Travaux pratiques - math 7, Exercices de Mathématiques

Travaux pratiques - math 7, Exercices de Mathématiques

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Travaux pratiques de math 7. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’application de P dans P, l’espace vectoriel des fonctions numériques.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C 1975 Lyon \

EXERCICE 1

Lyon 1 - z désignant l’affixe d’un point M du plan complexe P, soit f et g les appli-

cations de P dans P définies par :

f : M(z) 7−→ M ′ (

z ′ )

avec z ′ = z2

g : M(z) 7−→ M ′ (

z ′ )

avec z ′ = (p

3+ i )

z2+ i

1. Montrer qu’il existe une similitude directe s telle que g = s f . Préciser le centre, le rapport et l’angle de s.

2. Soit h l’application de P dans P définie par :

h : M(z) 7−→ M ′ (

z ′ )

avec

z ′ = (p

3+ i )

z2+2i (p

3+ i )

z − p 3.

Montrer qu’il existe une translation t telle que h = g t . Préciser le vecteur de t .

EXERCICE 2

Déterminer suivant les valeurs de l’entier naturel n les restes dans la division par 7

des entiers naturels 2n et 3n .

En déduire l’ensemble des entiers naturels n tels que

2n +3n ≡ 0 (mod 7)

PROBLÈME

Soit E l’ensemble des fonctions numériques définies sur R− {2} par

fa, b(x)= a + b

x −2 avec (a ; b) ∈R2

Partie A

1. On considère l’espace vectoriel des fonctions numériques définies sur R− {2}, muni des lois usuelles d’addition de deux fonctions et demultiplication d’une

fonction par un réel.

Montrer que E en est un sous-espace vectoriel.

2. Montrer que (

f1, 0, f0, 1 )

est une base de E, notée B. Donner les coordonnées

de fa, b dans cette base B.

3. Montrer que les fonctions g définies sur R− {2} par

g (x)= cx +d

x −2 avec (c ; d) ∈R2

sont des éléments de E. Trouver leurs coordonnées dans la base B.

Terminale C A. P. M. E. P.

4. fa, b étant un élément quelconque de E et f (n)

a, b sa dérivée d’ordren,n étant un

élément de N⋆, déterminer par récurrence f (n) a, b

et montrer que la fonction h

définie sur R− {2} par :

h(x)= (x −2)n fa, b(x)

est élément de E. Trouver ses coordonnées dans la base B.

Partie B

Pour tout couple de réels (α ; β) on désigne par : ϕα, β l’application de E dans E telle

que ϕα, β (

fa, b )

est définie par :

ϕα, β (

fa, b )

: x 7−→α f aa, b(x)+β(x −2) f

a, b(x)

1. Montrer que ϕα, β est un endomorphisme de E et trouver sa matrice dans la base B =

(

f1, 0, f0, 1 )

.

2. Calculer α et β pour que ϕα, β soit un endomorphisme involutif et dans cha- cun des cas préciser la nature de ϕα, β et préciser ses éléments remarquables.

Partie C

1. Montrer que, quel que soit le couple (a ; b) de nombres réels, l’intégrale ∫1

0

(

fa, b(x) )2

dx est positive ou nulle.

On admettra que cette intégrale est nulle si, et seulement si, (a ; b)= (0 ; 0).

Calculer cette intégrale. En déduire que 1−2Log 22> 0.

2. Soit Φ l’application de E × E vers R définie par :

Φ (

fa, b , fa′ , b′ )

= ∫1

0 fa, b(xfa′ , b′ (x)dx

Montrer que Φ définit un produit scalaire sur E.

On suppose dans les deux questions suivantes que E est muni de ce produit

scalaire,

3. Calculer ∥

f1, 0 ∥

∥.

Déterminer fa, b telle que (

f1, 0, fa, b )

soit une base orthonormée B′ de E et

que b soit positif.

4. Soit µ l’application de E dans E telle que : µ (

fa, b )

est définie par :

µ (

fa, b )

: x 7−→ 2bLog2−a + b

x −2

Montrer que µ est une isométrie vectorielle de E. Déterminer les éléments de

E invariants par µ. Quelle est la matrice de µ dans la base B′ ?

N. B. - Les parties B et C sont indépendantes.

Lyon 2 juin 1975

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