Travaux pratiques - math 13, Exercices de Mathématiques

Travaux pratiques - math 13, Exercices de Mathématiques

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Travaux pratiques de math 13. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l'espace probabilisé, la fonction numérique définie sur R.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Nantes juin 1975 \

EXERCICE 1

On considère l’ensemble E4 = {0, 1, 2, 3, 4} et l’application p de E4 dans R qui, à tout élément k de E4 associe p(k)= Log

(

ak )

, ou, a un réel strictement positif.

1. Déterminer a pour que (

E4, P (E4) , p )

soit un espace probabilisé.

2. On donne à a la valeur trouvée ci-dessus et on considère la variable aléatoire X définie sur

(

E4, P (E4) , p )

et associant à chaque élément k de E4 le nombre p(k).

Calculer l’espérance mathématique de X, sa variance et son écart-type.

3. Généraliser les résultats précédents à l’ensemble

En = {k|k ∈N, k 6 n}

n est un entier naturel non nul.

On rappelle :

n

k=0 k =

n(n+1)

2 ,

n

k=0 k2 =

n(n+1)(2n+1

6 ,

n

k=0 k3 =

n2(n+1)2

4 .

EXERCICE 2

Soit f une fonction numérique définie sur R par

{

x ∈R : f (x+2) = f (x) ∀x ∈ [0 ; 2[ : f (x) = x4+bx3+cx2+dx

b, c, d sont des nombres réels. On désigne par (C ) la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthogonal d’axes x′Ox, y ′Oy .

1. Déterminer f (2).

Trouver sous la forme d’une relation entre b, c et d , une condition nécessaire et suffisante pour que f soit continue sur R.

2. Déterminer b, c et d de manière que f soit continue sur R et que, de plus, (C )

admette le point I

(

1 ; − 1

2

)

comme extremum relatif.

3. Étudier la dérivabilité de f et construire (C ), les valeurs de b, c et d étant celles qui ont été trouvées en 2.

PROBLÈME

N. B. Les parties B et C étant indépendantes, le candidat pourra (après avoir étudié la partie A) les traiter dans l’ordre qui lui conviendra

Partie A

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

Soit E l’ensemble des matrices carrées d’ordre 2 de la forme

M =

(

a+b b

b ab

)

a et b sont des nombres réels. On note respectivement O et I les matrices nulles et unité d’ordre 2 ; on pose

J=

(

1 1 −1 −1

)

1. Démontrer que E , muni de l’addition des matrices et de la multiplication par un nombre réel, est un espace vectoriel.

Établir que (I, J) est une base de E et déterminer les composantes d’une ma- trice de E dans cette base.

2. Calculer J2. En déduire que la multiplication des matrices est une loi de com- position interne dans E .

Démontrer que E , muni de l’addition et de la multiplication des matrices, a une structure d’anneau.

Cet anneau est-il commutatif ? unitaire ? Admet-il des diviseurs de zéro ?

Quels sont les éléments inversibles de E ?

3. Soit M un élément de E . On pose

M1 =M et Mn =M .Mn−1

pour n ∈N, n> 2.

Démontrer que, pour n ∈ N⋆, les composantes de Mndans la base (I, J) sont (

an ; nan−1b )

.

Déterminer la matrice M +M2+ . . .+Mn à l’aide de ses composantes dans la base (I, J).

Partie B

Soit P le plan vectoriel de base (

−→ ı ,

−→

)

et P le plan affine associé à P , rapporté au

repère cartésien (

O, −→ ı ,

−→

)

.

Soit f un endomorphisme deP dont la matrice dans la base (

−→ ı ,

−→

)

est un élément

de E .

1. À quelle condition f est-il un automorphisme de P ? f peut-il être involutif ?

2. Déterminer le noyau et l’image de f . À quelles conditions a-t-on l’égalité entre ces deux ensembles ? Dans ce cas, que peut-on dire de f f ?

3. Trouver les vecteurs de P invariants par f .

4. Déterminer les droites vectorielles de P invariantes par f .

5. On désigne par ϕ l’application affine de P, associée à f et laissant le point O invariant. Quels sont les points de P invariants par ϕ ?

Trouver les droites affines de P parallèles à leur transformée par ϕ.

6. On note M0 le point de coordonnées (1 ; −1) dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

, puis

M1 =ϕ (M0) , . . . , Mn =ϕ (Mn−1) pour n ∈N, n> 1.

Soit (

xn ; yn )

les coordonnées deMn dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

Déterminer xn et yn .

Les suites (xn ) et (

yn )

sont-elles convergentes ?

Partie C

Nantes 2 juin 1975

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

Soit θ l’application de E dans C qui, à une matrice M de E de composantes a et b dans la base (I, J), associe le nombre complexe Z = a+ ib.

1. Démontrer que θ est une application linéaire, bijective, de E sur C.

2. Si Z = θ(M) et Z ′ = θ (

M ′ )

, on pose Z Z ′ = θ(M .M ′).

Déterminer (a+ ib)⋆ (

a′+ ib′ )

a, b, a′, b′ sont des réels.

Quelle est la structure de (C, +, ⋆) ?

3. Quels sont les nombres complexes admettant un symétrique pour la loi ⋆ ?

4. On pose, pour Z ∈C, Z 1 = Z , . . . , Z (n) = Z Z (n−1) pour n ∈N, n> 2.

Calculer Z (n).

Résoudre l’équation Z (n) = 1.

Résoudre l’équation Z (2)−5Z + 25

4 = 0.

Nantes 3 juin 1975

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