Travaux pratiques math 5, Exercices de Mathématiques

Travaux pratiques math 5, Exercices de Mathématiques

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Travaux pratiques de math 5. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Les éléments de l’ensemble Z/nZ, les variations de la fonction f.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C septembre 1974 Limoges \

EXERCICE 1

Les éléments de l’ensemble Z/nZ étant notés 0̇, 1̇, 2̇, ..., ˙(n−1), résoudre l’équation

x2− 3̇x − 4̇= 0̇

dans

1. Z/5Z

2. Z/6Z

EXERCICE 2

1. Étudier les variations de la fonction f qui associe au nombre réel x le nombre

f (x)= |ex −1|

e2x +2 -

Étudier la continuité et la dérivabilité pour x = 0.

Tracer la courbe représentative par rapport à un repère orthonormé.

2. Discuter suivant les valeurs de m le nombre et le signe des racines de l’équa- tion

∣ex −1 ∣

∣= m (

e2x +2 )

PROBLÈME

Soit P le plan affine euclidien rapporté au repère orthonormé (O D, Soit f l’applica- tion de P dans P qui au point M de coordonnées (x, y) fait correspondre le point Ml de coordonnées (Xl’ YI) tel que :

{

x1 = λx + y

y1 = λy λ réel donné.

1. π étant le plan vectoriel associé à P, donner la matrice A de l’application li- néaire ϕ qui au vecteur de coordonnées (x ; y) fait correspondre le vecteur de coordonnées

(

x1 ; y1 )

.

Déterminer suivant les valeurs de λ le noyau et l’image de ϕ.

À quelle condition ϕ est-elle bijective ?

Quels sont les points invariants de l’application f ? Si f est bijective, détermi- ner la bijection réciproque.

2. M décrit la droite (D) d’équation x = 1. Quelle est la courbe (D1) décrite par M1 ? Montrer que (D1) reste tangente à la courbe d’équation x2 = 4y quand λ varie.

3. a. Soit A2 = A× A, . . . , An = An−1× A.

Montrer par récurrence que : An =

(

λn nλn−1

0 λn

)

.

b. Soit M1 = f (M), M2 = f (M1) , . . . , Mn = f (Mn−1).

Quelles sont les coordonnées (

xn ; yn )

de Mn en fonction des coordon- nées (x ; y) de M et de λ ?

Terminale C A. P. M. E. P.

4. a. Soit g la fonction définie par :

g (x)= 1+ x + x2+ . . .+ xn pour x réel.

On sait que pour x 6= 1 on a : g (x)= 1− xn+1

1− x .

Calculer la dérivée g ′(x) de g (x) en utilisant les deux formes de g (x).

En déduire la somme h(λ)= 1+2λ+3λ2 + . . .+nλn−1

pour λ 6= 1.

b. On prend maintenant M0 de coordonnées x = 0 et y = 1.

M1 = f (M0). Les points M2, . . . , Mn sont définis comme au 3. b.

Soit Pn le point du plan P défini par : −−−→ OPn =

n

i=0

−−−→ OMi .

Calculer les coordonnées de Pn en fonction de λ.

c. Soit λ∈]−1 ; +1[. Montrer que si n →+∞, Pn admet une position limite Q que l’on déterminera.

d. Les coordonnées de Q sont fonction de λ. Quel est l’ensemble des points Q quand λ∈]−1 ; +1[ ? En donner une représentation graphique,

Limoges 2 septembre 1974

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