Travaux pratiques - physisque 8 , Exercices de Physique de procédés Technologiques pour Micro et Nano Systèmes
Eleonore_sa
Eleonore_sa30 April 2014

Travaux pratiques - physisque 8 , Exercices de Physique de procédés Technologiques pour Micro et Nano Systèmes

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Travaux pratiques de physisque sur le principe de fonctionnement d'une minuterie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Étude du circuit RC, Méthode d'Euler.
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EXERCICE I: PRINCIPE DE FONCTIONNEMENT D'UNE MINUTERIE (7,5 points)

Polynésie Juin 2005 EXERCICE I: PRINCIPE DE FONCTIONNEMENT D'UNE MINUTERIE (7,5 points)

L'objet de cet exercice est d'étudier le principe de fonctionnement d'une minuterie permettant d'éteindre une lampe automatiquement au bout d'une durée t0 réglable. Le montage du circuit électrique est constitué :

- d'un générateur idéal de tension, de force électromotrice E = 30 V.

- d'un interrupteur K.

- d'un conducteur ohmique de résistance R.

- d'un condensateur de capacité C.

- d'un bouton poussoir P qui joue le rôle d'un interrupteur: il est fermé seulement quand on appuie dessus.

- d'un composant électronique M qui permet l'allumage de la lampe L tant que la tension aux bornes du condensateur est inférieure à une tension limite,

caractéristique du composant, notée U  (dans tout l'exercice on fixera U  à une

valeur constante égale à 20 V).

Le composant électronique M possède une alimentation électrique propre (non représentée sur le schéma) qui lui fournit l'énergie nécessaire à l'allumage de la lampe. De ce fait, on admettra que le composant électronique M ne perturbe pas le fonctionnement du circuit RC, c'est-à-dire que la tension aux bornes du condensateur est identique que M soit présent ou non dans le circuit.

I - Étude du circuit RC A l'instant initial (t = 0 s), le condensateur est déchargé. On ferme l'interrupteur K, le bouton poussoir P est relâché (voir schéma ci-dessus). 1. On souhaite visualiser les variations de la tension uC aux bornes du condensateur en

fonction du temps à l'aide d'un oscilloscope à mémoire. Indiquer les branchements à réaliser (voie 1 et masse) sur le schéma du document 1 de l'annexe 1 à rendre avec la copie. 2. Montrer que l'équation différentielle donnant les variations de la tension uC(t) aux bornes

du condensateur en fonction du temps est de la forme :

uc(t) + RC dt

)t(duc = E

M L

D

B

A K

R

E

C P

+

– uC

3. a) En vérifiant que la fonction du temps uc(t) = A (1 - e-t/) est solution de l'équation

différentielle précédente montrer que A = E et que  = RC.

b) Quelle est la valeur de uC en régime permanent ?

c) Quel est le nom donné à la constante  ?

A l'aide d'une analyse dimensionnelle, donner l'unité de la constante . 4. La représentation graphique de la fonction uC(t) est donnée dans le document 2 del'annexe 1, à rendre avec la copie. Faire apparaître sur ce graphe sans aucune justification :

 la tension E,

 la constante  ,

 les régimes permanent et transitoire.

5. Calculer la valeur de la constante  pour R = 100 k et C = 200 µF.

6. a) Donner l'expression littérale de la date t0 à laquelle la tension aux bornes du

condensateur atteint la valeur limite U  en fonction de U  , E et . (t0 est la durée

d'allumage de la lampe).

b) Calculer la valeur de t0 et vérifier la validité du résultat à l'aide du graphe uC(t) fourni dans le document 2 de l'annexe 1 à rendre avec la copie.

c) On a fixé U  à 20 V pour obtenir une durée d'allumage t0 voisine de . Pour quelle

raison choisir t0 très supérieur à , n'aurait pas été judicieux pour un tel montage ? 7. Quel(s) paramètre(s) du montage peut-on modifier sans changer le générateur afin d'augmenter la durée d'allumage de la lampe ? En fixant C = 200 µF quelle valeur doit-on donner à la résistance R pour obtenir une constante de temps d'une minute ? 8. On appuie sur le bouton poussoir. Que vaut la tension aux bornes du condensateur ?

La comparer à U  . Que se passe-t-il pour la lampe dans les cas suivants :

a) la lampe est déjà allumée ?

b) la lampe est éteinte ?

II - Méthode d'Euler On se propose maintenant de résoudre numériquement l'équation différentielle établie à la

question I-2, R et C conservant les valeurs R = 100 k et C = 200 µF .

1. A partir de cette équation différentielle, donner la relation entre la dérivée  

  

dt

(t)duc et la

tension uC(t).

La méthode d'Euler permet de calculer successivement les valeurs de uC(t) et de  

  

dt

(t)duc à

un intervalle de temps régulier tappelé le pas.

En prenant un pas suffisamment petit on peut écrire la relation :

uC(t + t) = uC(t) +  

  

dt

(t)duc . t

Pour cette étude, on prend un pas égal à: t = 2 s. 2. En utilisant l'expression littérale ci-dessus, compléter dans le tableau donné en annexe

(document 3, annexe 1) les colonnes correspondant aux dates t = 2 s et t = 4 s. 3. Le document 4 de l'annexe 2 représente un agrandissement de la courbe uC(t)

du document 2. Tracer sur ce document à rendre avec la copie, la partie du graphe uC(t) correspondant à ce tableau. Que constatez-vous ?

4. On peut améliorer la précision de la méthode d'Euler en modifiant la valeur du pas t.

Quelle modification pourrait-on apporter à la valeur du pas t ? Quel serait l'inconvénient de cette modification ?

ANNEXE 1 : A RENDRE AVEC LA COPIE EXERCICE I Document 1 Document 2 Document 3

t (s) 0 2 4 6 8 10 12 … 20

uC (t) 0 8,14 10,3 12,3 14,1 … 19,6

 

  

dt

tduC )( 1,50 1,09 0,99 0,89 0,80 … 0,52

M L

D

B

A K

R

E

C P

+

– uC

ANNEXE 2 : A RENDRE AVEC LA COPIE EXERCICE I : Document 4

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