Travaux pratiques - math 14, Exercices de Mathématiques

Travaux pratiques - math 14, Exercices de Mathématiques

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Travaux pratiques de math 14. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’ensemble des nombres entiers, le système, la fonction numérique.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Nantes septembre 1975 \

EXERCICE 1

Soit Z /15Z l’ensemble des nombres entiers modulo 15 dont on désignera les élé- ments par 0, 1, . . . ,14. Résoudre dans Z /15Z

1. l’équation 5x = 0 ; 2. l’équation 3x = 0 ; 3. le système

{

8x +2y = 11 3x +2y = 11

EXERCICE 2

1. Soit n un nombre entier positif.

Démontrer que 1

xn e−

1 x a une limite nulle quand x tend vers zéro avec x >

0. (On fera le changement de variable défini par x = 1

nt

)

.

2. Soit f la fonction numérique définie sur R par

{

f (0) = 0

f (x) = 1

x3 e−

1 |x| , ∀x, x ∈R∗⋆

Cette fonction est-elle continue en tout point de R ?

Est-elle dérivable en tout point de R ? (Pour la dérivabilité à l’origine, on étu- diera f (x) quand x tend vers zéro).

Étudier les variations de f et construire sa courbe représentative (C ) dans le plan rapporté à un repère orthonormé d’axes x′Ox, y ′Oy .

3. Soit m un nombre réel, m > 1. Calculer l’aire A (m) de la partie du plan limitée par la Courbe (C ), l’ axe des

abscisses x′Ox et les droites d’équation x = 1

m et x = m : on calculera d’abord

la dérivée de e− 1 x (x 6= 0), puis on fera une intégration par parties. Déterminer

la limite de A (m) quand m tend vers +∞.

PROBLÈME

N.B. : Les deux parties de ce problème sont indépendantes.

Partie A

On désigne par P un plan vectoriel euclidien orienté dont (−→

u , −→ v

)

est une base or-

thonormée directe, et on considère l’endomorphisme f de P défini par sa matrice

M f f relativement à la base (−→

u , −→ v

)

:

M f = (

a p 3 −a +b

a +b a p 3

)

a et b sont deux paramètres réels.

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

1. À quelle condition nécessaire et suffisante l’application f est-elle bijective ?

2. Déterminer, suivant les valeurs de a et b, le noyau Ker f et l’image Im f de cet endomorphisme.

3. Démontrer que l’ensemble des vecteurs de P invariants par f est une droite vectorielle D si, et seulement si, les paramètres a et b vérifient la relation

(1) 4a2−2a p 3+1−b2 = 0.

4. Déterminer les couples (a ; b) vérifiant la relation (1) et tels que f ne soit pas une bijection. Pour chacun de ces couples (a ; b), préciser le noyau et l’image de f ainsi que la droite vectorielle D des vecteurs invariants par f puis, en déduire la nature de l’endomorphisme f .

5. Dans cette question on suppose b = 0 et a 6= 0. Établir que f est alors le produit d’une rotation vectorielle et d’une homothé- tie de rapport positif. (On précisera, suivant la valeur de a, le rapport k de l’homothétie et une détermination θ de l’angle de rotation).

Partie B

Soit P le plan affine euclidien orienté dont (

O, −→ u ,

−→ v

)

est un repère orthonormé di- rect. On rappelle que l’application de C dans P qui, à tout nombre complexe z de com- posantes x et y par rapport à la base (1, i) de C

(

i2 =−1 )

, associe le point M de coor-

données x et y par rapport au repère (

O, −→ u ,

−→ v

)

de P, est une bijection ; z est appelé

l’affixe de M et M est le point image de z. On rappelle aussi que, à toute application t de C dans C, on peut associer l’applica- tion T de P dans P telle que, si z est l’affixe de m et Z l’affixe de M , on ait

T (m)= M ⇐⇒ t(z)= Z .

Enfin on notera z le conjugué de nombre complexe z.

1. On désigne par s l’application de C dans C définie par

Z = s(z)= a (p

3+ i )

z

pour tout z ∈C, a étant un paramètre réel non nul. Soit S l’application de P dans P associée à s.

a. Étudier, suivant la valeur du paramètre réel a, la nature de S et préciser ses éléments.

b. Déterminer, si elle existe, l’application t−1.

c. Déterminer et construire l’ensemble C des points du plan dont l’affixe z vérifie la relation

zz + i (

z z )

−3= 0.

On désigne par C ′ l’ensemble des images des points de C par l’applica- tion S. Écrire la relation qui lie les affixes des points de C ′ et construire C ′ pour a = 2.

2. On considère l’application ϕ de C dans C définie par

Z =ϕ(z)= ibz

pour tout z ∈C, où b est un paramètre réel non nul. Soit Φ l’application de P dans P associée à ϕ.

Nantes 2 septembre 1975

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

a. Étudier, suivant les valeurs de b , la nature deΦ.

b. Déterminer et construire l’ensemble Γ des points du plan dont l’affixe z vérifie la relation

(

z + z )2−4

(

z z )2 = 64.

En choisissant b = 2, déterminer et construire l’ensemble Γ′ des images des points de Γ par l’application Φ.

Nantes 3 septembre 1975

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