Travaux pratiques - le calcul avancé 3, Exercices de Calcul avancé

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Travaux pratiques sur le calcul avancé 3. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’ensemble des entiers naturels, le produit des abscisses.
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[ Baccalauréat C Rennes juin 1973 \

EXERCICE 1

Déterminer l’ensemble des entiers naturels n tels que :

52n +5n ≡ 0 modulo 13

EXERCICE 2

Soit f la fonction numérique d’une variable réelle x définie par :

f (x)= x+Log

x−1

x+1

où le symbole Log désigne le logarithme népérien. Soit C la courbe représentative de f dans un plan rapporté à un repère orthonormé d’axes x′Ox, y ′Oy (on prendra 2 cm comme unité de longueur).

1. Déterminer l’ensemble de définition de f . Montrer que f est impaire. Étudier les variations de f .

Construire la courbe C .

2. On coupe la courbeC par la droite ∆λ d’équation

y = x+λ (λ ∈R)

Montrer que ∆λ coupe C , en général, en deux points M1 et M2 dont on déter- minera les coordonnées en fonction de λ.

Calculer le produit des abscisses des points M1 et M2.

PROBLÈME

Le plan affine euclidien Π est rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

d’axes

x′Ox, y ′Oy . Soient T1 et T2 les transformations de Π dans Π telles que, si (x ; y) sont les coor- données d’un point quelconque M de Π,

(

x1 ; y1 )

celles de M1 = T1(M) et (

x2 ; y2 )

celles deM2 = T2(M), on ait :

{

x1 = x y1 = −x

p 2− y

{

x2 = −xy p 2

y2 = y

1. a. On étudie l’ensemble des points M deΠ {O} (c’est-à-dire l’ensemble des points deΠ distincts de l’origine O) tels que :

−−−→ OM1 =λ1

−−−→ OM

λ1 désigne un nombre réel.

Montrer qu’il n’existe que deux valeurs possibles pour λ1 afin que cette condition soit satisfaite :

λ1 =+1 et λ1 =−1

Déterminer l’ensemble ∆′1, des points M tels que −−−→ OM1 =

−−−→ OM et l’en-

semble ∆′′1 des points M tels que −−−→ OM1 =−

−−−→ OM

Le baccalauréat de 1973 A. P. M. E. P.

Montrer qu’à tout point M deΠ correspond un couple unique de points (

M ′1, M ′′ 1

)

M ′1 ∈∆ ′ 1 et M

′′ 1 ∈∆

′′ 1 tel que :

−−−→ OM =

−−−→ OM ′1 +

−−−−→ OM ′′1

Montrer que le milieu de MM1 est sur une droite fixe ; faire une figure et décrire la transformation T1.

b. Étudier de la même façon l’ensemble des points M deΠ {O} tels que

−−−→ OM2 = λ2

−−−→ OM (λ2 ∈R).

Montrer qu’il n’existe que deux valeurs possibles pour λ2 : λ′2 et λ ′′ 2 .

Déterminer les ensembles ∆′2 et ∆ ′′ 2 tels que

−−−→ OM2 =λ′2

−−−→ OM et

−−−→ OM2 =λ′′2

−−−→ OM .

Montrer qu’à tout point M deΠ correspondent de manière unique deux points M ′2 ∈∆

′ 2 et M

′′ 2 ∈∆

′′ 2 tels que

−−−→ OM =

−−−→ OM ′2 +

−−−−→ OM ′′2

Déterminer la nature de la transformation T2.

2. On pose T = T2 ◦T1. P = T (M)= T2 [T1(M)] et on désigne par (u ; v) les coor- données de P .

Calculer u et v en fonction de x et y , puis x et y en fonction de u et v . Montrer analytiquement que l’image par T d’une droite est une droite (on se donnera une droite par son équation cartésienne ax+by +c = 0).

Expliquer géométriquement le résultat.

Unedroite peut-elle être parallèle à sa transformée ? Perpendiculaire à sa trans- formée ?

3. a. Soit les vecteurs −→ I =

−→ ı

p 2

2

−→ et

−→ J =

−→ ı

p 2 −→ .

Montrer que −→ I est un vecteur directeur d’une droite dont les points sont

invariants par T1 et que −→ J est un vecteur directeur d’une droite inva-

riante par T2.

b. Soit (X ; Y ) les coordonnées de M et (U ; V ) celles de P = T (M) dans le

nouveau repère (

O, −→ I ,

−→ J

)

.

CalculerU etV en fonction de X et Y , puis X et Y en fonction deU etV .

c. Soit (H) l’hyperbole d’équation XY = k (k nombre réel donné) dans le

nouveau repère (

O, −→ I ,

−→ J

)

. Soit (C ) la transformée de (H) par T .

Déterminer les équations de (C ) = T (H) d’une part dans le nouveau re-

père (

O, −→ I ,

−→ J

)

, d’autre part dans l’ancien repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

Montrer que la courbe (C ) admet deux asymptotes qui sont les transfor- mées par T des asymptotes de (H).

Rennes 2 juin 1973

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