Travaux pratiques math 1, Exercices de Mathématiques. Ecole Supérieure d'Ingénieurs de Marseille

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Travaux pratiques de math 1. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la base orthonormée d’un plan vectoriel euclidien P, l’application linéaire, le repère orthonormé d’un plan affine euclidien P.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Grenoble septembre 1975 \

EXERCICE 1

Soit B = (

−→ ı ,

−→ )

une base orthonormée d’un plan vectoriel euclidien P .

Partie A

1. On pose −→ u =

−→ ı +2

−→ et

−→ v = 2

−→ ı

−→ et on appelle ϕ l’application linéaire de

P dans P telle que

ϕ (

−→ u )

= 1

2

−→ u

ϕ (

−→ v )

=− 1

2

−→ v

Montrer que B′ = (

−→ u ,

−→ v )

est une base orthogonale de P .

En déduire que l’application linéaire ϕ est entièrement déterminée et écrire sa matrice B dans la base B′.

2. Montrer que ϕ est la composée d’une homothétie vectorielle et d’une isomé- trie vectorielle de P que l’on précisera.

3. Calculer Bn =Bn−1×B, n ∈N⋆.

En déduire lamatrice An deϕn =ϕn−1◦ϕ dans la baseB. Expliciter lamatrice A1 que l’on notera A.

Partie B

Soit R = (O, B) un repère orthonormé d’un plan affine euclidien P associé à P . On appelle f l’application affine de P associée à l’application linéaire ϕ et telle que O′ = f (O) ait pour coordonnées (1 ; 2) dans R.

1. Montrer que les coordonnées (

x′ ; y ′ )

du point M ′ = f (M) s’expriment en fonction des coordonnées (x ; y) du point M par les relations :

x′ = −3x+4y

10 +1

y ′ = 4x+3y

10 +2

2. Quel est l’ensemble des points invariants par f ? Montrer qu’il existe une ho- mothétie ponctuelle H et une isométrie affine S telles que :

f =H S = S H .

Reconnaître la transformation f . Préciser ses éléments caractéristiques et faire une figure indiquant la construction du transformé d’un point par f .

3. Quelle est l’image par f de la droite (D) d’équation

3x−4y +10 = 0 ?

Plus généralement, quelle est l’image par f d’une droite d’équation

ax+by +c = 0 ?

Existe-t-il des droites globalement invariantes par f ? Pouvait-on prévoir le résultat ?

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

4. Soit Ω le point de coordonnées (2 ; 4) et M le point de coordonnées (x ; y) (M 6=Ω).

On définit la suite de points :

M0 =M ; M1 = f (M0) ; M2 = f (M1) ; . . . ; Mn = f (Mn−1) ; . . .

En utilisant les résultats du B 2., montrer que les points Mn appartiennent, suivant la parité de n, à l’une ou l’autre de deux droites que l’on précisera.

5. Calculer les composantes (Xn ; Yn) du vecteur −−−−→ ΩMn dans la base B, en fonc-

tion de x et y .

Quelle est la position limite du point Mn lorsque n augmente indéfiniment ?

6. On choisit (x ; y)=

(

1

2 ; 19

4

)

.

Montrer que, si l’on pose Zn = d (Ω, Mn ) (Zn est la distance euclidienne des points Ω etMn ).

Zn est le terme général d’une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

Quelle est la plus petite valeur de n telle que d (Ω, Mn )< 0,001 ?

EXERCICE 2

Soit f la fonction réelle de la variable réelle définie par :

f (x)= Log x−1

x+1

1. Étudier la fonction f , et tracer sa courbe représentative (C ) dans le plan affine

euclidien P rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→ )

.

2. Montrer que la fonction f est intégrable sur [2 ; 3]. Calculer l’aire A du , do-

maine plan délimité par la courbe C , la droite (

O, −→ ı )

, et les droites d’équa-

tions x = 2 et x = 3 (on pourra songer â faire une intégration par parties).

3. On appelle g , la restriction de f à ]1 ; +∞[. Montrer que g est une bijection de ]1 ; +∞[ sur ]−∞ ; 0[. Déterminer g−1.

EXERCICE 3

On rappelle que l’ensemble S des suites réelles muni de l’addition des suites et de la multiplication par un réel est un espace vectoriel sur R. On note (un) une suite et un (n ∈N) le terme de rang n de la suite (un ). On considère l’ensemble E des suites (un ) vérifiant la relation :

un = 4(un−1−un−2) , n ∈N− {0 ; 1}.

1. Montrer que E muni de l’addition et de la multiplication par un réel est un sous-espace vectoriel de S.

2. Déterminer r (r ∈ R⋆) pour que la suite géométrique (r n) soit élément de E . On désignera par a0, a1, . . . , an les termes de rang 1, 2, . . . , n+1 de la suite (r n).

Montrer que la suite (nr n) est élément de E . On désignera par b0,b1, . . . ,bn les termes de rang 1, 2, . . . , n+1 de cette suite (nr n).

3. Soit (un ) un élément quelconque de E . Montrer qu’il existe un couple unique de réels (λ, µ) tel que :

u0 = λa0+µb0 u1 = λa1+µb1.

Grenoble 2 septembre 1975

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

Montrer que, quel que soit n, n ∈N, un est de la forme :

un = λan +µbn

Endéduire une base pour E et l’expression en fonction deu0,u1 etn, du terme général un d’un élément quelconque (un ) de E .

Grenoble 3 septembre 1975

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