Travaux pratiques - le calcul avancé 5, Exercices de Calcul avancé

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Travaux pratiques sur le calcul avancé 5. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les nombres complexes, le corps des complexes, une primitive de f .
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[ Baccalauréat C Toulouse juin 1973 \

EXERCICE 1

1. Déterminer les nombres complexes Z tels que : Z 2 =−7+24i. 2. Résoudre, dans le corps des complexes, l’équation :

z2− (1−2i)z +1−7i= 0

EXERCICE 2

On considère la fonction numérique f de la variable réelle x définie par :

f (x)= x −1 ex

1. Étudier les variations de f et construire la courbe représentative (C ) de cette fonction dans un plan rapporté à un repère orthonormé (on prendra 3 cm pour unité de longueur).

2. Montrer que l’on peut trouver deux constantes réelles a et b telles que la fonc- tion F définie par :

F (x)= ax +b ex

soit une primitive de f .

En déduire l’aire du domaine limité par l’axe des abscisses, la droite d’équa- tion x = 1, la courbe (C ) et la droite d’équation x = m, m désignant un nombre réel supérieur à 1.

Quelle est la limite de cette aire lorsque m tend vers +∞ ?

PROBLÈME

On sait que l’ensemble F des applications de R dans R peut être muni d’une struc-

ture d’espace vectoriel sur R. L’application constante d’image 1 p 2 , l’application co-

sinus et l’application sinus sont notées respectivement e1, e2, e3 ; le sous-espace vec- toriel de F engendré par e1, e2 et e3 est noté E . Ainsi,E est l’ensemble des applications f pour lesquelles il existe un triplet (a1, a2, a3) de nombres réels tel que :

f = a1e1+a2e2+a3e3

ou encore, quel que soit t ,

f (t)= a1 1 p 2 +a2 cos t +a3 sin t

1. Une application de E2 dans R est notée et définie par :

( f , g ) 7−→ f g = 1

π

∫2π

0 f (t)g (t)d dt

Le baccalauréat de 1973 A. P. M. E. P.

a. Démontrer que, lorsque i et j prennent respectivement toutes les va- leurs 1, 2 et 3, on a :

ei e j = 0 pour i 6= j ei ei = 1

b. Si f = a1e1 + a2e2 + a3e3 et g = b1e1 + b2e2 + b3e3 sont deux éléments de E (a1, a2, a3 b1, b2, b3) sont donc des nombres réels), exprimer f g uniquement à l’aide des six nombres (a1, a2, a3, b1, b2, b3).

c. En déduire que l’application ( f , g ) 7−→ f g est un produit scalaire sur E et que, pour ce produit scalaire, (e1, e2 ,e3) est une base orthonormée.

Désormais E est rapporté à cette base.

2. a. L’application dérivée de f est notée f ′. Démontrer que si f appartient à E , il en est de même de f ′ et exprimer les coordonnées de f ′ à l’aide des coordonnées (a1, a2, a3) de f .

b. x étant un élément de R et g un élément de F , un nouvel élément de F est noté gx et défini par :

t , gx (t)= g (x t)

Démontrer que si g appartient à E , il en est de même de gx et expri- mer les coordonnées de gx dans la base (e1, e2 ,e3) à l’aide de celles de g , (b1, b2, b3), et à l’aide de x.

3. f et g étant éléments de E , un nouvel élément de F est noté f g et défini par :

x, ( f g )(x)= f gx

a. Démontrer que f g appartient à E et exprimer ses coordonnées à l’aide de celles de f et de g .

b. L’application ( f , g ) 7−→ f g est donc une loi de composition interne de E . Démontrer que cette loi est commutative.

c. Démontrer que pour cette loi, E possède un élément neutre noté δ dont on calculera les coordonnées.

d. Trouver les éléments f de E qui ont un symétrique f pour la loi ⋆ et exprimer les coordonnées de f à l’aide de celles de f .

e. Démontrer qu’il existe un élément d de E tel que, pour tout f de E , d f = r et calculer ses coordonnées.

4. ω étant un nombre réel non nul, f étant un élément de E , on se propose de rechercher les fonctions y de E vérifiant y ′′−ω2y = f y ′′ désigne la dérivée seconde de y .

En utilisant les résultats de la question précédente, démontrer que cette équa- tion est équivalente à une équation du type hy = f ; expliciter les coordon- nées de h. Montrer, sans calculer les coordonnées de y , que l’équation propo- sée admet une solution et une seule.

Toulouse 2 juin 1973

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