Travaux pratiques physique 2, Exercices de Physique de procédés Technologiques pour Micro et Nano Systèmes
Eleonore_sa
Eleonore_sa30 April 2014

Travaux pratiques physique 2, Exercices de Physique de procédés Technologiques pour Micro et Nano Systèmes

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Travaux pratiques de physisque sur l'équation au service des Sciences Physiques. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Étude expérimentale, Modèle théorique, Confrontation des résultats expérimentaux avec le m...
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Exercice1 Une équation au service des sciences physiques

Exercice n°1 (9,5 points)Antilles Septembre 2005

Une équation au service des Sciences Physiques

L'équation différentielle dx

+ αx = β dt

(1), ( et  étant des grandeurs constantes), permet de décrire un

grand nombre de phénomènes physiques variables au cours du temps: intensité, tension, vitesse, grandeur

radioactive.

On rappelle que mathématiquement cette équation admet en particulier 2 solutions :

 -αt β

x(t)= . 1 - e α

si 0 (2) et x(t) = - αt0X e si = 0 avec X0 grandeur constante

PARTIE A: DANS LE DOMAINE DES SYSTÈMES ÉLECTRIQUES

Cette première partie tend à montrer la validité du modèle pour un circuit électrique mettant en jeu une

bobine d'inductance L et de résistance r = 11,8  ,(donc non négligeable), et un conducteur ohmique de

résistance R = 12 , alimenté par un générateur délivrant une tension

continue E = 6,1 V.

On réalise expérimentalement le circuit électrique ci-contre.

L'évolution des grandeurs variables, tension u(t) et intensité i(t), est

obtenue par voie informatique.

La voie EA0 permet de visualiser la tension E

La voie EAl permet de visualiser la tension UBC

1. Étude expérimentale

La courbe expérimentale donnant l'évolution de l'intensité i(t), obtenue par traitement informatique est

donnée en ANNEXE n°1, graphique 1 .

1.1. Évaluer graphiquement la durée du régime transitoire. Aucune justification n'est demandée.

1.2.  étant la constante de temps associée au dipôle {bobine-conducteur ohmique} :

1.2.1. Donner l'expression littérale de  en fonction des paramètres du circuit. 1.2.2. En déduire l'expression de l'inductance de la bobine et calculer sa valeur (elle doit être

comprise entre 0,95 H et 1,20 H).

2. Modèle théorique

2.1. En utilisant la loi d'additivité des tensions et en respectant l'orientation du circuit, établir l'équation différentielle vérifiée par l'intensité i(t).

2.2. Par identification avec l'équation (1) vérifier que R r

L

   et donner l'expression de .

2.3. En déduire l'équation horaire littérale i(t) en fonction de {r, R, L et E}. Montrer que cette solution valide bien l'équation établie en 2.1.

2.4. Montrer que cette équation horaire peut s'écrire t

E i(t) 1 e

R r

 

       

.

3. Confrontation des résultats expérimentaux avec le modèle théorique.

On rappelle que x x lim e 0   

et 0e = 1

3.1. On appellera I l'intensité en régime permanent (l'intensité étant constante). Donner l'expression littérale de I. Calculer sa valeur. Est-elle en accord avec la valeur expérimentale obtenue ?

3.2. Donner l'expression littérale de i(t) à la date t =  en fonction de I. Calculer sa valeur. Est-elle en accord avec l'expérience ?

PARTIE B : DANS LE DOMAINE MÉCANIQUE.

L'étude de la chute d'une bille d'acier, de masse m, dans un fluide de masse volumique fluide a été

exploitée grâce à un logiciel.

Les capacités du logiciel permettent ensuite de faire tracer l'évolution de la vitesse du centre d'inertie en

fonction du temps. Les deux courbes, expérimentale et modélisée, sont proposées ci-dessous, mais ne

donnent lieu à aucune exploitation.

1. Exploitation de l'équation v(t) modélisée.

L'équation mathématique associée à la courbe modélisée, vérifie v(t) =

t

0,1321,14. 1 e       

(3), avec

v(t) en m.s-1 et t en s. Cette équation est identifiable à l'équation (2).

1.1. Déterminer la valeur de et du rapport 

 . Donner, sans justification, l'unité du rapport

 .

1.2. Montrer que l'équation différentielle ayant l'équation (3) pour solution vérifie l'écriture

numérique dv

dt + 7,58 v = 8,64 .

2. Étude du phénomène physique. 2.1. Faire l'inventaire des forces appliquées à la bille. Les représenter sur un schéma, en sens et

direction appliquée au centre d'inertie G de la bille.

2.2. Appliquer au système bille la seconde loi de Newton.

3. Exploitation de la modélisation La bille ayant servi à réaliser l'étude est une bille d'acier de masse m = 32 g et de volume V.

L'accélération de la pesanteur est g = 9,81 m.s-2.

Les forces de frottement qui s'appliquent à la bille ont pour expression f = – k v .

3.1. En utilisant un axe vertical orienté vers le bas, montrer que l'équation différentielle relative à la

grandeur variable v(t) vérifie fluide .Vdv k

v 1 .g dt m m

     

  .

3.2. En déduire l'expression littérale des coefficients et  de l'équation (1).

3.3. Quelle serait la valeur du coefficient  si la poussée d'Archimède était nulle ? En utilisant l'équation établie en 1.2., justifier que cette force doit être prise en compte.

PARTIE C : DANS LE DOMAINE DE LA RADIOACTIVITÉ

Les traceurs radioactifs sont des radio-isotopes très utilisés en imagerie médicale pour l'exploration des

organes.

Des dispositifs adaptés transforment en image les mesures d'activité enregistrées.

Le 11C est un traceur radioactif utilisé pour suivre en particulier l'évolution de la maladie de Parkinson.

Le traceur radioactif se fixe sur le cerveau. L'activité moyenne résiduelle évolue au cours du temps selon

la loi A(t) = A0. te (4).

1. L'évolution de l'activité d'un échantillon de 11C est donnée sur le graphique 2 de l'ANNEXE n°1. On va utiliser ce graphique pour atteindre les grandeurs radioactives caractéristiques du 11C.

1.1 Montrer par analyse dimensionnelle que  (constante radioactive), est identifiable à l'inverse d'un temps.

1.2 Rappeler la relation liant  à la constante de temps  du radio isotope. Exprimer la loi d'évolution

A(t) en fonction de .

1.3 Évaluer graphiquement la valeur de la constante de temps  et en déduire la valeur de .

On prendra par la suite = 3,40.10–2 min-l.

1.4 Définir le temps de demi-vie tl/2 , le déterminer graphiquement.

2. A(t) = A0. te étant solution de l'équation différentielle

dA .A(t) 0

dt   , on se propose d'utiliser la

méthode itérative d'Euler pour résoudre cette équation.

On rappelle que pour une grandeur variable x(t), la méthode d'Euler permet d'écrire:

dx x(t t) x(t) t

dt    

Exploiter cette équation pour établir la relation liant A(t+t), A(t),  et t.

3. L'activité initiale de la dose injectée au patient est A0 = A(t0) = 3,00.108 Bq.

La méthode d'Euler impose de se fixer un pas t pour effectuer les calculs.

3.1. Justifier que la valeur t = 15 min n'est pas correctement adaptée à l'étude.

3.2. On choisit de faire les calculs avec un pas t = 5 min. Recopier et compléter le tableau ci-dessous mettant en parallèle les résultats obtenus avec la méthode d'Euler et ceux obtenus à partir de

l'équation théorique (4).

Date (min) A Euler (Bq) A théorique (Bq)

0 3,00.108 3,00.108

5 2,53. 108

10 2,07.108

15 1,72.108 1,80.108

3.3. On considérera que le choix de t est pertinent si l'écart relatif entre A Euler et A théorique est

inférieur à 5%. La valeur proposée pour t vous semble-t-elle correctement adaptée ?

ANNEXE n°1 À rendre avec la copie

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