Travaux pratiques - le calcul avancé 1, Exercices de Calcul avancé

Télécharge Travaux pratiques - le calcul avancé 1 et plus Exercices au format PDF de Calcul avancé sur Docsity uniquement! [ Baccalauréat C Poitiers juin 1973 \ EXERCICE 1 1. Dériver la fonction numérique g d’une variable réelle définie par g (x) = ex (x− n) où n est un entier relatif. 2. E(x) désignant la partie entière du réel x, (E(x) est le plus grand entier relatif inférieur ou égal à x), étudier la fonction f définie par f (x) = ex (x −E(x)). Tracer sa courbe représentative en se limitant au cas où x appartient à l’inter- valle [−2 ; 1], dans un plan rapporté à un repère orthonormé ( O, −→ ı , −→  ) . 3. Calculer ∫k 0 f (x) dx où k est un entier naturel strictement positif. EXERCICE 2 Soit le nombre complexe z = x+iy ayant pour image, dans le plan rapporté au repère orthonormé ( O, −→ ı , −→  ) le point M de coordonnées x et y . 1. Calculer la partie réelle et la partie imaginaire du nombre complexe z-i Z = z − i z + i 2. Déterminer l’ensemble des points M du plan tels que : a. Z soit réel ; b. Z soit imaginaire pur ; c. Z ait pour argument − π 2 . PROBLÈME E désigne un plan vectoriel surR euclidien rapporté à une base orthonormée (−→ ı , −→ ı ) . On considère l’ensemble F des endomorphismes (voir note 1) 1 fm de E ayant pour matrice dans la base (−→ ı , −→ ı ) , Am = 1 6 ( 5m −8 4 p 2(m −1)+3 p 3(m −2) 4 p 2(m −1)−3 p 3(m −2) m −4 ) Partie A 1. fm peut-il être une homothétie vectorielle ? À quelle condition (nécessaire et suffisante) doit satisfaire m pour que fm soit bijectif ? 2. On suppose dans cette question que m = 3 2 . Donner une base du noyau et une base de l’image de f 3 2 . 3. Montrer que fm est un endomorphisme orthogonal 2 de E si et seulement si m = 1 ou m = 2. On trouve ainsi une rotation ϕ dont on précisera l’angle, et une symétrie σ dont on déterminera l’axe. 1. Un endomorphisme d’un espace vectoriel est une application linéaire de cet espace dans lui- même. 2. Si E est un espace vectoriel euclidien et si on désigne par ∥ ∥ ∥ −→ X ∥ ∥ ∥ la norme d’un vecteur −→ X de E, un endomorphisme orthogonal de E est un endomorphisme f de E tel que ∥ ∥ ∥ −−−→ f (X ) ∥ ∥ ∥ = ∥ ∥ ∥ −→ X ∥ ∥ ∥ pour tout −→ X appartenant à E.