Travaux pratiques math 2, Exercices de Mathématiques

Travaux pratiques math 2, Exercices de Mathématiques

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Travaux pratiques de math 2. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le système décimal, le plan affine euclidien, les points de coordonnées.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C juin 1975 Laos \

EXERCICE 1

A est un entier naturel qui s’écrit dans le système décimal :

rnrn−1 · · ·r2r1r0

1. Ayant écrit A sous la forme 10K + r0 où K est un entier naturel, montrer que 5A est congru à 5r0−K modulo 17.

2. Montrer que A est divisible par 17 si et seulement si 5r0−K est divisible par 17.

EXERCICE 1

Dans un plan affine euclidien, on considère le triangle équilatéral ABC, Le milieu I du bipoint (B, C) se projette orthogonalement en H sur la droite AB.

1. Démontrer que H est le barycentre des points A et B affectés respectivement des coefficients 1 et 3.

2. Soit G le barycentre des points A, B, C affectés respectivement des coefficients 1, 5, 2 ; montrer que G est le milieu du bipoint (I, H).

EXERCICE 2

E est un plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

. λ est

un nombre réel non nul. On considère les applications h et p de E dans E qui au pointM de coordonnées (x ; y) associent respectivement les points de coordonnées (λx ; λy) et (0 ; y x).

Partie A

Dans cette première partie λ est donné

1. Caractériser chacune des applications h et p. Sont-elles des bijections de E dans E ?

2. On note N l’image deM par hp. À tout pointM de E on associe le point P tel

que le vecteur −−→ OP soit égal au vecteur

−−−→ OM +

−−→ ON .

On désigne par Aλ l’application de E vers E qui, au point M , fait correspondre le point P .

Montrer que les coordonnées (X ; Y ) de P s’expriment, en fonction de celles deM , par :

{

X = x Y = (λ+1)y λx

À quelle condition .Aλ est-elle bijective ?

Partie B

À chaque λ ∈R− {0} on associe l’application Aλ Soit A l’ensemble des applications Aλ bijectives, et IdE l’application de E vers E qui à M associe M lui-même. Montrer que A∪ {IdE} muni de la loi de composition des applications est un groupe commutatif.

Terminale C A. P. M. E. P.

Partie C

Dans cette question λ∈R− {0} est donné

1. Quel est l’ensemble des points invariants par Aλ ?

2. Soit (D) la droite d’équation : ux+ vy +w = 0.

Démontrer que l’ensemble des images parAλ des points de (D) est en général une droite (D ′) ; on dira avec précision dans quel cas il n’en est pas ainsi.

3. Trouver toutes les droites invariantes par Aλ.

Partie D

Dans toute la partie, on suppose que λ est égal à 1

1. Écrire une équation de l’ensemble (γ) des images par A1 des points du cercle de centre O et de rayon 1.

2. Soit (∆m ) la droite d’équation :mxy = 0.

Montrer que (∆m )∩ (γ) n’est pas vide. Soit M de coordonnées (x ; y) un point de cette intersection. Exprimer OM2 en fonction dem.

3. Etudier les variations de la fonction f de R vers R telle que :

f (m)=OM2

(On ne demande pas la représentation graphique).

4. On admettra que (γ) est une conique ; déduire de l’étude précédente la nature de cette conique. Donner son équation réduite et son excentricité.

Laos 2 juin 1975

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