Travaux pratiques - le calcul avancé 1, Exercices de Calcul avancé

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Travaux pratiques sur le calcul avancé 1. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la partie réelle et la partie imaginaire du nombre complexe, la base orthonormée.
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[ Baccalauréat C Poitiers juin 1973 \

EXERCICE 1

1. Dériver la fonction numérique g d’une variable réelle définie par g (x)= ex (xn) où n est un entier relatif.

2. E(x) désignant la partie entière du réel x, (E(x) est le plus grand entier relatif inférieur ou égal à x), étudier la fonction f définie par f (x)= ex (x−E(x)).

Tracer sa courbe représentative en se limitant au cas où x appartient à l’inter-

valle [−2 ; 1], dans un plan rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

.

3. Calculer ∫k

0 f (x)dx k est un entier naturel strictement positif.

EXERCICE 2

Soit le nombre complexe z = x+iy ayant pour image, dans le plan rapporté au repère

orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

le point M de coordonnées x et y .

1. Calculer la partie réelle et la partie imaginaire du nombre complexe z-i

Z = z− i

z+ i

2. Déterminer l’ensemble des points M du plan tels que :

a. Z soit réel ;

b. Z soit imaginaire pur ;

c. Z ait pour argument − π

2 .

PROBLÈME

Edésigneunplan vectoriel surR euclidien rapporté à unebase orthonormée (−→ ı ,

−→ ı

)

.

On considère l’ensemble F des endomorphismes (voir note 1) 1 fm de E ayant pour

matrice dans la base (−→ ı ,

−→ ı

)

,

Am = 1

6

(

5m−8 4 p 2(m−1)+3

p 3(m−2)

4 p 2(m−1)−3

p 3(m−2) m−4

)

Partie A

1. fm peut-il être une homothétie vectorielle ?

À quelle condition (nécessaire et suffisante) doit satisfairem pour que fm soit bijectif ?

2. On suppose dans cette question quem = 3

2 . Donner une base du noyau et une

base de l’image de f 3 2 .

3. Montrer que fm est un endomorphisme orthogonal 2 de E si et seulement si m = 1 ou m = 2. On trouve ainsi une rotation ϕ dont on précisera l’angle, et une symétrie σ dont on déterminera l’axe.

1. Un endomorphisme d’un espace vectoriel est une application linéaire de cet espace dans lui- même.

2. Si E est un espace vectoriel euclidien et si on désigne par ∥

−→ X

∥ la norme d’un vecteur −→ X de E, un

endomorphisme orthogonal de E est un endomorphisme f de E tel que ∥

−−−→ f (X )

∥ = ∥

−→ X

∥ pour tout −→ X

appartenant à E.

Le baccalauréat de 1973 A. P. M. E. P.

4. On pose : ϕ2 =ϕϕ et ϕ3 =ϕϕ2.

Démontrer que l’ensemble Φ= {

ϕ, ϕ2, ϕ3 }

muni de la loi de composition des applications est un groupe commutatif.

En déduire que, pour toute symétrie orthogonale σ1 de E, on a :

ϕ2 ◦σ1 =σ1 ◦ϕ et σ1 ◦ϕ 2 =ϕσ1

L’un des endomorphismes σϕ et ϕσ appartient-il à F ?

Partie B

On considère un plan affine euclidien E associé à E et rapporté au repère ortho-

normé (

O, −→ ı ,

−→

)

.

1. Déterminer les applications affines r et s associées respectivement à ϕ et σ, admettant O comme point invariant.

Déterminer l’axe de chacune des symétries orthogonales s r et r s.

2. SoitΓλ l’ensemble des points deE dont les coordonnées dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

satisfont l’équation :

λx2+ y2−2y +2−λ= 0

(λ paramètre réel).

Discuter suivant les valeurs de λ la nature de Γλ.

3. Montrer géométriquement que r et s transformentΓλ enune courbedemême nature.

Poitiers 2 juin 1973

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