Travaux pratiques - le calcul avancé 2, Exercices de Calcul avancé

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Travaux pratiques sur le calcul avancé 2. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la relation vectorielle, la fonction numérique de la variable réelle, la fonction dérivée.
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[ Baccalauréat C Reims juin 1973 \

EXERCICE 1

Leplan affine euclidienorientéP est rapporté au repère orthonormédirect (

O, −→ ı ,

−→

)

d’axes xx et y y . Soit D1 la droite d’équation x+ y

p 3= 0 et D2 la droite d’équation x

p 3− y = 0.

Soit M(x ; y) un point du plan de coordonnées x et y . On appelle M1 la projection, parallèlement à xx, de M sur D1 et M2 la projection, parallèlement à y y , de M sur D2 ; a et b étant deux nombres réels non nuls, soit M

(

x′ ; y ′ )

le point défini par la relation vectorielle

−−−→ OM ′ = a

−−−→ OM1 +b

−−−→ OM2 .

1. Calculer x′ et y ′ en fonction de x et de y .

2. Lorsque les nombres a et b sont fixés montrer que l’application de P dans P qui au point M fait correspondre le point M ′ est une bijection affine que l’on notera T(a,b).

3. Pour quelles valeurs du couple (a, b) l’application T(a,b) est-elle involutive ?

4. Pour quelles valeurs du couple (a, b) l’application T(a,b) est-elle une rotation de centre O ? Pour chaque couple (a, b) trouvé, déterminer l’angle de cette rotation.

EXERCICE 2

Pour tout couple d’entiers naturels (a, b) tels que a < b on appelle D le PGCD et M le PPCM de (a, b). Trouver l’ensemble des couples (a, b) tels que M D = 77.

PROBLÈME

On désigne par fk la fonction numérique de la variable réelle définie par

fk (x)= Log x

x2 −kx

et par Ck la courbe représentative de fk dans un plan P rapporté à un repère ortho- normé (courbe qu’on ne demande pas d’étudier dans le cas général). Dans tout le problème k est un nombre réel vérifiant

06 k 6 1 c’est-à-dire k ∈ [0 ; 1]

1. Pour k ∈ [0 ; 1] chercher la limite de fk (x) quand x tend vers 0, quand x tend vers l’infini ; préciser les asymptotes à Ck .

Faire la même étude (limites et asymptotes), pour k = 0.

2. Montrer que la fonction dérivée f k de fk peut être définie par

f k (x)= ϕk (x)

x3

ϕk (x)= 1−kx 3−2Log x.

Étudier les variations de ϕk . Montrer qu’il existe un réel unique αk tel que

ϕk (αk )= 0

Montrer de plus que

Le baccalauréat de 1973 A. P. M. E. P.

16αk 6 p e

Déduire de l’étude de ϕk le tableau de variations de ϕk .

Donner une expression de fk (αk ) ne contenant pas de logarithme.

3. Écrire l’équation de la tangente Dk à Ck au point M [

x0 ; fk (x0) ]

.

Montrer que pour x0 fixé et k décrivant l’intervalle [0 ; 1], il existe un point dont les coordonnées sont indépendantes de k et qui appartient à toutes les droitesDk .

4. a. Construire C0

b. Soit h un réel tel que h > 1 ; en utilisant une intégration par parties, dé- terminer l’aire S(h) de l’ensemble des points M(x ; y) de P tels que :

{

1 6 x 6 h 0 6 y 6 f0(x)

Quelle est la limite de S(h) quand h tend vers l’infini ?

N. B. : La quatrième question peut se traiter indépendamment des questions précé- dentes.

Reims 2 juin 1973

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