Travaux pratiques math 4, Exercices de Mathématiques

Travaux pratiques math 4, Exercices de Mathématiques

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Travaux pratiques de math 4. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la fonction numérique à variable réelle, la continuité et la dérivabilité de f.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C 1975 Limoges \

EXERCICE 1

Soit f la fonction numérique à variable réelle x définie par :

f (x)= 1− ∣

∣ex −e3x

1. Étudier la continuité et la dérivabilité de f pour x = 0. 2. Étudier les variations de f et construire sa courbe représentative (C ) dans un

plan rapporté à un repère orthonormé d’axes x′Ox et y ′Oy en prenant 3 cen- timètres comme unité de longueur.

3. Soit λ un nombre réel négatif. Déterminer, en centimètres carrés et en fonc- tion de λ l’aire A (λ) du domaine plan limité par la courbe (C ) et les droites d’équation y = 1, x =λ et x = 0.

EXERCICE 2

z désigne un nombre complexe non nul et zz son conjugué. On fait correspondre à z (z = x+ iy) le point M de coordonnées (x ; y) dans un plan affine euclidien P de repère orthonormé

(

O, −→ u ,

−→ v

)

.

1. Montrer que 2z−1 z2

est réel si et seulement si z = z ou 2zz = z+ z.

2. On suppose la deuxième condition satisfaite ; quel est l’ensemble des points M ?

3. Soit θ =Argz ; calculer en fonction de θ, |z|, puis 2z−1 z2

.

PROBLÈME

P désigne un plan affine de direction le plan vectoriel P et de repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

f est une application affine de P laissant O invariant et dont l’endomorphisme as- socié est ϕ. On suppose que la matrice de ϕ appartient àM M ′, oùM est l’ensemble des ma-

trices

(

a b b ab

)

etM ′ l’ensemble desmatrices

(

a a+b b a

)

les réels a et b vérifiant

la relation a2+b2−ab = 1. À tout vecteur

−→ u de coordonnées (x ; y) on associe le nombre réel

F (−→ u

)

= x2+ y2− xy.

Partie A

1. Montrer que tout élément de M M ′ a un inverse que l’on calculera. Quelle est la nature de f lorsque la matrice de ϕ appartient àM ′.

Déterminer avec précision f0 correspondant à la matrice

(

1 0 1 −1

)

.

2. Montrer queM M ′ est un groupe pour la multiplication desmatrices et que M en est un sous-groupe commutatif.

3. Montrer que quel que soit −→ u élément de P, F

[

ϕ (−→ u

)]

= F (−→ u

)

.

Terminale C A. P. M. E. P.

Partie B

Soit E l’ensemble des points N de P tels que F (−−→ ON

)

= 1.

1. Montrer que E est invariant par f .

2. Étudier la fonction g définie par

g (x)= x+

p 4− x2

2 .

et tracer sa courbe représentative γ dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

Montrer que E = γf0(γ)

Partie C

Soit Φ l’application de P × P dans R définie par

Φ

(−→ u ,

−→ u

)

= x . x′+ y . y ′− 1

2

(

x . y ′+ y . x′ )

où (x ; y) et (

x′ ; y ′ )

désignent respectivement les coordonnées de −→ u et

−→ u′ dans la

base (−→ ı ,

−→

)

.

1. Montrer que Φ est un produit scalaire. Définir la norme associée.

2. On suppose que le plan vectoriel P est muni de la norme euclidienne précé- dente. Reconnaître alors E. Quelle est la nature de ϕ quand sa matrice appar-

tient àM ? àM ′ ? Calculer l’angle des vecteurs (−→ ı ,

−→

)

. Faire la figure.

Limoges 2 juin 1975

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