Travaux pratiques - math 6, Exercices de Mathématiques

Travaux pratiques - math 6, Exercices de Mathématiques

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Travaux pratiques de math 6. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’ensemble des nombres complexes, les tables d’addition et demultiplication dans l’anneau.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Limoges septembre 1975 \

EXERCICE 1

Soit l’équation

z2+ (1−2i)z +1+5i= 0

définie dans l’ensemble des nombres complexes.

1. Trouver les deux racines z ′ et z ′′ de cette équation.

2. Soit A et B les images par rapport à un repère orthonormé des solutions z ′ et z ′′, A étant le point dont l’abscisse est positive.

Déterminer le centre ω d’une rotation, dont l’angle mesure π

2 radians, qui

transformerait A en B. (On précisera les coordonnées de ω).

EXERCICE 2

1. Construire les tables d’addition et de multiplication dans l’anneau Z/4Z.

2. Résoudre chacune des équations suivantes où l’inconnue est,suivant le cas, x ou le couple (x ; y) :

2̇x = 1̇ 2̇x = 0̇ x + 3̇y = 1̇ 2̇x + y = 0̇

x et y étant éléments de Z/4Z.

3. Déterminer les entiers relatifs a et b tels que a+3b−1 et 2a+b soient tous les deux multiples de 4.

PROBLÈME

On cherche à déterminer une fonction continue unique f , définie sur R, vérifiant :

{

(1) ∀x ∈R, ∀y ∈R, f (x + y)+ x + y = [ f (x)+ x][ f (y)+ y] (2) f (1)= e−1

1. En posant x = y = t

2 , vérifier que

(3) ∀t ∈R, f (t)+ t > 0

2. Démontrer que, s’il existe un réel x0 tel que f (x0)+ x0 = 0, alors

(4) ∀x ∈R, f (x)+ x = 0

En déduire que f (x)+ x n’est jamais nul et démontrer que f (0)= 1.

3. Démontrer que :

(5) ∀x ∈R, ∀n ∈N, f (nx)= [ f (x)+ x]n nx

Calculer f (−x)− x et démontrer que :

(6) ∀x ∈R, ∀n ∈Z, f (nx)= [ f (x)+ x]n nx

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

4. Calculer, en fonction du nombre e et de l’entier q , l’expression :

f

(

1

q

)

+ 1

q

Démontrer que :

(7) ∀x ∈Q, f (x)= ex x.

5. Vérifier que la fonction f définie par :∀x ∈R, f (x)= exx satisfait bien à (1) et (2). On admettra que cette fonction est la seule fonction continue sur R ayant cette propriété.

a. Étudier les limites de f en +∞ et en −∞.

Construire la courbe représentative de f dans un système d’axes ortho- normé.

Quelle remarque peut-on faire au sujet de la tangente à la courbe (C ) représentative de f au point d’abscisse 1 ?

b. Évaluer l’aire A (x), de la portion de plan comprise entre le courbe (C ), son asymptote et les droites d’équation x = 0 et x = X (X < 0).

6. a. Démontrer que l’on a :

(8) ∀x ∈R, 1+ x 6 ex .

b. n ∈N⋆ on pose Pn(a)= (1+a) (

1+a2 )

· · · (1+an ) , a > 0.

Vérifier que Pn(a) est une fonction croissante de n satisfaisant à :

(9) ∀n ∈N⋆, 0< Pn (a)< e a(1−an )

1−a .

Démontrer enfin que pour 0< a < 1, il existe des nombres M dépendant de a et vérifiant :

(10) ∀n ∈N⋆, Pn(a)< M .

Préciser en fonction de a une valeur possible de M .

Limoges 2 septembre 1975

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