Travaux pratiques - Probabilités et Statistiques - 2° partie, Exercices de Calcul avancé
Eusebe_S
Eusebe_S20 May 2014

Travaux pratiques - Probabilités et Statistiques - 2° partie, Exercices de Calcul avancé

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Travaux pratiques de sciences mathématique sur les probabilités et les statistiques - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Machines, Contrôle d’épaisseur, Ajustements, Glace en Arctique et températ...
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8 10 20 30 38 40 43 46

8 11 20 30 38 40 43 46

8 13 21 30 38 40 43 47

8 14 24 31 39 40 44 55

10 14 24 33 39 40 44 60

1. a. Déterminer le pourcentage de clients ayant effectué des achats pour un montant compris, au sens large, entre 30 et 40 euros.

b. Déterminer le pourcentage de clients ayant effectué des achats pour un montant ne dépassant pas 25 euros.

2. a. Déterminer la médiane de la série des montants d'achats donnée par le tableau ci-dessus.

b. Déterminer le premier quartile Q1 et le troisième quartile Q3 de cette série.

c. Construire le diagramme en boîte de cette série au dessus du diagramme en boîte donné. On prendra pour extrémités le minimum et le maximum de la série.

3. Le magasin a annoncé sa journée de promotion par une distribution de tracts sur lesquels était indiqué :

« Grande journée de promotion '.Des prix, des affaires, l'occasion de dépenser moins '. »

Au vu des deux diagrammes en boîtes quelle analyse peut-on faire de ce message publicitaire ?

D’après Bac L Maths-Info Centres étrangers 2008

1.3.15. Machines

On se propose de comparer la fabrication de moquette sur deux machines A et B.

1. Sur la machine A, on prélève quotidiennement pendant 120 jours un échantillon de 1 m2 afin d'en contrôler sa masse. On obtient les résultats ci-dessous.

Résultats machine A

Masse

(en gramme)

Effectif

ni

[285 ; 290[ 11

[290 ; 295[ 18

[295 ; 300[ 35

[300 ; 305[ 20

[305 ; 310[ 10

[310 ; 315[ 6

[315 ; 320[ 8

[320 ; 325[ 12

1.1. Tracer l'histogramme des effectifs.

1.2. Calculer la moyenne de cette série à l'unité près.

1.3. Calculer l'écart type de cette série à l'unité près.

2. Sur la machine B, on effectue les mêmes prélèvements et on obtient les résultats suivants :

• la moyenne : x = 301

• l'écart type :  = 7

• l'histogramme des effectifs ci-dessous :

Résultats machine B

En comparant les résultats de ces deux machines, laquelle vous paraît la plus fiable ?

1.3.16. Population francaise en 2030

Le tableau ci-dessous donne la répartition en fonction de l’âge de la population française en 2010 et une prévision pour 2030.

Age Effectif

en 2010

Effectif

prévu

en 2030

[0;10[ 7,6 6,5

[10;20[ 7,7 6,8

[20;30[ 8,1 7,3

[30;40[ 8,3 7,4

[40;50[ 8,6 7,9

[50;60[ 8,2 8,3

[60;70[ 6,3 8,2

[70;80[ 4,6 6,4

[80;90[ 2,9 3,5

[90;100[ 0,6 0,9

L’objectif de cette activité est de calculer, à l’aide d’un ordinateur, différents indicateurs de tendance centrale et de dispersion pour comparer ces deux répartitions.

1. Étude de l’année 2010

Entrée des données dans le tableur

a. Pour entrer les libellés des colonnes, saisir « a » dans la cellule B2, « b » en C2, « ni » en D2 et « xi » en E2.

Remarque : pour les indices (ou exposants) cliquer sur Format dans la barre d’outil, sélectionner Cellule puis cliquer sur l’onglet Police et sélectionner Indice (ou exposant)

b. Pour entrer les classes d’âge : saisir verticalement à partir de B3 les bornes inférieures des intervalles de classes ; saisir verticalement à partir de C3 les bornes supérieures des intervalles de classes.

c. Pour entrer les effectifs de l’année 2010 : saisir verticalement les effectifs à partir de D3 ; sélectionner les effectifs

et cliquer sur le bouton pour effectuer le total de la colonne ; l’effectif total apparaît en D13.

d. Pour entrer les centres de classes : saisir « =(B3+C3)/2 » en E3 ; cliquer-glisser à partir du coin inférieur droit de E3 jusqu’en E12.

Remarque : pour les calculs qui suivent, on admet que la totalité de l’effectif de chaque classe est affecté en son centre xi.

Estimation de la moyenne : i i n x

x N

 

a. Pour entrer le libellé de la colonne de calcul, saisir « ni xi » en F2.

b. Pour calculer une estimation de la moyenne : saisir « = D3*E3 » en F3 puis faire un cliquer-glisser jusqu’en F12 ;

effectuez le total de la colonne avec le bouton ; saisir « Moyenne : » en B16 ; saisir « = F13/D13 » en C16 ; valider, l’estimation de la moyenne apparaît.

Remarque : pour choisir le nombre de chiffres après la virgule, cliquer sur le bouton .

Calcul de l’écart type : 2

2i in x x N

 

 

a. Pour entrer le libellé de la colonne de calcul, saisir « ni xi2 » en G2.

b. Pour calculer l’écart-type : saisissez « = D3*E3*E3 » en G3, puis faire un cliquer-glisser jusqu’en G12 ; effectuez le

total de la colonne avec le bouton ; saisissez « Ecart type : » en E16 ; saisissez « = RACINE(G13/D13- C16*C16) » en G16 ; validez, la valeur de l’écart type apparaît.

2. Étude de l’année 2030

En procédant comme à la question précédente avec l’aide du tableur, calculer une estimation de la moyenne et l’écart-type de la population française prévue en 2030.

3. Analyse des résultats

Comparer les indicateurs statistiques moyenne et écart type en 2010 avec ceux en 2030. En déduire un commentaire sur l’évolution de la population française prévue sur cette période.

Éléments de réponse

L’écart type en 2010 est peu différent de celui en 2030 (moins d’un an d’écart). La moyenne en 2030 est supérieure de 3,6 ans à celle en 2010.

La prévision prévoie donc que la population française va peu augmenter sur la période étudiée. En revanche elle sera plus âgée en moyenne de 3,5 ans, avec une dispersion par rapport à la moyenne variant peu.

Commentaire

L’élève ne doit pas être en totale autonomie dans la phase d’apprentissage informatique. La présence du professeur est indispensable pour apporter l’aide nécessaire lorsqu’il rencontre des difficultés liées aux différentes procédures à mettre en œuvre.

Cette activité permet, dans un premier temps, d’introduire les outils du tableur lors de l’étude de l’année 2010. Dans un deuxième temps, lors de l’étude de l’année 2030, plus d’autonomie est laissée à l’élève pour consolider l’acquisition de ces outils en lui demandant de reproduire les mêmes procédures.

Comparer deux séries statistiques à l’aide d’indicateurs de tendance centrale et de dispersion donne du sens à l’activité.

L’analyse des résumés numériques des séries pourrait être prolongée en demandant à l’élève de comparer des représentations graphiques obtenues à l’aide du tableur-grapheur.

1.3.17. Qui a les meilleurs réflexes ?

Nous allons déterminer quel est l’élève de la classe qui a les meilleurs réflexes. Pour cela, nous allons réaliser avec chaque élève une expérience simple de mesure indirecte du temps de réaction.

1. Travaux pratiques par groupes de trois élèves

Un des élèves tient une règle, graduée en cm, en la laissant pendre. Un autre place le pouce et l’index au niveau du zéro en bas de la règle, sans la tenir. Lorsque la règle est lâchée sans l’avertir, il essaye de l’attraper au vol. Le troisième élève enregistre, dans le tableau d’un tableur-grapheur, la hauteur h correspondant à la distance entre le bas de la règle et le point attrapé. Ce test est effectué 40 fois par chacun des trois élèves.

2. Traitement informatique des données

a. Comparer vos performances avec ceux des autres élèves de la classe à partir d’indicateurs statistiques calculés à l’aide du tableur.

b. Quel est celui qui a les meilleurs réflexes ? Justifier.

Eléments de réponse

Exemples d’indicateurs statistiques obtenus expérimentalement

PRÉNOM

Indicateurs de tendance centrale Indicateurs de dispersion

Classement Mode

Mo

Médiane

Me

Moyenne

x

Étendue

e

Écart type

1 Claire 28 25 28,5 37 11,9

2 Nathan 17 10 10,1 24 6,6 2nd ?

3 Zoé 12 14 15,5 35 5,4

4 Camille 18 12 12,4 25 5,6 2nd ?

5 Jamal 25 25 26,9 30 7,2

6 Hubert 25 30 30,4 39 11,7

7 Romain 15 15 15,2 12 4,2 2nd ?

8 Marie 18 16 15,1 49 10,2

9 Flora 15 15 15,2 12 4,2 2nd ?

10 Lucie 15 15,5 17,2 29 6,7

11 Frédéric 12 9 9,5 10 3,1 1er

12 Anaïs 14 17 17,2 27 6,5

13 Halima 19 14 16 39 11,8

Commentaires

Cette activité met en œuvre des travaux expérimentaux de deux sortes : des travaux pratiques permettant de construire des séries statistiques individualisées, et des calculs d’indicateurs statistiques à l’aide des TIC.

Le calcul « à la main » des indicateurs statistiques ne présente aucun intérêt dans la mesure où les TIC permettent de les obtenir très facilement.

Identifier l’élève qui a les meilleurs réflexes est aisé si l’un d’entre eux se détache des autres en ayant les meilleurs indicateurs (ceux de l’élève Frédéric par exemple). Dans le cas contraire, il est nécessaire d’identifier le ou les indicateurs pertinents. Les élèves doivent rechercher ce ou ces indicateurs, en justifiant leur choix en donnant du sens à ces nombres. Le fait qu’ils soient obtenus à partir de données individualisées facilite leur interprétation et permet de comparer plus facilement des séries deux à deux.

Dans l’activité présentée, si l’objectif est de repérer dans la classe le meilleur chronométreur pour une compétition d’athlétisme, celui ayant la plus faible étendue est le mieux placé. Si l’objectif est de trouver le plus régulier, il faut rechercher les plus petites valeurs du couple « moyenne, écart type »

Il est intéressant de faire remarquer que deux séries de même écart type (ou très peu différent) peuvent, si elles sont éloignées d’une distribution normale, avoir une distribution très différente. Un graphique peut alors montrer davantage qu’un simple résumé numérique.

Les élèves Romain et Flora ont des indicateurs statistiques identiques mais les distributions sont très différentes. Elles montrent que Flora réussit des hauteurs inférieures à 15 cm plus souvent que Romain.

Information

La distance indiquée sur la règle permet d’accéder au temps de réaction. En effet, la hauteur h d’une chute de durée

t étant donnée par 2 1

2 h gt , le temps de réaction est :

2h t

g  .

1.3.18. Contrôle d’épaisseur

Le contrôle d’une production de tablettes en bois est effectué toutes les heures par prélèvement d’un échantillon de 20 éléments. On effectue un relevé de l’épaisseur de chaque élément.

L’épaisseur normale est de 18 mm. Une pièce sans défaut est une pièce dont l’épaisseur ne s’écarte pas de plus de 0,5 mm de l’épaisseur normale.

Les pièces ne correspondant pas à cette exigence sont classées en deux catégories :

Défaut mineur L’épaisseur s’écarte de 0,5 à 1 mm de

l’épaisseur normale. Défaut qui ne nécessite pas d’opération de

reprise.

Défaut majeur L’épaisseur s’écarte de 1 à 2 mm de l’épaisseur

normale.

Défaut qui permet d’atteindre le stade suivant sous réserve d’opérations particulières sur cet

élément ou un autre.

Lors d’un contrôle on a relevé les épaisseurs suivantes (en mm) :

Epaisseur en mm 16,6 16,8 17,2 17,3 17,6 17,7 17,8 17,9 18 18,2 18,3 18,4 18,8

Effectif 1 1 1 1 3 1 2 2 1 2 1 3 1

1. a. Quel est le nombre de pièces présentant un défaut mineur ?

b. Quel est le nombre de pièces présentant un défaut majeur ?

c. Quel pourcentage de l’échantillon est constitué par des pièces présentant un défaut ?

2. a. Calculer l’épaisseur moyenne x de l’échantillon ; arrondir au centième de mm.

b. Calculer l’écart-type  de l’échantillon.

c. Quel est le pourcentage de pièces dont l’épaisseur est dans l’intervalle .. ?

3. Si l’épaisseur moyenne s’écarte de plus de 0,25 mm de l’épaisseur normale, un réglage de la machine doit être effectué. Est-ce le cas ?

1.4. Ajustements

1.4.19. Insécurité routière

Cette activité (pas vraiment du niveau de Seconde mais instructive) consiste en l’illustration de données statistiques à l’aide d’un tableur, puis à leur interprétation, dans un contexte « citoyen ».

Effectif

Hauteur

(en cm)

ROMAIN Effectif

Hauteur

(en cm)

FLORA

Le tableau ci-dessous fournit, pour la France, la vitesse moyenne des véhicules légers, ainsi que le nombre de morts sur les routes, de 1998 à 2006.

Année Vitesse moyenne des

véhicules légers (km/h) Nombre de morts

1998 88,7 8 437

1999 88,6 8 029

2000 90,1 7 643

2001 89,4 7 720

2002 89,2 7 242

2003 86,8 5 731

2004 84,5 5 593

2005 82,9 5 318

2006 82 4 703

(Source www.securiteroutiere.gouv.fr).

1. a. Représenter, à l’aide d’un tableur, l’évolution de la vitesse moyenne en fonction des années (choisir un « nuage de points reliés par une courbe »).

b. Représenter de même l’évolution du nombre de morts en fonction des années.

c. Comparer les deux graphiques.

2. a. Représenter, à l’aide d’un tableur, le nuage de points (non reliés) correspondant à la série statistique à deux variables, vitesse et nombre de morts, en plaçant la vitesse en abscisses et le nombre de morts en ordonnées.

b. Effectuer, à l’aide du tableur, un ajustement affine du nuage précédent.

c. Interpréter le graphique obtenu.

Éléments de réponse

1. a. et b.

c. Les deux graphiques sont très semblables, avec une tendance générale à la baisse (et une petite « bosse » autour de 2001). Ceci conduit à l’idée d’une corrélation entre la vitesse et le nombre de morts, que l’on étudie à la question suivante.

2. a. et b.

c. La droite indique la « tendance » du nuage : lorsque la vitesse augmente, le nombre de morts à tendance à augmenter.

1.4.20. Glace en Arctique et température globale de la Terre

Source : Nations Unies – GIEC (Groupe d’experts intergouvernemental sur l’évolution du climat – IPCC en anglais) rapport 2007 – http://www.ipcc.ch/

1. Étendue de la glace de mer dans l'océan Arctique

Le graphique suivant donne l’étendue minimale, en millions de km2, de la glace de mer dans l’océan Arctique, mesurée chaque été de 1980 à 2006.

L’ajustement affine des observations permet de matérialiser la tendance et « d’extrapoler ».

La droite obtenue à l’aide du tableur-grapheur a pour équation y = – 0,06 x + 126,56 où x est l’année et y l’étendue de glace de mer en millions de km2 calculée avec cette valeur de x.

Les questions suivantes peuvent se poser :

– est-il vrai que « la tendance est à une perte de 60 000 km2 par an » ?

– si la tendance observée se maintient, quelle serait l’étendue minimale de la glace de mer en Arctique durant l’été 2050 ?

– si la tendance observée se maintient, en quelle année n’y aurait-il plus de glace de mer en Arctique en été ?

2. Température globale à la surface de la Terre

Les données ci-dessous fournissent pour la période 1861-2003 les écarts à la moyenne, de la température globale à la surface de la Terre. La valeur 0 correspond à la moyenne sur la période 1861-2003. Par exemple, en 1900, la température moyenne à la surface de la Terre est de – 0,1067° C en-dessous de la moyenne de la période.

Avec un tableur-grapheur, ces données peuvent être ajustée avec deux modèles mathématiques différents :

– Modèle 1 : la droite d’équation y = 0,0045 x – 8,8103 ;

– Modèle 2 : la parabole d’équation y = 4.10 − 5 x 2 – 0,1351 x + 126,02.

Chacun de ces modèles peut être utilisé pour estimer, en 2100, l’écart en degrés de la température de la Terre par rapport à la moyenne de 1861 à 2003 si la tendance observée se poursuit.

– Modèle 1 : + 0,639 7°.

– Modèle 2 : + 18,71°.

Il convient cependant de « relativiser » le caractère prédictif de ces simples calculs, en effectuant par exemple une recherche sur les modélisations utilisées par les chercheurs du GIEC. Les modèles précédents sont plutôt rudimentaires (et le modèle 2 assez inquiétant), le GIEC a mis au point plusieurs modèles, tenant compte, en particulier, des évolutions possibles des concentrations de gaz à effet de serre dans l’atmosphère.

Ces modèles prévoient que le réchauffement continuera si les concentrations de gaz à effet de serre augmentent.

Si les concentrations étaient maintenues au niveau actuel, un réchauffement inexorable de 0,6°C se produirait d’ici à 2100. Un réchauffement plus large se produirait pour les concentrations plus élevées (autres modèles).

Commentaire

Cette étude permet de montrer des ajustements autres qu’affine et ne doit pas faire l’objet de développements théoriques pour d’autres modèles d’ajustement.

1.4.21. Mettre des gants

Travail préparatoire

Quelles sont la température minimale et la vitesse de vent maximale enregistrées par le service météorologique de votre ville au cours des 100 dernières années ?

Informations

Durant les expéditions polaires il est très important de se protéger du froid pour éviter les gelures. Des lésions irréversibles peuvent apparaître aux extrémités (mains, pieds, nez et oreilles) si elles sont soumises plus de 30 minutes à des températures inférieures à −25°C.

Le tableau ci-dessous donne des valeurs de l’indice de refroidissement éolien (IRE) utilisé lors de ces expéditions. Il prend en compte la vitesse du vent pour donner la température réellement ressentie.

Vitesse du vent

(en km/h)

Température

de l’air (en °C)

0 10 20 30 40 50

– 10 – 10 – 15 – 18 – 20 – 21 – 23

– 5 – 5 – 9,5 – 12 – 13 – 13 – 14

0 0 – 3 – 5 – 6,5 – 7 – 7,5

5 5 3 1 0 – 0,5 – 1

10 10 9 7,5 7 6 5,5

Exemple : une température de l’air de –10°C avec un vent de 50 km/h correspond à une température ressentie (IRE) de –23°C.

Problème

1.8oC

2.8oC

3.4oC

0.6oC

La température ressentie par le conducteur d’un scooter à 50 km/h est la même que celle donnée dans le tableau des indices de refroidissement éolien (IRE) pour une vitesse du vent de 50 km/h.

Pour un déplacement de 30 minutes à 50 km/h et sans gant, à partir de quelle température de l’air les mains du conducteur vont-elles se geler avec apparition de lésions irréversibles ?

1.4.22. Accidents

La Direction de la Sécurité Routière relève, tous les deux ans, le nombre de personnes tuées dans les accidents de la route. Le tableau ci-dessous indique, à partir de 1983, le rang x de l’année ainsi que le nombre y de personnes décédées dans un accident de la route au cours de cette année.

Année 1983 1985 1987 1989 1991 1993

x 0 1 2 3 4 5

y 11 946 1 0454 9 855 10 528 9 617 9 052

Année 1995 1997 1999 2001 2003 2005

x 6 7 8 9 10 11

y 8 413 7 989 8 029 7 720 5 731 5 318

1. Dans le plan rapporté à un repère orthogonal ( ; , )O i j , représenter, sur une feuille de papiermillimétré, le nuage

des points de coordonnées (x ; y) associé aux données du tableau.

On prendra pour unités graphiques : − 1 cm pour une unité sur l’axe des abscisses et 1 cm pour 1 000 unités sur l’axe des ordonnées.

2. a. Calculer les coordonnées du point moyen G1 des six premiers points et celles du point moyen G2 des six derniers points.

b. Placer ces points sur le graphique et tracer la droite (G1G2).

c. Montrer qu’une équation de la droite (G1G2) est y = −507x + 11 509,5.

3. On considère que la droite (G1G2) permet de fournir une bonne approximation du nombre de décès dans les accidents de la route jusqu’en 2010.

a. Utiliser le graphique afin d’estimer le nombre de décès causés par un accident de la route en 2009.On fera apparaître les traits de construction.

b. Déterminer par le calcul en quelle année on peut espérer que le nombre de tués par accident de la route soit inférieur à 4 500.

1.5. Probabilités élémentaires

1.5.23. QCM

1. Le nombre d’allocataires du RMI âgés de plus de 50 ans est passé de 150 000 en 1995 à 262 500 en 2005. Entre 1995 et 2005, ce nombre a augmenté d’environ :

a. 42,9 % b. 112,5 % c. 75 % d. 57,1 %

2. Dans une cage, il y a cinq lapins, deux blancs et trois noirs, et quatre cochons dinde, deux blancs et deux marrons. La probabilité qu’un animal choisi au hasard dans la cage soit blanc est :

a. 2

9 b.

1

3 c.

2 2

5 4  d.

4

9

4. Dans un club, on a recueilli les lieux de séjour des 120 membres pour les dernières vacances.

Chacun avait choisi un séjour à la mer ou bien à la campagne. Les résultats de l’enquête sont consignés dans le tableau ci-dessous.

Mer Campagne

Femmes 60 20

Hommes 10 30

On choisit une personne au hasard dans ce club. La probabilité que ce soit un homme ou une personne ayant passé ses dernières vacances à la mer est :

a. 1

12 b.

11

12 c.

5

6 d.

3

4

1.5.24. Grippe

Partie A

Dans un lycée de 1 280 élèves, 300 élèves se font vacciner contre la grippe. Pendant l’hiver, il y a une épidémie de grippe et 10 % des élèves contractent la maladie. De plus 3 % des élèves vaccinés ont la grippe.

1. Reproduire et compléter le tableau suivant, sans justifier les réponses :

Nombre d’élèves ayant eu la grippe

Nombre d’élèves n’ayant pas eu la grippe

Total

Nombre d’élèves vaccinés

Nombre d’élèves non vaccinés

Total 1 280

Pour les trois questions suivantes, tous les résultats seront arrondis à 0,001 près.

2. On choisit au hasard l’un des élèves de ce lycée, tous les élèves ayant lamême probabilité d’être choisis. On considère les évènements suivants :

A : « L’élève a été vacciné » ;

B : « L’élève a eu la grippe » ;

C : « L’élève a été vacciné et a eu la grippe ».

a. Calculer la probabilité des évènements A, B et C.

b. Calculer la probabilité de l’évènement A  B.

3. On choisit au hasard un des élèves vaccinés. Calculer la probabilité de l’événement : « L’élève a eu la grippe ».

4. On choisit au hasard un des élèves non vaccinés. Calculer la probabilité de l’évènement : « L’élève a eu la grippe ».

5. Expliquer pourquoi on peut en déduire que ce vaccin a été efficace pour les élèves de ce lycée.

Partie B

Dès l’apparition des premiers symptômes de l’épidémie, l’infirmière du lycée relève pendant 8 jours le nombre d’élèves malades. Le tableau ci-dessous indique les résultats observés.

Numéro du jour 1 2 3 4 5 6 7 8

Nombre d’élèves grippés 2 5 9 14 17 23 27 31

1. Construire dans un repère orthogonal le nuage de points associé cette série statistique. On prendra les unités suivantes : en abscisse 2 cm pour 1 jour et en ordonnée 1 cm pour 2 élèves.

2. Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage et le placer sur le graphique.

3. On appelle G1 le point moyen des quatre premiers points de ce nuage et G2 le point moyen des quatre derniers points.

a. Déterminer les coordonnées de G1 et de G2.

b. Placer les points G1 et G2 sur le graphique puis tracer la droite (G1G2).

c. Déterminer une équation de la droite (G1G2) sous la forme y = mx + p. On donnera les valeurs exactes de m et de p.

4. En utilisant l’équation de la droite (G1G2), estimer à partir de combien de jours au moins 5 % des élèves du lycée seront atteints par la grippe.

1.5.25. Bison futé

Lors des journées « rouges » selon Bison Futé, l’autoroute qui relie Paris à Marseille est surchargée. Il est donc conseillé de prendre un itinéraire de délestage entre Beaune et Valence (qui ne passe pas par Lyon) afin d’éviter les éventuels « bouchons » autoroutiers.

Entre Valence et Marseille il est également conseillé de prendre la route départementale représentée sur la carte par des pointillés.

Bison Futé a publié les résultats d’une étude portant sur les habitudes des automobilistes sur le trajet entre Paris et Marseille lors de ces journées « rouges ».

Il s’avère que :

• 40 % des automobilistes prennent l’itinéraire de délestage entre

Beaune et Valence ;

• parmi les automobilistes ayant suivi l’itinéraire de délestage entre

Beaune et Valence, 30 % prennent la route départementale de Valence à Marseille ;

• parmi les automobilistes n’ayant pas suivi l’itinéraire de délestage entre Beaune et Valence, 60 % prennent la route

départementale de Valence à Marseille.

On note :

B l’évènement « l’automobiliste prend l’itinéraire de délestage entre Beaune et Valence » et B l’évènement contraire ;

V l’évènement« l’automobiliste prend la route départementale entre Valence et Marseille » et V l’évènement contraire.

1. a. Représenter la situation à l’aide d’un arbre pondéré.

b. Montrer que la probabilité de l’évènement B Vest   0,24p B V  et interpréter ce résultat.

c. Calculer la probabilité que l’automobiliste ne choisisse pas la route départementale entre Valence etMarseille.

2. On donne les temps de parcours suivants :

Paris – Beaune (par autoroute) : 4 heures ;

Beaune – Valence (par autoroute, en passant par Lyon) : 5 heures ;

Beaune – Valence (par itinéraire de délestage, en ne passant pas par Lyon) : 4 heures ;

Valence – Marseille (par autoroute) : 5 heures ;

Valence – Marseille (par la route départementale) : 3 heures.

a. Calculer les temps de parcours entre Paris et Marseille, selon l’itinéraire choisi.

Compléter le tableau ci-dessous donnant les diverses probabilités de durée du trajet nécessaires pour se rendre de Paris à Marseille selon l’itinéraire choisi.

Temps en heures 11 14

Probabilité 0,24

b. Calculer le temps moyen de durée du trajet en heures et en donner une interprétation (la conversion en heure minute seconde n’est pas utile).

1.5.26. CK ou D&G ?

Les 800 élèves d'un lycée possèdent une montre, soit du type M1 soit du type M2.

- Il y a 70% de montres de type M1.

- La moitié des montres de type M1 a un bracelet en cuir.

- 16,25% des montres de type M1 ont un bracelet métallique.

- Parmi les montres de type M2, il y a trois fois plus de montres à bracelet en tissu que de montres à bracelet métallique.

- Il n'existe pas de montres de type M2 avec un bracelet en cuir.

1. Reproduire et compléter le tableau suivant :

Cuir Métal Tissu Total

M1

M2

Total 800

2. Parmi l'ensemble de toutes les montres quel est le pourcentage des montres de type M2 à bracelet en tissu ?

Parmi les montres de type M2, quel est le pourcentage de celles qui ont un bracelet métallique ?

Dans les questions suivantes, les probabilités seront données à 10−3 près.

3. On choisit un élève au hasard parmi les 800 élèves du lycée.

Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants :

A « la montre de l'élève a un bracelet métallique » ;

D « la montre de l'élève est de type M2 ».

4. Définir par une phrase les évènements A B et A B puis calculer leur probabilité.

5. On choisit au hasard un élève ayant une montre de type M1. Quelle est la probabilité de l'évènement C « la montre de l'élève a un bracelet en tissu » ?

1.5.27. Dominos

Un jeu de dominos est constitué de 28 dominos distincts. On rappelle qu'un domino est partagé en deux parties, chacune portant un nombre de 0 à 6 représenté par des points. Un double est un domino dont les deux parties portent le même nombre. Exemples de dominos :

1. Écrire la liste des 28 dominos distincts.

2. Un joueur tire un domino au hasard.

a. Quelle est la probabilité qu'il obtienne un double ?

b. Quelle est la probabilité d'obtenir un domino dont la somme des nombres situés sur les deux parties soit divisible par 3 ? (On rappelle que 0 est divisible par tout entier non nul.)

c. À chaque domino tiré on associe la différence entre le plus grand et le plus petit nombre. Par exemple, si le domino tiré porte le nombre 1 et le nombre 4, on prend la valeur 4−1 = 3.

Quelles sont les valeurs maximum et minimum que l’on peut obtenir ?

Compléter le tableau ci-dessous.

Différence X

Probabilité associée

Quelle est la valeur moyenne de X ?

Donner une interprétation de ce résultat.

1.5.28. Boules

On tire au hasard une boule d'une urne contenant deux boules rouges notées R1 et R2, une boule verte notée V et deux boules bleues notées B1 et B2. On ne remet pas la boule tirée et on effectue un second tirage d'une boule.

On appelle résultat un couple dont le premier élément est la boule obtenue au premier tirage et le second, celle obtenue au second tirage, par exemple (R1, B2).

1. Déterminer à l'aide d'un tableau ou d'un arbre l'ensemble des résultats possibles.

2. On compléte la situation précédente par une régle du jeu :

• pour chaque boule rouge tirée, on gagne 1 euro ;

• pour chaque boule verte tirée, on gagne 2 euro ;

• pour chaque boule bleue tirée, on perd 2 euro.

a. Lister les gains possibles (une perte est considérée comme un gain négatif) et déterminer la probabilité de chacun de ces gains.

b. Calculer le gain moyen d’un joueur. Le jeu est-il équitable ?

1.5.29. Biologie

Des étudiants en agronomie procédent au croisement de deux variétés de pois, l'une ayant des graines jaunes et lisses, l'autre des graines vertes et ridées.

En premiére génération, appelée F1, les graines obtenues sont toutes semblables entre elles, elles sont jaunes et lisses.

Les étudiants croisent alors entre eux les individus de la génération F1, pour obtenir la génération F2.

L'observation de 5431 graines issues de la génération F2 montre que :

4 069 graines sont jaunes dont 3 057 lisses ;

341 graines sont vertes et ridées.

1. Reproduire et compléter le tableau suivant :

graines jaunes graines vertes Total

graines lisses

graines ridées

Total 5 341

2. On tire au hasard une graine parmi les 5 431 de cet échantillon, tous les tirages étant équiprobables. Calculer la probabilité des événements suivants : A : « La graine est jaune » ; B : « La graine est lisse ».

3. On considére les événements suivants : A B ; A B ; A et A B où A et B désignent les événements contraires respectifs de A et B.

Définir chacun de ces événements par une phrase, puis calculer leur probabilité.

4. On prend, au hasard, une graine jaune. Quelle est la probabilité de l'événement C « la graine est ridée » ?

1.5.30. Loterie

Une roue de loterie munie d’un index fixe est divisée en secteurs de mêmes dimensions et de différentes couleurs. Le jeu consiste à miser 5 euros, à faire tourner la roue et à noter la couleur du secteur désigné par l’index à l’arrêt de la roue. On admet que chaque secteur a la même probabilité d’apparaître. La roue comporte :

- n secteurs rouges qui font perdre la mise (gain du joueur : −5 €) ;

- 6 bleus où l’on reçoit 5 € (gain du joueur nul) ;

- 3 verts où l’on reçoit 20 €;

- 1 jaune où l’on reçoit 100 €.

1. Dans cette question, la roue comporte 14 secteurs rouges (n = 14).

a. Déterminer les gains possibles (positifs ou négatifs) du joueur.

b. Calculer la moyenne des gains et interpréter ce résultat.

2. Dans cette question, la roue comporte n secteurs rouges et son propriétaire désire gagner en moyenne au moins 15% des sommes misées.

a. Montrer que le gain moyen d’un joueur est : 5 140

10

n

n

 

 .

b. Déterminer le nombre minimum n de secteurs rouges que doit comporter la roue pour que le propriétaire soit content.

1.5.31. Bibliothèque

Une municipalité décide de regrouper tous les ouvrages de trois petites bibliothèques de quartier en un même lieu et de créer une bibliothèque municipale. On convient de noter b1, b2 et b3 ces trois bibliothèques de quartier.

Le stock de b1 constituera ainsi 50 % de l’ensemble des ouvrages réunis dans la bibliothèque municipale, celui de b2 constituera 30 % de cet ensemble et celui de b3 constituera 20 % de cet ensemble.

Un examen minutieux du stock révèle que :

• 12 % des ouvrages provenant de b1 sont en mauvais état ;

• 10 % des ouvrages provenant de b2 sont en mauvais état ;

• 15 % des ouvrages provenant de b3 sont en mauvais état.

On prélève au hasard un ouvrage dans le stock de la bibliothèque municipale et on note sa provenance et son état.

On appelle les événements suivants :

B1 l’évènement : « L’ouvrage prélevé provient de la bibliothèque b1 » ;

B2 l’évènement : « L’ouvrage prélevé provient de la bibliothèque b2 » ;

B3 l’évènement : « L’ouvrage prélevé provient de la bibliothèque b3 » ;

E l’évènement : « L’ouvrage prélevé est en bon état » et E son contraire.

1. a. Donner la valeur de p(B1), probabilité de l’évènement B .

b. On sait que l’ouvrage choisi vient de b1, quelle est la probabilité que l’ouvrage soit en bon état ?.

2. Reproduire sur la copie l’arbre de probabilité ci-contre et le compléter par les sept probabilités manquantes.

3. a. Montrer que p(B1 E)=0,44.

Calculer p(B2 E) et p(B3 E).

b. En déduire que la probabilité qu’un ouvrage prélevé au hasard soit en bon état est égale à 0,88.

4. Caractériser par une phrase l’évènement B1 E puis calculer sa probabilité.

5. Je prends à la bibliothèque b1 un livre toutes les semaines pendant 1 an que je rapporte consciencieusement.

a. Quelle est la probabilité que je n’ai jamais choisi un livre en mauvais état ?

b. Au plus un livre en mauvais état ?

c. Que des livres en mauvais état ?

d. Au moins un livre en mauvais état ?

(on créera un petit programme donnant ces probabilités pour un nombre de semaines N et on l’utilisera avec N=52).

1.5.32. Médicament

Un laboratoire cherche à tester l’apparition d’éventuels effets secondaires liés à la prise d’un médicament. Pour cela, il sélectionne un échantillon de personnes en bonne santé parmi lesquelles 25 % ont entre 18 et 24 ans, 50 % ont entre 25 et 49 ans et 25 % ont 50 ans et plus. Suite à la prise de ce médicament, 9 % des personnes ayant entre 18 et 24 ans, 7 % des personnes ayant entre 25 et 49 ans et 12 % des 50 ans et plus ont vu apparaître des effets secondaires.

On choisit au hasard une personne ayant participé à ce test. On note :

A l’évènement « la personne a entre 18 et 24 ans » ;

B l’évènement « la personne a entre 25 et 49 ans » ;

C l’évènement « la personne a 50 ans ou plus » ;

S l’évènement « la personne a vu apparaître des effets secondaires suite à la prise dumédicament ».

S est l’évènement contraire de S.

1. Reproduire et compléter l’arbre de probabilités suivant.

2. Calculer la probabilité de l’évènement A S.

3. Montrer que la probabilité de choisir une personne ayant vu apparaître des effets secondaires est égale à 0,0875.

4. On choisit une personne n’ayant pas vu d’effets secondaires liés à la prise de ce médicament.

Quelle est la probabilité qu’elle ait entre 18 et 24 ans ? On arrondira la réponse à 10−4 près.

1.6. Algorithme/Calculatrice

1.6.33. TP EXCEL Nous voulons une fille

TP EXCEL Nous voulons une fille !

Remarque technique : on utilise ici la fonction =ALEA() d’Excel. Cette fonction renvoie un nombre au hasard (aléatoire) compris entre 0 et 1 (1 non compris).

A chaque saisie d’une nouvelle cellule Excel recalcule toute la feuille, ce qui n’est pas très pratique parfois. Pour éviter cet inconvénient, faire « Outils », « Options », « Calcul » puis mettre « Recalcul » à « sur ordre » et décocher « recalcul avant enregistrement ».

Dorénavant vous devrez appuyer sur la touche « F9 » pour recalculer votre feuille.

Dans une petite ville (imaginaire bien sûr !), il y a 2000 couples. Ils ont tous au moins un enfant et tous veulent une fille. Cependant ils ne veulent pas plus de quatre enfants.

Ils appliquent donc tous la stratégie suivante : ils feront un autre enfant tant qu’ils n’ont pas une fille ou quatre garçons.

Nous admettrons que chacun de ces couples peut avoir autant d’enfants qu’il le désire, qu’à chaque naissance, ils ont autant de chance d’avoir un garçon qu’une fille et qu’ils n’ont pas de jumeaux.

1. a. Donner toutes les compositions de familles possibles dans cette ville :

b. Pensez-vous que le nombre de filles dans cette ville sera supérieur, inférieur ou à peu près égal à celui des garçons (expliquez…) ?

2. Nous allons simuler ce qui se passe pour 2000 couples et chercher des réponses aux questions suivantes :

- Quelle sera la proportion de garçons et de filles dans cette ville ?

- Quel sera le nombre moyen d’enfants par famille dans cette ville ?

a. Dans la cellule A1 d’une feuille Excel, mettre la formule : = SI(ALEA()<0,5;’’G’’;’’F’’)

Que simule-t-on ainsi ?

b. Recopier cette formule jusqu’en D1. Qu’a-t-on simulé dans les cellules A1 à D1 ?

c. Dans la cellule F1, mettre la formule : =A1. Dans la cellule G1, mettre la formule : =SI(F1=’’G’’;B1;’’)

Que fait la formule précédente ?

S

A

B

C

S

S

S

S

S

0,12

0,25

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