Travaux pratiques - math 9, Exercices de Mathématiques

Travaux pratiques - math 9, Exercices de Mathématiques

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Travaux pratiques de math 9. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le logarithme népérien, l’application F de P.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C juin 1975 Maroc \

EXERCICE 1

Soit f la fonction définie par f (x)= Log x2 (Log : logarithme népérien). Étudier la variation de f , tracer la courbe représentative C par rapport à un repère orthonormé. Ecrire l’équation de la tangente àC au point d’abscisse e. Aire du domaine limité par C , l’axe des x et la tangente à C au point d’abscisse e, et situé dans la région correspondant aux ordonnées positives.

EXERCICE 2

Soit P le plan affine rapporté au repère (

O, −→ ı ,

−→ )

.

On considère l’application F de P dans P qui àM(x ; y) associe M ′ (

x′ ; y ′ )

x′ = − x

2 + 3

2 y

y ′ = − x

2 − 1

2 y

Déterminer la matrice de l’application linéaire associée ϕ. Déterminer ϕϕϕ. Soit M ′ = F (M) et M ′′ = F

(

M ′ )

.

Déterminer ϕ (

−−−→ OM M +

−−−→ OM ′ +

−−−−→ OM ′′

)

en fonction des vecteurs −−−→ OM ,

−−−→ OM ′ ,

−−−−→ OM ′′ .

Que peut-on déduire du résultat pour la somme −−−→ OM +

−−−→ OM ′ +

−−−−→ OM ′′ ?

Quel est l’isobarycentre deM , M ′ et M ′′ ?

PROBLÈME

On désignera par F l’espace vectoriel des fonctions numériques définies sur R et indéfiniment dérivables muni des lois de composition habituelles. On se propose de trouver l’ensemble S des fonctions numériques f deux fois déri- vables sur R vérifiant :

(1) f ′′(x)+2 f ′(x)+ f (x)= 4(2x−1)ex + x2−5, ∀x ∈R

On remarquera que S est inclus dans F .

Partie A

Soit E l’ensemble des fonctions numériques h définies sur R par

h(x)= (ax+b)ex +cxe−x

a, b, c varient dans R.

1. Montrer que E est un sous-espace vectoriel de F .

Pour n entier positif, montrer que la dérivée d’ordre n de h est définie par :

h(n)(x)= [a(x+n)+b]ex + (−1)nc(xn)e−x , ∀x ∈R

Terminale C A. P. M. E. P.

2. Soit h1, h2, h3 les éléments de E définis par :

h1(x)= xe x , h2(x)= e

x , h3(x)= xe −x , ∀x ∈R.

Montrer que B = {h1, h2, h3} est une base de E .

3. Soit φ l’application de F dans F définie par :

φ( f )= f ′′+2 f ′+ f

et φ1 sa restriction à E .

a. Montrer que φ est un endomorphisme de F .

Calculer φ1(h) pour h appartenant à E ; en déduire que φ1 est un endo- morphisme de E .

b. Déterminer le noyau N (

φ1 )

et l’image φ1(E ) de cet endomorphisme.

4. Montrer que l’application : x 7−→ 4(2x −1)ex appartient à φ1(h)(E ) et trouver alors un élément h0 de E tel que

φ1 (h0) (x)= 4(2x−1)e x , ∀x ∈R

Partie B

1. Trouver une fonction polynôme p0 du second degré telle que :

φ (

p0 )

(x)= p ′′0 (x)+2p

0(x)+p0(x)= x 2 −5, ∀x ∈R

2. Montrer que h0+p0 est un élément de S.

Partie C

On se propose de chercher l’ensemble S0 noyau de l’application φ dans F

1. Soit f appartenant à S0 ; calculer la dérivée seconde de la fonction

g : x 7−→ ex f (x).

2. Déterminer la forme générale de la fonction g . En déduire l’ensemble S0.

3. Vérifier que f appartient à S si et seulement si f − (

h0+p0 )

appartient à S0.

En déduire l’ensemble S des fonctions vérifiant (1).

Maroc 2 juin 1975

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