Travaux pratiques - math 10, Exercices de Mathématiques

Travaux pratiques - math 10, Exercices de Mathématiques

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Travaux pratiques de math 10. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’application f du corps des nombres complexes, le domaine de définition de f, les égalités.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C juin 1975 Mexico \

EXERCICE 1

On donne l’application f du corps des nombres complexes dans lui-même :

z 7−→ f (z)= z3−2(1+ i)z2+5(i−2)z +3(7+ i).

Déterminer l’ensemble E des nombres complexes vérifiant f (z) = 0 sachant qu’un nombre réel est élément de E .

EXERCICE 2

On considère la fonction fa qui à tout x fait correspondre

fa (x)= x

a x

a + x , a ∈R

1. Préciser le domaine de définition de fa suivant les valeurs de a.

2. On considère maintenant a positif.

Étudier les variations de la fonction fa . Tracer la courbe représentative de f2 en axes orthonormés.

Préciser les tangentes aux points d’ordonnée nulle.

3. Déduire de l’étude précédente la courbe (C ) correspondant à l’équation :

y2(a + x)= x2(a x)

PROBLÈME

On rappelle que l’ensembleF (R, R) des fonctionsnumériques, d’une variable réelle, muni de l’additiondes fonctionsnumériques, et de lamultiplication par les nombres réels, est un espace vectoriel sur R. Soit m un réel supérieur à zéro fixé. On considère alors l’ensemble E , des fonctions f de R dans R définies par :

f (x)= aemx +be−mx +c, (où a, b, c décriventR)

Partie A

1. Démontrer que E est un sous-espace vectoriel de F (R, R). Déterminer sa di- mension. Ondémontrera que si l’on considère les fonctions f1 , f2, f3 deRdans R définies pour tout x réel par :

f1(x)= e mx , f2(x)= e

mx , f3(x)= 1

la partie B = {

f1, f2, f3 }

constitue une base de E .

2. a. Soit f un élément de E , de composantes (a, b, c) dans la base B. Déter- miner par récurrence, la dérivée n-ième f (n) de la fonction f (n > 1).

Démontrer que f (n) est un élément de E .

b. On considère l’application ϕn de E dans E , qui à tout élément f de E associe f (n) (n > 1). Démontrer que ϕn est un endomorphisme de E . ϕn est-il un automorphisme de E ?

Terminale C A. P. M. E. P.

3. On désigne par F le sous-espace vectoriel de E engendré par la partie

B ′ =

{

f1, f2 }

.

a. Démontrer que si n est pair, ϕn est la composée d’une projection sur F et d’une homothétie que l’on précisera.

b. On considère l’endomorphisme ψn de F , qui à tout élément f de F as- socie f (n) (n > 1). Démontrer que si n est pair, ψn est une homothétie vectorielle, et que si n est impair, ψn est la composée d’une homothétie vectorielle et d’une symétrie vectorielle que l’on précisera.

Partie B

1. On suppose toujours m 6= 0, et on considère le sous-espace vectoriel F . On désigne par F1 l’ensemble des fonctions de F , impaires, et par F2, l’ensemble des fonctions de F paires.

a. Démontrer que : F = F1⊕F2.

On démontrera l’égalité suivante :

aemx +be−mx = (a +b)

[

emx +e−mx

2

]

+ (a b)

[

emx −e−mx

2

]

b. Déterminer dans la base B′ = {

f1, f2 }

, la matrice de la projection vecto- rielle p1 de F sur F1 parallèlement à F2 ainsi que la matrice de la projec- tion vectorielle p2 de F sur F2′2 parallèlement à F1.

2. On pose C = p2 (

f2 )

et S = p1 (

f1 )

.

Démontrer pour tout x et y de R, les égalités suivantes :

S(0)= 0 ; C (0)= 1 C (−x)=C (x) ; S(−x)=−S(x) C2(x)−S2(x)= 1

C (x + y) = C (x)C (y)+S(x)S(y) S(x + y) = S(x)C (y)+S(y)C (x)

En déduire les égalités suivantes :

S(2x) = 2C (x)S(x) C (2x) = C2(x)+S2(x)

Mexico 2 juin 1975

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