Travaux pratiques - les systèmes - 1° partie, Exercices de Calcul avancé
Eusebe_S
Eusebe_S20 May 2014

Travaux pratiques - les systèmes - 1° partie, Exercices de Calcul avancé

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Travaux pratiques de sciences mathématique sur les systèmes - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Résolution, correction.
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Classe de Seconde

Systèmes

1. Démonstration de cours 2. Presque du cours 3. Résolution (c) 4. Résolutions 5. Méthodes de résolution (c) 6. Changements de variables 1 (c) 7. Changements de variables 2 (c) 8. Intersection de droites (c) 9. Scooters (c) 10. Train 11. Boules 12. Périmètre 13. Rectangle inscrit dans un triangle 14. 3 poids 15. 3 balances 16. Père Noël

17. Calcul d’aire (c) 18. Voyage scolaire (c) 19. Emir 20. Trois motos 21. Systèmes 22. Systèmes (c) 23. Systèmes (c) 24. Droites et systèmes (c) 25. Systèmes et fonction 26. Système et fonction 1 27. Système et fonction 1bis (c) 28. Système et fonction 2 29. Système 3x3 - 1 (c) 30. Système 3x3 - 2 (c) 31. Optimisation sous contrainte - 1 (c) 32. Optimisation sous contrainte - 2 (c)

1. Démonstration de cours

Démontrer que les droites (d) et (d’) d’équations réduites respectives y = mx + p et y = m’x + p’ sont parallèles si et seulement si (en abrégé ssi) leurs coefficients directeurs respectifs m et m’ sont égaux.

2. Presque du cours

1. Inventer un système d’équations ayant comme unique solution le couple (2 ; 3) .

2. Inventer un système d’équations ayant une infinité de solutions dont les couples (1 ; 3) et (5 ; −1).

3. Inventer un système d’équations n’ayant aucune solution.

Correction

1. 4 2 3 5   et 2 5 ( 3) 13     . Donc (2 ; 3) est “une” solution du système 4 5

5 13

x y

x y

     

.

Ce système n’a-t-il qu’une seule solution ? Oui, car son déterminant associé est non nul : 4 1

19 1 5

 . Ce

système répond à la question.

2. Ce système a forcément pour solutions tous les couples de coordonnées des points de la droite qui passe par les points A(1 ; 3) et B(5 ; −1). Cherchons l’équation réduite de cette droite :

... 1B A

B A

y y m

x x

    

 et ... 4A Ap y mx    . Ainsi (AB) : 4y x   . (1 ; 3) et (5 ; −1) sont des solutions.

Le système doit alors être constitué de deux équations proportionnelles : 4

2 2 8

x y

x y

    

.

3. Faisons simple ! Il est absurde qu’une quantité, x + y par exemple, ait deux valeurs distinctes 2 et 7.

Le système 2

7

x y

x y

    

répond bien à la question.

3. Résolution (c)

1. Sans les résoudre, donner le nombre de solutions des systèmes suivants :

a. 1

2 3

2 1

yx

x y

  

    

; b. 2 1

3

3 18 0

x y

x y

  

    

; c. 4 2 6

6 3 9

x y

x y

      

2. Résoudre ensuite chacun des systèmes par la méthode de votre choix.

Correction

1. a. Le déterminant vaut :

1 1 4

... 02 3 3

1 2

   

. Donc le système admet un unique couple solution.

b. Le déterminant vaut :

1 2

... 03

3 18

  

. Donc aucun couple solution ou une infinité.

2nd déterminant : 2 1

18 0 18 0

    . Donc le système n’admet aucun couple solution.

c. Le déterminant associé vaut : 4 2

... 0 6 3

  

 . Le système n’admet aucun couple solution ou en

admet une infinité. 2nd déterminant : 2 6

... 0 3 9

  

 . Le système admet une infinité de couples

solution.

2. a. 1

2 3

2 1

yx

x y

  

    

. On peut isoler x dans la 2nde ligne et on trouve après calcul : 5 9

; 4 8

S          

, c’est

l’unique couple solution.

b. 2 1

3

3 18 0

x y

x y

  

    

. On sait que ce système n’admet aucun couple solution. On a donc : S  .

c. 4 2 6

6 3 9

x y

x y

      

. On sait que ce système admet une infinité de solution, les deux équations sont donc

proportionnelles.

En isolant y dans l’une ou l’autre des lignes, on obtient : y = 2x – 3 ;   ;2 3 /S x x x   .

4. Résolutions

Résoudre les systèmes suivants

1.

2 2

3

3 3 5

4

x y

x y

  

    

(par substitution) 2. 13 2 3

5 2 5

x y

x y

   

  (par addition)

3. 1

0 2 3 5

6 4 3 0

yx

x y

   

    

4.

5 5 0

4

1 1 1

5 4 4

x y

x y

   

    

5.

41

2 3 12

6 41 0

4 5 30

yx

x y

  

     

6. 5 7 13 0

35 65 25

x y

y x

   

  

7. 2 3 2 2 3 5

2 5

x y

x y

    

  

8.

2 5 0

1 1 1 0

7 3 4

x y

x y

    

   

9. 3 2 21 0

4 5 5 0

x y

x y

   

   10.

2 2 0

3 6 3 0

x y

x y

      

5. Méthodes de résolution (c)

Résoudre les systèmes suivants en respectant la méthode demandée :

1. 4 2 4

25 5 5

x y

x y

  

   par la méthode des combinaisons linéaires.

2. 3 4 1

2 1

x y

x y

     

par la méthode de substitution.

3. 4 2 8

18 3 0

x y

x y

     

par la méthode de la double substitution.

Correction

1. 4 2 4

25 5 5

x y

x y

  

  

2 2

5 1

x y

x y

     

2 2

3 3

x y

x

  

 

2 2 ( 1) 4

1

y

x

     

  . On trouve :   1;4S   .

2. 3 4 1

2 1

x y

x y

     

3(2 1) 4 1

2 1

y y

x y

   

 

2 4

2 1

y

x y

   

2

3

y

x

  

. On trouve :   3;2S  .

3. 4 2 8

18 3 0

x y

x y

     

2 4

6

y x

y x

  



6 2 4

6

x x

y x

  



4 4

6

x

y x

   

1

6 ( 1) 6

x

y

       

. On trouve :   1; 6S    .

6. Changements de variables 1 (c)

1. Résoudre le système suivant : 3 4 25

2 2

X Y

X Y

  

  . Vérifiez bien vos résultats qui serviront pour la question

suivante !

2. En déduire la résolution des quatre systèmes (A), (B), (C) et (D) ci-dessous :

(A) 3 4 ² 25

2 ² 2

x y

x y

  

  (B)

3 4 25

2 2

y x

y x

  

    

(C) 9 8 25

6 2 2

x y

x y

  

  (D)

3 4 ² 25

2 ² 2

x y

x y

  

 

Correction

1. 3 4 25

2 2

X Y

X Y

  

 

3 4 25

8 4 8

X Y

X Y

  

 

3 4 25

11 33

X Y

X

  



4

3

Y

X

  

:   , 3;4X YS  .

2. (A) 3 4 ² 25

2 ² 2

x y

x y

  

  : 3 3x X x     et ² 4 2y Y y     .

On a donc :         3;2 , 3; 2 , 3;2 , 3; 2S      .

(B)

3 4 25

2 2

y x

y x

  

    

1 1

3 3

X x x     et 4 4² 16y Y y     . On a donc :

1 ;16

3 S          

.

(C) 9 8 25

6 2 2

x y

x y

  

  3 3 1x X x    et 2 4 2y Y y    . On a donc :   1;2S  .

(D) 3 4 ² 25

2 ² 2

x y

x y

  

  3 3x X x    et ² 4y Y    est impossible, un carré étant toujours positif.

Donc : S  .

7. Changements de variables 2 (c)

Résoudre le système suivant :

2 3( 3)² 5

1

4 7( 3)² 23

1

x y

x y

     

      

Correction

On fait un changement de variables : on pose ( 3)²X x  et 1

1 Y

y  

où 1y  . On résout pour

commencer le système classique : 3 2 5

7 4 23

X Y

X Y

   

 

6 4 10

7 4 23

X Y

X Y

   

 

6 4 10

13 13

X Y

X

   



4

1

Y

X

  

.

On a donc :   , 1 ; 4X YS  .

On résout ensuite ( 3)² 1 3 1 4x x x        ou x = 2.

Puis 1 5

4 4( 1) 1 4 5 1 4

y y y y        

 .

Nous avons donc deux solutions : 5 5

4 ; , 2 ; 4 4

S                

.

8. Intersection de droites (c)

On considère les droites D1, D2 , D3 et D4 d’équations respectives :

(1) 2y x   , (2) 1x  , (3) 0x y  et (4) 2 2 4x y   .

1. Tracer ces quatre droites dans un repère orthonormal d’unité 3 cm.

2. En déduire, en justifiant par des arguments graphiques, le nombre de solutions des systèmes suivants :

(E) 2

1

y x

x

   

 , (E’)

2

0

y x

x y

     

, (E”) 2

2 2 4

y x

x y

      

.

3. Résoudre les systèmes (E), (E’) et (E”).

Correction

1. (E) 2

1

y x

x

   

 (E)

(1)

(2)

  

. Ce système admet un unique couple solution puisque les droites D1 et D2 sont

sécantes.

(E’) 2

0

y x

x y

     

(E’) (1)

(3)

  

. Ce système n’admet aucun couple solution puisque les droites D1 et D3 sont

parallèles non confondues.

(E”) 2

2 2 4

y x

x y

      

(E”) (1)

(4)

  

. Ce système admet une infinité de couples solution puisque les droites D1 et

D4 sont confondues.

2. 2

1

y x

x

   

 , soit

1 2 1

1

y

x

    

 et   1;1S  .

2

0

x y

x y

    

, donc 2 = 0, ce qui est absurde : S  .

Enfin,   ; 2 /S x x x    .

9. Scooters (c)

Un marchand de cycle vient de vendre deux scooters d’occasion pour la somme totale de 2100 €. Il a réalisé 10% de bénéfice sur la vente du premier scooter mais il a perdu 10 % sur l’autre.

Globalement, il a réalisé un bénéfice de 5 %. Combien d’euros, avait-il acheté chacun des scooters ?

Correction

On a le système suivant où x et y sont les prix respectifs à l’achat des deux scooters :

10 10 2100

100 100

5 ( ) 2100

100

x x y y

x y x y

    

      

1,1 0,9 2100

1,05 1,05 2100

x y

x y

  

 

1,1 0,9 2100

2000

x y

x y

  

 

1,1 0,9(2000 ) 2100

2000

x x

y x

   

 

Ce qui donne : 0,2 300

2000

x

y x

   

puis 1500

500

x

y

  

:   1500;500S

Le vendeur avait donc acheté 1500 € le premier scooter et 500 € le second.

10. Train

Si on augmente la vitesse d'un train de 10 km/h , on gagne 40 mn sur le trajet effectué par ce train. Si on diminue la vitesse de 10 km/h, on perd une heure sur le même trajet. Quelle est la longueur du trajet ?

11. Boules

Une boite contient des boules rouges et des boules noires. Si on ajoute une boule rouge , les boules rouges représentent 25% du total des boules (avec la boule rajoutée). Si on retire une boule rouge les boules rouges représentent alors 20% du contenu de la boite (sans la boule enlevée).

Combien la boite contient-elle de boules rouges ?

12. Périmètre

Soit x et y les dimensions d’un rectangle et p son demi-périmètre. Si l’on augmente la longueur de 2 cm et qu’on diminue la largeur de 1 cm, l’aire du rectangle ne change pas.

1. Calculer x et y en fonction de p. Quelle condition doit remplir p pour que le problème ait une solution ?

2. Si p=10, calculer x et y.

3. Peut on choisir p pour que x=2y ?

13. Rectangle inscrit dans un triangle

On se donne un triangle ABC tel que BC = 8 cm, AH = 6 cm où H est le projeté orthogonal de A sur [BC].

S

P Q

RH C

A

B

On place un point R sur [BC] et on construit un rectangle PQRS comme indiqué sur la figure. Le périmètre de PQRS est 13 cm. Déterminez les longueurs x et y des côtés du rectangle.

14. 3 poids

Pouvez-vous donner le poids de chacun ?

15. 3 balances

Les balances A et B sont en équilibre. La balance C penchera- t-elle à droite, à gauche ou est-elle en équilibre ?

On pourra appeler x la masse d’une sphère, y celle d’un cylindre et z celle d’un cône, après à vous de bien réfléchir…

16. Père Noël

Avant de faire sa tournée, Albert (c’est le prénom de Mr Noël, plus communément appelé Père Noël) fait ses courses. Il se rend chez son grossiste préféré avec le budget qu’il a affecté à l’achat de consoles de jeu.

Le vendeur lui fait aimablement remarquer (le P. Noël n’est pas très au courant des progrès technologiques) qu’il lui faut donner quelques logiciels avec les machines. Chaque logiciel coûte 20 € (prix de gros…).

Albert Noël explique alors au vendeur que s’il offre deux logiciels par machine il prive de console 80 enfants ; le vendeur après un bref calcul lui dit alors : « Mais si vous n’en offrez qu’un par machine vous ne privez que 50 enfants ! »

Albert sort sa grosse calculette à tête de Mickey et s’exclame : « Vous devriez avoir honte de vendre des consoles ce prix là »… Quel est le prix demandé par le vendeur ?

17. Calcul d’aire (c)

u=90

A

D C

B

Soit le carré ABCD de côté 2 à l’intérieur duquel on a tracé les demi-cercles de diamètres respectifs [AB], [BC], [CD] et [DA].

1. Résoudre le système suivant:

4 4 4

2 2

x y

x y

     

.

2. Exprimer le système précédent comme le calcul des aires de deux surfaces clairement exprimées de la figure.

3. En déduire l’aire exacte de la surface coloriée.

4. Dans le carré, quelle est la surface la plus grande : celle qui est coloriée ou celle qui ne l’est pas ?

Correction

1.

4 4 4

2 2

x y

x y

     

1

2 2

x y

x y

     

1

2 1

2 2

x y

x  

  

   

4 1

2

2

2

y x

x

   

  



; 2 4

; 2 2

S     

      

.

2. En considérant que chacun des quatre “pétales” coloriés a une aire de mesure x et que chaque partie disjointe non coloriée a une aire de mesure y, on peut écrire les deux informations suivantes :

* le carré constitué de quatre “pétales” et de quatre “zones” blanches a une aire égale à 4 : soit

4 4 4x y  ;

* le demi disque de diamètre [CD], constitué de deux “pétales” et d’une “zone” blanche a une aire

égale à 2

 puisque son rayon vaut 1 : soit 2

2 x y

   .

3. Ainsi 2

2 x    est bien l’aire d’un pétale sur cette figure et la surface coloriée a une aire de

4 2 4x   .

4. L’aire de la surface coloriée est 4 2 4 2 3,14 4 2,28x     alors que celle de la surface non

coloriée est 4 8 2 8 2 3,14 1,72y     . C’est donc la surface coloriée qui a la plus grande surface

dans le carré ABCD.

18. Voyage scolaire (c)

Un professeur souhaite organiser un voyage scolaire pour sa classe. Il envisage deux destinations : Disneyland et Port Aventura. Il calcule ensuite le coût de chaque voyage pour la classe entière.

Aller à Disneyland reviendrait à 1 440 euros, sachant que les moins de 16 ans payeraient 40 euros et les plus de 16 ans, 50 euros.

Par contre, aller à Port Aventura ne coûterait que 1 110 euros, sachant que les moins de 16 ans payeraient 30 euros et les plus de 16 ans, 40 euros. Le professeur opte donc pour Port Aventura.

Mais combien y a-t-il d’élèves dans cette classe ?

Correction

Soyons originaux, soit x le nombre d’élèves âgés de moins de 16 ans et y le nombre d’élèves âgés de plus

de 16 ans : l’énoncé nous donne les informations suivantes : 40 50 1440x y  et 30 40 1110x y  .

On résout le système :

40 50 1440

30 40 1110

x y

x y

  

 

4 5 144

3 4 111

x y

x y

    

12 15 432

12 16 444

x y

x y

  

 

12 15 12 432

12

x

y

   



432 15 12 21

12

12

x

y

   

  

.

Ainsi il y a 21 + 12 = 33 élèves dans cette classe.

19. Emir

L’émir Ben Khalish se rend de son palais à l’aéroport toujours à la même vitesse , sur une autoroute splendide construite au milieu du désert. Suivant que son chauffeur augmenterait ou non sa vitesse moyenne de 20 km/h il gagnerait 2 minutes ou en perdrait 3 sur le trajet. Quelle est la distance entre l’aéroport et le palais ?

20. Trois motos

Lors d’une compétition trois motocyclistes ont pris le départ simultanément . Le second, qui faisait 15 km/h de moins que le premier et 3 km/h de plus que le troisième a franchi la ligne d ‘arrivée 12 minutes plus tard que le premier et 3 minutes plus tôt que le troisième. Quelle est la longueur du parcours ?

(vérifier qu’il faut résoudre le système 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

12 ( 15)( )

60

3 ( 3)( )

60

v t v t

et d v t

v t v t

   

     

v2 = vitesse du deuxième

coureur et t2 = temps du deuxième coureur, et le résoudre..).

21. Systèmes

Résoudre graphiquement puis par le calcul les systèmes suivants :

a. 4 3 2

3 5 3

x y

x y

      

b.

0

4 0

3 2 1 0

x y

x

x y

  

     

c. Résoudre le système

3

3

4 2 9

a b c

a b c

a b c

      

   

22. Systèmes (c)

Une entreprise fabrique deux sortes de produits : A et B. Pour fabriquer ces objets elle dispose de deux machines M1 et M2 sur lesquelles doivent être fabriqués les objets pendant les temps suivants :

temps en minutes

M1

M2

A 2 3

B 5 7

on dispose de 6 heures d’utilisation réelle de M1 pendant une journée et de 8 heures d’utilisation de M2.

1. a. Montrer que la fabrication doit répondre au système suivant pour utiliser les machines en

permanence : 2 5 360

3 7 480

x y

x y

    

b. Résoudre ce système. Donner une interprétation pratique de la solution.

c. Combien peut on fabriquer d’objets des deux sortes en 1 mois (30 jours), en 1 an ?

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