Travaux pratiques - math 12, Exercices de Mathématiques

Travaux pratiques - math 12, Exercices de Mathématiques

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Travaux pratiques de math 12. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’ensemble des entiers naturels, la nature géométrique de T .
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C 1975 Nancy \

EXERCICE 1

1. Trouver l’ensemble des entiers naturels qui divisent 276.

2. Trouver les paires d’entiers naturels dont le plus grand diviseur commun d et le plus petit multiple communm vérifient

{

m+3d = 276 10< d < 30

EXERCICE 2

Soit E un espace affine euclidien de dimension 3 rapporté au repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k

)

. On considère les points A, B et O′ ayant pour coordonnées respecti-

vement (a ; 0 ; 0), (0 ; b ; 0), (0 ; 0 ; c).

Soit C le point tel que −−→ AC =

−−→ OB et soit A′, B′, C′ les points définis par

−−→ AA′ =

−−→ BB′ =

−−→ CC′ =

−−−→ OO′ .

Soit S1, S2 et S3 les symétries orthogonales ayant pour axes respectivement OA, BB′

et A′C′.

1. La transformation T = S3 ◦S2 ◦S1 est-elle un déplacement ou un antidéplace- ment ?

2. Quelle est l’application linéaire associée à T ?

3. Déterminer la nature géométrique de T .

PROBLÈME

1. On désigne par G l’espace vectoriel réel des applications polynomiall-, de R dans R, de degré au plus égal à 2. On rappelle que G est de dimension 3.

Soit a un nombre réel tel que a2 6= 1. On considère les trois applications poly- nomiales Ra , Sa , Ta définies de la manière suivante : pour tout x ∈R

Ra (x)= (x−1)(xa)

2(1+a) , Sa(x)=

x2−1

a2−1 , Ta(x)=

(x+1)(xa)

2(1−a)

a. Calculer les valeurs de Ra , Sa , Ta aux points −1, a, 1 et en déduire que ces trois applications polynomiales sont linéairement indépendantes.

Constituent-elles une base de E ?

b. Soit α, β et γ des nombres réels. Montrer qu’il existe un et un seul élé- ment P de E tel que

P (−1)=α, P (a)=β, P (1)= γ

en cherchant à exprimer P à l’aide de Ra , Sa , Ta .

2. a. Soit f l’application de [−1 ; 1] dans R définie par

f (x)= 1

2

(

1

3+ x +

1

3− x

)

, −16 x 6 1

Calculer ∫1

−1 f (x)dx.

Terminale C A. P. M. E. P.

b. Déterminer l’élément Q0 de E qui prend aux points -1, 0, 1 les mêmes

valeurs que f et calculerQ0(x)− f (x) ainsi que ∫1

−1 Q0(x)dx.

c. On pose ∆= ∫1

−1

(

Q0(x)− f (x) )

dx.

En minorant et majorant 9− x2 lorsque |x|6 1, montrer que

1

819 6∆6

1

720 .

d. En déduire un encadrement de Log 2 par des nombres décimaux dont la différence est 16 ·10−5 .

3. On considère à nouveau, lorsque a2 6= 1, les polynômes Ra , Sa , Ta introduits en 1.

a. Calculer les intégrales

∫1

−1 Ra (x)dx,

∫1

−1 Sa(x)dx,

∫1

−1 Ta(x)dx

b. On suppose que (

a2−1 )(

a2−9 )

6= 0. Soit Qa l’élément de E qui prend aux points −1, a, 1 les mêmes valeurs que f . Calculer

I (a)= ∫1

−1 Qa(x)dx.

(Il est conseillé de vérifier que pour a = 0 on obtient le résultat trouvé en 2. b.

c. Étudier les variations de I (a) lorsque a parcourt l’intervalle ]−1 ; 1[.

d. En déduire qu’il existe un nombre a0 tel que

−1< a0 < 1 et I (a0)= Log2

Nancy 2 juin 1975

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