Travaux pratiques - math 8, Exercices de Mathématiques

Travaux pratiques - math 8, Exercices de Mathématiques

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Travaux pratiques de math 8. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le naturel premier, l'espace euclidien.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Lyon septembre 1975 \

EXERCICE 1

1. Résoudre dansN2 l’équation : x2− y2 = 1.

2. Résoudre dansN2 l’équation : x2− y2 = P P est un naturel premier.

EXERCICE 2

Soit P le plan complexe rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

. Déterminer

l’ensemble des points M de P dont l’affixe z est telle que :

z3+ z2+ z+1 appartient àR.

Représenter cet ensemble.

PROBLÈME

V est un espace vectoriel réel de dimension 2, muni d’une base B = (

−→ ı ,

−→

)

. E est

un espace affine admettant V pour espace vectoriel associé et muni d’un repère car-

tésien R = (

O, −→ ı ,

−→

)

.

Partie A

Pour tout couple de réels (a ; b) on définit un endomorphisme de V notéϕ(a ; b) dont la matrice dans la base B est

M(a ; b) =

(

1+a 1 ab 1+b

)

On appelle ∆1 (respectivement ∆2) la droite vectorielle engendrée par le

vecteur −→ ı a

−→

(

respectivement −→ ı a

−→

)

.

1. Vérifier que ∆1 et ∆2 sont distinctes si et seulement si : a+b 6= 0.

2. À quelle condition ϕ(a ; b) est-il bijectif ? Dans le cas où il ne l’est pas, détermi- ner son noyau et son image.

3. Calculer la matrice dans la base B de l’endomorphisme ϕ(a ; b) ◦ϕ(a ; b).

Existe-t-i1 des endomorphismes ϕ(a ; b) involutifs ?

4. λ étant un réel, on appelle l’ensemble des vecteurs −→ u de V tels que

ϕ(a ; b)

(

−→ u

)

=λ −→ u .

Montrer que pour deux valeurs du réel λ (λ1 et λ2), distinctes ou confondues, contient des vecteurs non nuls. Déterminer 1 et 2 .

5. On suppose : a+b+2= 0. Montrer que ϕ(a ; b) est alors la symétrie vectorielle par rapport à ∆1 suivant ∆2.

6. On suppose : a+b+1= 0.Montrer queϕ(a ; b) est alors la projection vectorielle sur ∆1 suivant ∆2.

Partie A

Pour tout couple de réels (a ; b) on considère l’application affine f(a ; b) de E vers E dont l’endomorphisme associé est ϕ(a ; b) et qui laisse invariant le point O.

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

1. Reconnaître l’application f(a ; b) dans le cas où : a+b+2 = 0 puis dans le cas où : a+b+1= 0.

2. V est un espace euclidien et le repère R est orthonormé. On suppose a = t et b = et , t étant un réel quelconque, e étant la base des logarithmes népériens. I est le point de coordonnées (1 ; −1). On noteM l’image à l’instant t du point I par l’application f(t ; et ).

Déterminer les coordonnées (x ; y) du point mobile M en fonction du temps t . Montrer que la trajectoire deM est la courbe d’équation y = xex −ex −1.

Construire cette trajectoire.Déterminer le vecteur-vitesse et le vecteur-accélération de M à l’instant t et déterminer les instants où le mouvement de M est accé- léré ou retardé.

N. B. : La partie B 2. est indépendante des résultats de la partie A.

Lyon 2 septembre 1975

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