Travaux pratiques - les systèmes - 2° partie, Exercices de Calcul avancé
Eusebe_S
Eusebe_S20 May 2014

Travaux pratiques - les systèmes - 2° partie, Exercices de Calcul avancé

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Travaux pratiques de sciences mathématique sur les systèmes - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Droites et systèmes, Systèmes et fonction.
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2. On améliore la fabrication et les temps de passage deviennent les suivants :

temps en minutes

M1

M2

A 2 1,5

B 3 2,25

a. Quel système doit on résoudre ? Le résoudre.

b. Chaque équation du système peut se représenter graphiquement. Comment ?

c. Représenter sur une même figure les deux équations obtenues. Que constatez vous ? Justifiez.

d. Combien de temps par jour doit-on rendre disponible la machine M2 pour pouvoir programmer une fabrication ?

Corrigé (première partie)

1. a. Si on appelle x le nombre d’objets A produits par jour et y le nombre d’objets B, il faudra un temps

2 5x y sur M1 et 3 7x y sur M2, exprimés en minutes. Comme on a 6 h = 360 mn d’utilisation de M1 et

8 h = 480 mn d’utilisation de M2, on a bien le système : 2 5 360

3 7 480

x y

x y

    

.

b. 3 2 5 360 6 15 1080

120 2 3 7 480 6 14 960

x y x y y

x y x y

         

       ,

7 2 5 360 14 35 2520 120

5 3 7 480 15 35 2400

x y x y x

x y x y

           

      .

Il y a donc bien une solution mais qui donne un résultat négatif pour x… Il n’y a pas de solution optimale de fabrication. En fait la meilleure solution consiste à ne fabriquer qu’un seul produit…

c. La question est débile, mille excuses…

23. Systèmes (c)

Résoudre les systèmes d'équation suivants :

a. 2 2

2 2

2 1

2

x y

x y

    

  

b.

3 2 2

4 3 3

2 7 6 8

x y z

x y z

x y z

      

   

c. 2 5 3

3 4 2

x y

x y

     

d.

3

4

5

x y

y z

z x

    

  

Correction

a. 2 2

2 2

2 1

2

x y

x y

    

  

n’a pas de solutions car la somme de termes positifs 2 22x y ne peut valoir −1 qui est

négatif.

b.

3 2 2 4 3 3 3 2 2 7 1 7 1 29 / 15

4 3 3 4 3 3 4 3 3 8 / 15 87 / 15 3 34 / 15

2 7 6 8 2(4 3 3) 7 6 8 15 2 2 / 15

x y z y z y z y z z y

x y z x y z x y z x

x y z y z y z y y

                                         

               

.

c. 2 5 3 6 15 9 6 15 9 13

3 4 2 6 8 4 23 13 23

x y x y x y y

x y x y y

             

         .

2 5 3 8 20 12 8 20 12 2

3 4 2 15 20 10 23 2 23

x y x y x y x

x y x y x

             

         .

d.

3 3 3 2

4 5 4 1 1

5 5 5 3

x y x y x y x

y z y x y x y

z x z x z x z

                            

           

.

24. Droites et systèmes (c)

Résoudre graphiquement puis par le calcul le système suivant :

0,3 0,2 1 0

1,8 1,2 3 0

x y

x y

       

Correction

On trace les deux droites après avoir tout multiplié par 10 pour simplifier : on voit que les droites sont parallèles, donc le système n’a pas de solution.

Si on divise la deuxième ligne par −6 on voit que les deux droites ont bien même coefficient directeur mais pas la même ordonnée à l’origine.

0,3 0,2 1 0 3 2 10 0 3 2 10 0

1,8 1,2 3 0 18 12 30 0 3 2 5 0

x y x y x y

x y x y x y

              

             .

25. Systèmes et fonction

Soit la fonction 2 1

( ) 1 3

x f x

x

  

. On veut écrire f de manière différente. Pour cela on suppose que f peut

s’écrire ( ) 1 3

b f x a

x  

 .

1. En choisissant deux valeurs de x et en remplaçant dans les deux formes de f, trouver un système satisfait par a et b.

2. Résoudre le système.

3. Vérifiez que votre résultat est correct….

26. Système et fonction 1

Soit le polynôme 2( )P x ax bx c   .

Déterminer a, b et c pour que l’on ait P(−1)=11, P(1)=–3 et P(2)=5.

27. Système et fonction 1bis (c)

On se donne la fonction 2( )P x ax bx c   dont on souhaite qu’elle ait les propriétés suivantes :

* L’image de −1 est 11 ;

* Un antécédent de 5 est 2 ;

* La courbe de P passe par le point de coordonnées (1 ; −3).

1. Montrer qu’il faut résoudre le système

11

4 2 5

3

a b c

a b c

a b c

      

    

.

2. Résoudre ce système. Vérifiez votre résultat.

Correction

1. 2( )P x ax bx c   .

* L’image de −1 est 11 se traduit par P(−1)=11, soit 11a b c   ;

* Un antécédent de 5 est 2 se traduit par P(2)=5, soit 4 2 5a b c   ;

* La courbe de P passe par le point de coordonnées (1 ; −3) se traduit par P(2)=5, soit 3a b c    ;

on a donc à résoudre le système

11

4 2 5

3

a b c

a b c

a b c

      

    

.

2. En soustrayant la première et la deuxième ligne on a b de suite : 2 14 7b b     ; il reste alors

7 11 4 4 1

4 14 5 4 19 3 15 5

a c a c a c c

a c a c a a

                 

         

et 2( ) 5 7 1P x x x   . On vérifie alors que ( 1) 5 7 1 11, (2) 20 14 1 5, (1) 5 7 1 3P P P              .

28. Système et fonction 2

Soit la courbe tracée ci-dessous. C’est la courbe représentative de la fonction f définie sur par :

( ) ²f x ax bx 

a et b sont des nombres réels.

J

I

B

A

O

y

x

1. a. Donner graphiquement le tableau de variation de f.

b. Donner graphiquement le tableau de signe de ( )f x .

c. Résoudre graphiquement l’inéquation ( ) 3f x  .

2. a. Résoudre le système 4 2 4

25 5 5

a b

a b

  

   .

b. En déduire que ( ) ² 4f x x x   sachant que la courbe représentative de f passe par les points (2 ; 4)A

et (5 ; 5)B  .

3. a. Vérifier que ( ) ( 2)² 4f x x    .

b. En déduire par le calcul, les variations de f sur les intervalles  ; 2 et  2 ;   .

c. Par le calcul, donner le tableau de signe de ( )f x .

d. Vérifier que ² 4 3 (1 )( 3)x x x x      .

e. En déduire, par le calcul, les solutions de l’inéquation ( ) 3f x  .

29. Système 3x3 - 1 (c)

Factoriser 32 7 9x x  sous la forme   1 ²x ax bx c   où a, b et c sont des nombres à déterminer.

On pourra s’aider d’un système.

Correction

Faisons d’abord le chemin à l’envers :

      3 2 2 3 21 ²x ax bx c ax bx cx ax bx c ax b a x c b x c               .

On a donc : 3 22 0 7 9x x x   =    3 2ax b a x c b x c     .

Ainsi :

2

0

7

9

a

b a

c b

c

      

   

en identifiant respectivement les termes en 3x , ceux en 2x , ceux en x et les termes

constants.

Bilan des courses, et sans forcer : a = 2, b = 2 et c = 9.

Ce qui nous donne : 3 22 7 9 ( 1)(2 2 9)x x x x x      .

30. Système 3x3 - 2 (c)

Résoudre le système :

2 4 4

3 2 3 17

5 3 8 10

x y z

x y z

x y z

       

    

.

Indication : En utilisant la méthode des combinaisons linéaires, on pourra essayer de faire apparaître un système de deux équations linéaires à deux inconnues.

Correction

Appelons L1, L2 et L3 les trois lignes du système suivant :

2 4 4

3 2 3 17

5 3 8 10

x y z

x y z

x y z

       

    

.

Plusieurs méthodes sont possibles pour le résoudre. En voici une rapide... On remarque que, dans L1, y est "tout seul". On va s'en servir pour trouver un système de deux équations en x et z.

On utilise des combinaisons linéaires.

En faisant L2 + 2L1, on élimine les y : 7x+5z = 9.

En faisant L3 − 3L1, on élimine encore les y : −x−4z = 2.

On se ramène donc à : 7 5 9

4 2

x z

x z

     

. Il reste à résoudre ce système.

Par substitution : la deuxième équation donne : x = −4z − 2.

En remplaçant dans la première : 7(−z−2)+5z = 9 d'où −23z = −23 et donc z = −1. De plus, x = −4(−1)−2 donc x = 2.

Enfin, en utilisant L1 : 2(2)−y+4(−1) = −4 ; on en déduit y = 4.

Conclusion : Le système a pour solution S = {(2 ; 4; −1)}.

31. Optimisation sous contrainte - 1 (c)

Un artisan fabrique des objets A et des objets B. La réalisation d'un objet A demande 30 euros de matière première et 125 euros de main-d’œuvre ; celle d'un objet B demande 70 euros de matière première et 75 euros de main-d’œuvre.

Pour une bonne gestion de l'entreprise, les dépenses journalières en matière première et en main- d’œuvre ne doivent pas dépasser respectivement 560 euros et 1250 euros.

On désigne par x le nombre d'objets A et par y le nombre d'objets B fabriqués par jour.

1. Calculer en fonction de x et de y la dépense journalière en matière première, et la dépense journalière en main-d’œuvre.

2. (x, y) étant le couple des coordonnées d'un point M dans un repère orthonormal ( ; , )O i j , déterminer

graphiquement l'ensemble des points M(x, y) du plan dont les coordonnées satisfont aux contraintes de l'entreprise.

Correction

Matière 1ère Main d’œuvre nombres

Objet A 30 euros 125 euros x

Objet B 70 euros 1250 euros y

Dépense journalière en matière première : 30x + 70y

Dépense journalière en main d’œuvre : 125x + 75y

D’où le système d’inéquations : 30 70 560

125 75 1250

x y

x y

  

  équivalent au système suivant :

30 70 560 0

125 75 1250 0

x y

x y

   

   .

Il y a

exactement 63 points du plan dont les coordonnées satisfont aux contraintes de l’entreprise en remarquant que leurs coordonnées x et y sont des nombres entiers naturels, qu’il ne fallait pas oublier les cas x = 0 et y = 0 et qu’enfin le point de coordonnées (7, 5) est le point d’intersection des deux droites, donc ses coordonnées satisfont aussi aux contraintes de l’entreprise.

32. Optimisation sous contrainte - 2 (c)

Disposant d'un crédit de 6000 €, le directeur d'une discothèque désire acheter des disques compacts pour une valeur d'au moins 3200 €.

Il veut se procurer des disques classiques qui valent 80 € pièce et des disques de jazz qui valent 40 € pièce. Par ailleurs, il tient à acheter plus de disques classiques que de disques de jazz. Enfin, il ne peut acheter les disques compacts que par lots de 10 et il désire au moins un lot de disque de jazz.

On note x le nombre de lots de disques classiques et y le nombre de lots de disques de jazz.

1. a. Etablir le système (S) d'inéquations résultant des contraintes.

b. Le plan étant rapporté à un repère ( ; , )O i j , représenter l'ensemble des points M(x ; y) vérifiant le

système (S).

x

y

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

2

4

6

8

10

30x+70y−560=0

125x+75y−1250=0

2. En effectuant une lecture graphique, répondre aux questions suivantes :

a. Quel est le nombre maximum de disques de jazz qu'il peut se procurer ? Dans ce cas, combien achète- t-il de disques classiques ? Quelle est alors la dépense ?

b. De combien de manières peut-il dépenser 4000 € ?

c. Il veut acheter 70 disques. Donner toutes les répartitions possibles. Quelles sont alors la dépense minimum et la dépense maximum effectuées ?

Correction

1. a. Bien lire un énoncé...

"Il veut se procurer des disques classiques qui valent 80 € pièce et des disques de jazz qui valent 40 € pièce [...], il ne peut acheter les disques compacts que par lots de 10 "

On en déduit que le coût des compacts est : 800x + 400y.

"Disposant d'un crédit de 6000 euros [...]" donc on doit avoir : 800 400 6000x y  .

"pour une valeur d'au moins 3200F" donc aussi : 800 400 3200x y  .

"[...] il tient à acheter plus de disques classiques que de disques de jazz.". D'où x y .

"[...] et il désire au moins un lot de disque de jazz." Donc 1y  .

Le système (S) est donc :

800 400 6000

800 400 3200

1

x y

x y

x y

y

      

 

ce qui équivaut à :

2 15

2 8 ( )

1

x y

x y S

x y

y

      

 

.

b. On trace les droites d'équations : x = y, y =1, 2x+y =15 et 2x+y =8 ; on hachure les demi-plans qui ne conviennent pas. Voici le résultat :

2. a. On veut acheter le maximum de disques de jazz. On cherche le point dans la partie non hachurée dont l'ordonnée est la plus grande : c'est le point de coordonnées (5 ; 4). Donc cela correspond à 40 disques de jazz et 50 disques classiques. La dépense est alors de (800.5+400.4 = ) 5600 €.

b. On trace la droite d'équation : 800x + 400y = 4000 (dépense de 4000 €). On cherche les points à coordonnées entières de la partie non hachurée sur cette droite. Il n'y en a qu'un ! Le point (4 ; 2), ce qui correspond à 40 disques classiques et 20 disques de jazz.

x

y

0 1 2 3 4 5 6 70

2

4

6

8

c. On trace la droite d'équation : 10x + 10y = 70 (ce qui correspond à 70 disques).

L'équations est aussi : x+y =7. On cherche les points à coordonnées entières de la partie non hachurée sur cette droite. Il y en a trois : (6 ; 1), (5 ; 2) et (4 ; 3). Trois répartitions sont donc possibles :

Nombre de disques classiques

Nombre de disques de jazz

Dépense

60 10 5200 €

50 20 4800 €

40 30 4400 €

La dépense minimum est de 4400 €.

La dépense maximum est de 5200 €.

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