

c. Donner l’expression algébrique de L en fonction de k.

d. Peut-on trouver une position de M pour laquelle L est égal à la moitié du périmètre du rectangle ABCD ?

6. a. On considère le point Q’ symétrique de Q par rapport à (AB). Que peut-on dire de Q’, M et N

lorsque 0k k ? Justifier votre constatation. Que vaut alors Q’N ?

b. En utilisant le théorème de Thalès dans AQ’MNB, trouver la valeur exacte de k0.

5. Lieux de points

5-1 : Avec des vecteurs

Dans le plan, ABC est un triangle quelconque.

On note K le centre de son cercle circonscrit et H son orthocentre.

On s’intéresse au lieu (L) des points H quand C se déplace sur une droite parallèle à la droite (AB).

1. a. Faire une figure avec un logiciel de géométrie dynamique, faisant apparaître les points A et B, le point C sur une droite parallèle à la droite (AB), le triangle ABC, le point H et le point K.

Afficher la trace du point H quand C varie sur la parallèle à (AB).

b. Vérifier à l’aide du logiciel (la vérification par le calcul n’est pas demandée ici) l’égalité (e) :

KH KA KB KC   .

2. à partir de cette question, le plan est rapporté à un repère orthonormal ( ; , )O i j ; les points A et B

sont donnés par leurs coordonnées : A(−1 ; 1) et B(1 ; 1). Le point C est sur l’axe des abscisses et a pour abscisse un réel x.

a. Demander à nouveau le lieu (L) des points H.

b. Quelle en serait une équation ?

3. Vérifier la conjecture émise en traçant le lieu des points H grâce à son équation.

4. En admettant que K a pour coordonnées 22

0 ; 2

x      

et l’égalité (e) donnée à la première question, en

déduire les coordonnées de H puis l’équation de (L).

5-2 : Avec des fonctions

ABCD est un parallélogramme tel que AB = 8, AD = 4 et 2

BDA   .

Soit M un point libre du segment [AB]. On pose AM = x, avec  0 ;8x .

La parallèle à la droite (DB) passant par M coupe le segment [AD] en N. On cherche la position de M afin que le triangle CMN, de base [MN], ait une hauteur de même longueur que cette base.

1. Faire la figure à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique.

2. a. Tracer la hauteur [CH] relative à la base [MN]. Déterminer la nature du quadrilatère BDNH.

On pose MN = f(x) et CH = g(x).

3. a. Toujours en utilisant votre logiciel préféré, tracer en utilisant l’outil « lieu de points », pour

 0 ;8x , les courbes représentatives des fonctions f et g.

b. Trouver la (les) positions de M tel que MN = CH.

4. a. Exprimer MN = f(x) en fonction de x. Exprimer CH = g (x) en fonction de x

b. Représenter sur un même graphique, dans un repère orthonormal, les fonctions f et g. Préciser leur ensemble de définition et leur sens de variation. Dresser leurs tableaux de variation.

c. Donner une valeur approchée de x tel que MN = CH.

5-3 : Arc et flèche

Une entreprise doit réaliser le plafond cintré d’une galerie selon le schéma ci-dessous.

A B

S

+ O

H

150 150

x

R

La largeur de la galerie AB = 300 cm = 3 m.

Partie A

La flèche x = SH dépend du rayon de cintrage R qui est le rayon de l’arc de cercle AB passant par S :

OA = OS = OB = R.

1. En considérant le segment [OS], exprimer OH en fonction de R et de x.

2. En déduire l’expression développée de OH2 en fonction de R.

3. Dans le triangle OBH, exprimer OH2 en fonction de R.

4. Montrer qu’à partir des expressions obtenues aux questions précédentes, on obtient :

2 22 150Rx x  .

5. En déduire que le rayon de cintrage R est donné en fonction de la flèche x par la relation :

11 250

2

x R

x   .

6. Si la flèche x vaut 0,5 m, combien vaut le rayon ? Est-il possible que le rayon soit inférieur à 1,50 m ?

Partie B

1. Refaire la figure à l’aide de Geogebra : le point O doit être libre sur la médiatrice de [AB] ; on appellera r la longueur OB et z la longueur SH.

2. Afficher le repère. Placer à l’aide de la ligne de saisie un point M de coordonnées (z, r).

Tracer le lieu des points M quand O parcourt la médiatrice de [AB].

3. En lisant les coordonnées de M sur la figure compléter le tableau ci-dessous.

z 0 50 100 150 200 250 300 400 500

r

4. Quelle est la valeur de z pour laquelle le rayon r est minimum ? Quelle est alors la position de M ?

5. Quand z devient grand, M semble se déplacer approximativement sur une droite. Tracer et donner une équation de cette droite.

Partie C

Pour des raisons esthétiques l’architecte décide que l’arche doit avoir la même longeur que le rayon.

1. Pour un arc de cercle de rayon R intercepté par un angle  quelle est en fonction de R et  la longueur l de cet arc (on regardera les deux cas : angle en degrés puis angle en radians) ?

2. De même que précédemment placer un point N de coordonnées (z, l) et construire le lieu de N lorsque O parcourt la médiatrice de [AB].

3. En lisant les coordonnées de N sur la figure compléter le tableau ci-dessous.

z 0 50 100 150 200 250 300 400 500

l

4. Quelles sont les valeurs de z correspondant au problème de l’architecte ? Quelles sont alors les valeurs de R, de l, de  ?

6. Probabilités et statistiques

6-1 : TP EXCEL Nous voulons une fille !

Remarque technique : on utilise ici la fonction =ALEA() d’Excel. Cette fonction renvoie un nombre au hasard (aléatoire) compris entre 0 et 1 (1 non compris).

A chaque saisie d’une nouvelle cellule Excel recalcule toute la feuille, ce qui n’est pas très pratique parfois. Pour éviter cet inconvénient, faire « Outils », « Options », « Calcul » puis mettre « Recalcul » à « sur ordre » et décocher « recalcul avant enregistrement ».

Dorénavant vous devrez appuyer sur la touche « F9 » pour recalculer votre feuille.

Dans une petite ville (imaginaire bien sûr !), il y a 2000 couples. Ils ont tous au moins un enfant et tous veulent une fille. Cependant ils ne veulent pas plus de quatre enfants.

Ils appliquent donc tous la stratégie suivante : ils feront un autre enfant tant qu’ils n’ont pas une fille ou quatre garçons.

Nous admettrons que chacun de ces couples peut avoir autant d’enfants qu’il le désire, qu’à chaque naissance, ils ont autant de chance d’avoir un garçon qu’une fille et qu’ils n’ont pas de jumeaux.

1. a. Donner toutes les compositions de familles possibles dans cette ville :

b. Pensez-vous que le nombre de filles dans cette ville sera supérieur, inférieur ou à peu près égal à celui des garçons (expliquez…) ?

2. Nous allons simuler ce qui se passe pour 2000 couples et chercher des réponses aux questions suivantes :

- Quelle sera la proportion de garçons et de filles dans cette ville ?

- Quel sera le nombre moyen d’enfants par famille dans cette ville ?

a. Dans la cellule A1 d’une feuille Excel, mettre la formule : = SI(ALEA()<0,5;’’G’’;’’F’’)

Que simule-t-on ainsi ?

b. Recopier cette formule jusqu’en D1. Qu’a-t-on simulé dans les cellules A1 à D1 ?

c. Dans la cellule F1, mettre la formule : =A1. Dans la cellule G1, mettre la formule : =SI(F1=’’G’’;B1;’’)

Que fait la formule précédente ?

d. Recopier la formule de G1 en H1 et I1. Qu’a-t-on simulé dans les cellules F1 à I1 ?

e. Recopier la ligne 1 jusqu’à la ligne 2000.

f. Dans les cellules A2002 à A2007 mettre les titres suivants :

Garçons

Filles

Total

Prop Garçons (pour proportion de garçons)

Prop Filles (pour proportion de filles)

Enf / famille (pour nombre moyen d’enfants par famille)

g. Dans la cellule B2002, mettre la formule : =NB.SI(F1:I2000;’’G’’)

Dans la cellule B2003, mettre la formule donnant le nombre total de filles dans les 2000 familles.

Dans la cellule B2004, mettre la formule donnant le nombre total d’enfants

Dans la cellule B2005, mettre la formule donnant la proportion de garçons

Dans la cellule B2006, mettre la formule donnant la proportion de filles dans la ville.

Observer les résultats en faisant plusieurs tests avec la touche « F9 ».

Les proportions de garçons et de filles semblent-elles égales ?

Dans la cellule B2007, mettre la formule donnant le nombre moyen d’enfants par couple.

Etude théorique

1. a. 2000 couples ont un premier enfant. A quel nombre théorique de naissances de filles peut-on s’attendre pour ce premier enfant ?

b. A quel nombre de couples avec un enfant peut-on s’attendre dans notre ville ?

c. 1000 couples ayant déjà un garçon ont un deuxième enfant. A quel nombre théorique de naissances de filles peut-on s’attendre pour ce 2ème enfant ?

d. Quel nombre de couples ayant deux enfants peut-on s’attendre dans notre ville ?

2.a. Compléter le schéma suivant, indiquant la répartition théorique des naissances pour les 2000 couples de notre ville :

2000

Couples

1000

Filles

1er

enfant

1000

Garçons

Filles

2ème

enfant

Garçons

Filles

3ème

enfant

Garçons

Filles

4ème

enfant

Garçons

b. Pour 2000 couples, donner la répartition théorique attendue :

Enfants F GF GGF GGGF GGGG

Effectifs

c. Déterminer :

- le nombre théorique de filles pour les 2000 couples ;

- le nombre théorique de garçons pour les 2000 couples ;

- le nombre théorique moyen d’enfants pour les 2000 couples.

Comparer la simulation faite au 2. à ces résultats théoriques.

4. Refaire la simulation et l’étude théorique en supposant maintenant que les couples de la ville ont un autre enfant tant qu’ils n’ont pas une fille ou cinq garçons.

(Pour la simulation, dans le menu « Edition ; Déplacer ou copier une feuille », on peut cocher « Créer une copie » puis modifier la copie obtenue.)

7. Problèmes

7-1 : Un poncho très « fashion »

On réalise le patron d’un poncho en tissu dont le modèle figure ci-dessous.

 = 140 cm

L = 220 cm

h

 

Face avant Face arrière

Schéma de fabrication

Partie 1

Pour donner un côté plus «fashion» au poncho, la face avant sera découpée différemment de la face arrière.

La partie inférieure de la face avant est constituée d’un arc de parabole alors que sa partie supérieure reprend exactement le dessin de la face arrière. Tous les tracés demandés seront faits sur la figure ci- dessous.

G F

B D

C

-A E

Z

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

-60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60

x Unités graphiques : sur chaque axe gradué, 1 unité représente 10 cm.

1. La partie inférieure de la face avant est constituée d’une parabole d ‘équation 2( )f x ax bx c  

passant par les points G(−20 ; 0), F(20 ; 0), S(0 ; −25).

Déterminer les valeurs de a, b et c.

2. Soit la fonction définie sur l’intervalle  20 ; 20 par   20,062 25f x x  .

a. Etudier les variations de f sur  0 ; 20 puis sur  20 ;0 .

b. Dresser le tableau de variation de f et compléter le tableau de valeurs de la fonction f ci-dessous. Arrondir les valeurs approchées à l’unité.

x – 20 – 15 – 10 – 5 0 5 10 15 20

f(x)

c. Sur le repère ci-dessus, tracer la courbe (C) représentative de la fonction f sur l’intervalle  20 ; 20 .

3. On note S le point d’abscisse 0Sx  de la courbe (C) et on donne les coordonnées des points

A(−50 ; 60) et E(50 ; 60). Calculer la distance du point S à la droite (AE).

Partie 2

Pour éviter la déformation de l’encolure, on maintient celle-ci au moyen de lanières comme indiqué sur la photo ci-dessus. Soient les points : B(–10 ; 60) ; D(10 ; 60) ; K(5 ; 50) et L(–5 ; 50).

1. Placer les points K et L puis tracer les segments [LD] et [BK].

2. Donner les équations des droites (LD) et (BK).

3. On note M le point d’intersection des segments [LD] et [BK] ; donner ses corrodonnées. On donnera

une valeur approchée entière de son ordonnée. Calculer les coordonnées des vecteurs MD et MK .

4. Calculer les longueurs MD et MK. Arrondir les valeurs au dixième.

5. Une contrainte esthétique impose que l’angle DMK soit compris entre 60° et 70°. La contrainte est- elle respectée ?

Partie 3

Les points E et Z sont représentés sur la figure.

1. Déterminer graphiquement puis par le calcul les coordonnées du point Z.

2. Montrer que les abscisses des points d’intersection F et F ’, de la parabole (C) et de la droite (EZ) sont

les solutions de l’équation 20,0625 25 2 40x x   .

3. Vérifier que    22 20,0625 2 15 0,0625 32 240 0,0625 16 16x x x x x           .

Résoudre l’équation 20,0625 25 2 40x x   .

4. Calculer les coordonnées des points F et F ’. Placer sur le repère le point F ’.

Partie 4

La face avant du poncho est constituée de :

- un parallélogramme  ABFG, le point G est le symétrique de F (20 ; 0) par rapport à l’axe vertical passant par C,

- un trapèze  DCFE,

- une surface , délimitée par un arc de parabole et le segment [GF].

1. Calcul de l’aire du parallélogramme  (ABFG).

a. A partir du graphe déterminer, en cm, la mesure réelle de la base [FG] du parallélogramme.

2. Déterminer graphiquement, en cm, la mesure de la hauteur h du parallélogramme relative à la base [FG].

h

 

face avant

A B

F G

C

D E

3. Calculer, en cm2, l’aire du parallélogramme ABFG qui est égale à FG h .

4. Déterminer l’aire du trapèze DCFE.

5. Donner une valeur approchée à 1 cm2 près de l’aire de la partie .

Déterminer, en cm2, l’aire totale de tissu nécessaire à la réalisation de la face avant du poncho.

Partie 5

La face arrière du poncho forme un « V » d’aire 4 800 cm2. Lors de la coupe du poncho, les faces avant et arrière sont placées de manière à minimiser les pertes de tissu.

1. Calculer, en cm2, l’aire totale de tissu nécessaire.

2. On positionne les deux pièces dans un rectangle. Quelles doivent être ses dimensions minimales ?

3. Faire un schéma. Dire pour la disposition choisie quel est le pourcentage de perte.

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome