Travaux pratiques - Problèmes ouverts et à prise d’initiative - 1° partie, Exercices de Calcul avancé
Eusebe_S
Eusebe_S20 May 2014

Travaux pratiques - Problèmes ouverts et à prise d’initiative - 1° partie, Exercices de Calcul avancé

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Travaux pratiques de sciences mathématique sur les problèmes ouverts et à prise d’initiative - 1° partie Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Alignement, Constructions, Distances Périmètre, Angles.
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Toutes classes 6ème à Seconde

Problèmes ouverts et à prise d’initiative

1. Géométrie 2 1-1 : Alignement 2 1-2 : Constructions 2 1-3 : Distances Périmètre 5 1-4 : Angles 7 1-5 : Aires et volumes 13 1-6 : Autour du cercle 21 1-7 : Cercles et triangles rectangles 23 1-8 : Tangentes au cercle 24 1-9 : Vecteurs 25

2. Arithmétique 26

2-1 : Calculs 26 2-2 : Multiples et diviseurs 27 2-3 : Entiers 28 2-4 : Nombres premiers 29

3. Algèbre 31 3-1 : Pourcentages/Proportions 31 3-2 : Equations-Inéquations-Systèmes 32 3-3 : Identités - Comparaisons 34

4. Dénombrement 34 5. Autres problèmes 37

Les figures ont été faites avec CHAMOIS (http://membres.lycos.fr/bourit/) ; même en installant la version limitée vous pourrez bénéficier de la technologie OLE d’incorporation d’objets (modifications possibles directement depuis Word).

1. Géométrie

1-1 : Alignement

13 8

8

5

E

CD

B FA

exercice 1 : (4-3-2) Les points C, E et F sont-ils alignés (tous les angles sont droits) ?

exercice 2 : (4-3-2) Léonard a construit un carré de 8 sur 8 qu’il a découpé suivant les traits de la figure ; en réassemblant les pièces il obtient un rectangle de 13 sur 5 et en conclut que 64 = 65.

Johan lui dit que ce n’est pas possible (et vous serez sûrement d’accord avec lui) ; il réussit à le lui montrer. Pouvez vous y arriver ?

3

3

5

5

8

5 8

3

3

55

85

1-2 : Constructions

exercice 3 : (3-2) Soit un cercle (C) de diamètre [AB], M un point intérieur au cercle.

Construire, à la règle (non graduée) seulement, la perpendiculaire à la droite (AB) passant par M.

exercice 4 : (3-2) ABC est un triangle rectangle en A ; M est un point de [BC] ; I et J sont les projetés orthogonaux de M sur [AB] et [AC]. Où doit-on placer M pour que IMAJ soit un carré ?

exercice 5 : (3-2)ABC est un triangle quelconque. Construire M et N sur [BC], P sur [AB] et Q sur [AC] pour que MNPQ soit un carré.

exercice 6 : (3-2) (d) et (d’) sont deux droites sécantes en A ; B est un point qui n’est sur aucune des deux droites. Construire P sur (d) et Q sur (d’) de sorte que B soit le milieu de [PQ].

exercice 7 : (3-2) Avec une règle non graduée construire le milieu d’un segment.

exercice 8 : (3-2) Deux droites (d) et (d’) se coupent en I en dehors de la feuille. Construire la bissectrice de l’angle (d, d’).

exercice 9 : (3-2) Deux droites (d) et (d’) se coupent en I en dehors de la feuille. M est un point sur aucune des deux droites. Construire la droite (MI).

exercice 10 : (2)ABC est un triangle. M est un point du segment [AB]. La parallèle à (BC) passant par M coupe [AC] en N. Où doit-on placer M pour que le triangle BMN soit isocèle (en M) ?

Remarque : mettre M ou pas au choix. Bulletin vert n° 461 p 745.

exercice 11 : (4-3-2) Peut-on recouvrir une table de 90 cm de côté avec 2 nappes de diamètre 1 m ?

exercice 12 : M, N, P et Q sont quatre points alignés ; r est un nombre positif.

Construire un rectangle ABCD tel que AB r , (AB) passe par M, (DC) passe par N, AD passe par P et (BC) passe par Q. A quelles conditions la construction est-elle possible ?

exercice 13 : (2) Un point M a pour coordonnées x et y. Construire à la règle et au compas le point de

coordonnées 1 1

, x y

     

.

exercice 14 : (4-3-2) Soient trois droites concourantes. Comment construire un triangle dont les trois droites sont les médianes ?

exercice 15 : (3-2) Soit G un point. Construire à la règle et au compas un triangle dont le centre de gravité est G.

exercice 16 : (6-5-4-3-2) Construire à la règle et au compas un carré inscrit dans un cercle donné.

exercice 17 : (3-2) On se donne un cercle et trois points P, Q et R extérieurs au cercle. Construire un triangle inscrit dans le cercle et dont les côtés passent par les trois points P, Q et R.

exercice 18 : (5-4-3-2) On se donne un cercle et deux points P et Q. Construire à la règle et au compas un triangle rectangle inscrit dans le cercle tel que la droite constituant une de ses côtés passe par P, la droite constituant un deuxième de ses côtés passe par Q.

exercice 19 : (3-2) On se donne un cercle dont on connaît un diamètre [AB] mais pas le centre ainsi qu’un point M. Construire à la règle seule une perpendiculaire à (AB) passant par M.

exercice 20 : On se donne A et B deux points distincts, I le milieu de [AB] et C un point. Construire en utilisant uniquement la règle une parallèle à (AB) passant par C.

exercice 21 : On donne le segment [AB]. Avec le compas seul construire le milieu I de [AB] ainsi que les

points E et F tels que AE EF FB  .

exercice 22 : (3-2) A partir du triangle ABC, on construit les points M, N et P tels que A est le milieu de [PC], B est le milieu de [AM], C est le milieu de [BN].

Exprimer l’aire de MNP en fonction de l’aire de ABC.

(2) Construire le triangle ABC connaissant le triangle MNP.

A

B

C

P

M N

exercice 23 : (4-3-2) En Mésopotamie, les champs ont la forme de trapèzes.

Un arpenteur doit partager équitablement un champ entre deux frères : le champ est un trapèze de bases 7 et 17. Les parts sont deux trapèzes. Trouver la largeur du milieu .

Bulletin vert n° 456 p 124.

largeur du haut

largeur du milieu

largeur du bas

exercice 24 : (3-2) Soit ABCD un carré de sens direct. On note I, J, K et L les milieux des segments [AB], [BC], [CD] et [DA].

Le segment [AJ] coupe [DI] en P et [BK] en Q. Le segment [CL] coupe [BK] en R et [DI] en S.

Démontrer que PQRS est un carré .

Quel est le rapport entre son aire et celle de ABCD ?

S

R

Q

P

L

K

J

I

D C

BA

exercice 25 : ABC est un triangle quelconque ; P est un point à l’intérieur de ABC ; S = aire du triangle ABC, S’ = aire du triangle ABC’ ; quel est le

maximum (le minimum) de '

S

S .

B'

A'

C'

P

C

B

A

exercice 26 : Dans la figure ci-contre, le triangle MNP a un angle obtus en M. Hachurez la région où se trouve son orthocentre, c'est-à-dire le point d'intersection de ses hauteurs.

P

N

M

exercice 27 : Trouvez l’aire du plus grand triangle inscriptible dans un cercle donné.

exercice 28 : P est un point fixe situé à l’intérieur d’un secteur angulaire xOy . Tracer une droite (d)

sécante avec les demi-droites [Ox) et [Oy), passant par P et telle que l’aire du triangle obtenu soit minimale.

exercice 29 : ABCD est un parallélogramme ; EFG est un triangle inscrit dans ABCD. Quelle est l’aire maximum de EFG ?

exercice 30 : (2) Le triangle ABC est isocèle en A, A' est le milieu de [BC], H est le projeté orthogonal de A’ sur [AC], I le milieu de [AH]. Que peut-on dire de (AI) et (BH) ?

exercice 31 : Un triangle est dit aigu si tous les angles de ce triangle ont une mesure strictement inférieur à 90°. Comment découper un carré en huit triangles aigus.

exercice 32 : On donne trois points A, B, C non alignés du plan. Etudier l’ensemble des points M tels que la droite perpendiculaire en M à AM rencontre le segment [BC].

exercice 33 : Un disque est partagé en 2 000 secteurs de même amplitude par des rayons issus de son centre. Quel est le nombre maximal de ces secteurs qu'une droite peut couper, si elle ne passe pas par le centre du disque ?

exercice 34 : Un icosaèdre régulier possède 20 faces triangulaires. Combien possède-t-il d’arêtes ?

exercice 35 : L'un des types suivants de pavés ne permet pas de paver le plan par des copies identiques, sans lacune ni recouvrement. Lequel ?

a. Triangle équilatéral b. Hexagone régulier

c. Carré d. Pentagone régulier e. Parallélogramme avec un angle de 30°.

1-3 : Distances Périmètre

exercice 36 : On se donne un carré ; quel est le côté du plus petit triangle équilatéral inscriptible dans ce carré ?

exercice 37 : Sur un cercle on donne deux points A et B. Où placer M sur le cercle pour que MA MB soit maximum ?

exercice 38 : (3-2)ABC est un triangle équilatéral, M est un point quelconque à l’intérieur du triangle, E, F et G sont les projetés orthogonaux de M sur les côtés de ABC.

Où faut-il placer M pour que la somme des distances ME MF MG  soit la plus petite possible ?

exercice 39 : (3-2)ABC est un triangle rectangle en A ; M est un point de [BC] ; I et J sont les projetés orthogonaux de M sur [AB] et [AC]. Où doit-on placer M pour que IJ soit minimale ?

exercice 40 : D1 et D2 sont deux droites parallèles ; A et B sont deux points à l’intérieur de la bande délimitée par les droites ; C est sur D1 et D est sur D2. Comment placer C et D pour que le trajet AC CD DB  soit minimal ?

exercice 41 : (4-3-2)ABC est un triangle rectangle en A. M est un point de [BC], K et L sont les projetés orthogonaux de M sur [AB] et [AC]. Où placer M pour que la distance KL soit la plus petite possible ?

Les fortiches s’intéresseront aussi au cas où ABC n'est pas rectangle en A

exercice 42 : ABC est un triangle ; comment choisir P sur [AB], Q sur [AC] et R sur [CB] pour que le périmètre de PQR soit minimum ?

exercice 43 : ABC est un triangle donné. Soit A’, distinct de A, B et C ; L et M sont les projections orthogonales de A sur (AB) et (AC). Où placer A’ pour que la longueur LM soit maximale ?

exercice 44 : (5-4) On a un rectangle de côtés 2 et 5. Dessiner un autre rectangle dont le périmètre soit trois fois plus grand.

exercice 45 : (5-4) Construire le point M pour que les triangles ABM et ACM aient le même périmètre.

M CB

A

exercice 46 : (5-4) Quel est le rapport entre le périmètre de la partie grisée et le périmètre du cercle ?

u=120

O

A

B

C

x

exercice 47 : Le cercle et les arcs de cercle qui forment la rosace ci-contre ont le même rayon a. Quelle est leur longueur totale ?

exercice 48 : Dans la figure ci-contre, les deux hexagones sont réguliers. Le côté du plus petit vaut 1 et celui du plus grand, 2. Quelle est la somme des longueurs des traits représentés ?

exercice 49 : Une fourmi se déplace le long des arêtes d'un cube, arêtes dont la longueur est 1. Si elle se rend d'un sommet au sommet opposé sans passer deux fois par le même point, quelle est la longueur maximale de son trajet ?

exercice 50 : Quel est le rapport du périmètre d'un hexagone régulier à la circonférence du cercle circonscrit ?

exercice 51 : A, B, C et D sont quatre points dans cet ordre sur une droite.

Si 3

4

AB

BC  et si

2

3

BC

CD  , que vaut

AC

CD ?

exercice 52 : La figure ci-contre est formée de trois triangles équilatéraux PQR, UQS et TSR. Si on pose :

   a QU US ST TR    , b PQ PR  , 2c QR , laquelle des propositions suivantes et exacte ?

a. a b et a c

b. b a et b c

c. c a et c b

d. a b c 

e. La manière dont a, b et c se comparent dépend de la position de S.

T

U

S

P

RQ

exercice 53 : Le bâtiment représenté en perspective ci-contre est regardé du dessus (de très haut). Dessinez ce que vous voyez…

exercice 54 : Deux cercles d’un même plan n’ont aucun point en commun. Le premier, de rayon 3 est centré en P, le second de rayon 5 est centré en Q. Quelle peut être la distance PQ ?

exercice 55 : L’hypothénuse [AB] d’un triangle rectangle ABC est divisée en 8 segments de même longueur ; par chacun des points de division est menée la parallèle à BC, ce qui détermine 7 segments intérieurs au triangle.

Si la longueur de [BC] est 10, quelle est la somme des longueurs de ces sept segments ?

exercice 56 : L’aire d’un triangle est 180 m2. Sa base vaut les 2

5 de sa hauteur. Que mesure la base ?

exercice 57 : Deux droites parallèles sont distantes de 4 cm ; A et B sont deux points de l'une d'elles, distants de 20 cm. Combien y a-t-il, sur l'autre droite, de points C tels que le triangle ABC soit isocèle ?

1-4 : Angles

exercice 58 : Que vaut l'angle intérieur d'un polygone régulier à douze côtés ?

exercice 59 : La somme des amplitudes des angles intérieurs d'un polygone convexe est 3240°. Quel est le nombre de côtés de ce polygone ?

exercice 60 : Un piéton parcourt le périmètre d'un triangle équilatéral ABC : partant de A, il parcourt [AB],tourne d'un certain angle, parcourt [BC],tourne d'un certain angle, et parcourt enfin [CA].Quelle est la somme des amplitudes des deux rotations ?

exercice 61 : Déterminer à la boussole et compté dans le sens horlogique, à partir du nord, le cap pour se rendre du point P au point Q est de 75° et pour se rendre de Q à R, de 180°. Quel cap doit-on suivre pour se rendre directement de P à R si l'on sait que le triangle PQR est rectangle en P ?

exercice 62 : Sur les côtés d'un carré ABCD on construit, extérieurement à celui-ci, les triangles équilatéraux ABP, BCQ, CDR et DAS puis les losanges PKQB, QLRC, RMSD et SNPA.

À propos de l'octogone PKQLRMSN, laquelle des affirmations suivantes est correcte ?

a. Tous ses angles intérieurs valent 120°. b. Tous ses angles intérieurs valent 150°.

c. Cet octogone est régulier.

d. La somme des mesures de ses angles intérieurs vaut deux fois celle des mesures des angles du carré ABCD.

e. La somme des mesures de ses angles intérieurs vaut trois fois celle des mesures des angles du carré ABCD.

exercice 63 : (6-5-4) Comparer les angles xAy et

xBv .

v

B

u

y

A

x

exercice 64 : ‡(6-5) Trouver x.

132°

x

44°

exercice 65 : ‡ Les droites (d) et (d’) sont parallèles. Trouver x.

x

50 °

150 °

(d')

(d)

exercice 66 : ‡ Dans la figure ci-contre (imprécise), que vaut x ?

103°

24°

x

exercice 67 : ‡ Si 30a   et 45b   , alors que vaut

c ?

c

a

b

exercice 68 : On a AD = BD = BC.

Si · 36BAC   , que vaut ·DBC ?

A

D

CB

exercice 69 : ‡ (3-2)ABCD est un rectangle, I est le milieu de [AB], J celui de [CD] ; comment faut-il choisir les dimensions du rectangle ABCD pour que les angles en M et N soient droits ?

N M

J

I

D C

BA

exercice 70 : ‡ (4-3-2) On se donne trois carrés accolés de côté 1 comme sur la figure.

Que vaut l’angle DAH DBH ?

(2) Que valent les angles DAH et DBH ?

HGFE

DCBA

exercice 71 : ‡ Dans la figure ci-contre (imprécise), le triangle ABC est isocèle en A et le triangle DEF est équilatéral.

Si · 52ADE  et · 64CEF  , que vaut ·BFD ?

64 °

52 °

F

E D

CB

A

exercice 72 : ‡ (6-5) Trouver x.

130°

110° x

exercice 73 : ‡ (2) Sur un cube on a tracé deux diagonales. Quelle est la mesure de l’angle formé par ces deux diagonales ?

H G

D C

F E

BA

exercice 74 : ‡ (2) On a AB=2 BC, AD = 2 DC ;

que peut-on dire des angles ABD et BDC ?

D C

B

A

exercice 75 : ‡ (5-4-3-2) Calculer l’angle inconnu.

40 °

30 °

?

55 °

D

C

B

A

O

exercice 76 : ‡ (3-2) Calculer x.

2x

3x

x

5x

D

C

B

A O

exercice 77 : On a AB = BC = CD. Que vaut l’angle ·CDE ?

35 °

93°

28 °

E

D

C

B

A

exercice 78 : ‡ (4-3-2) Soit le triangle ABC ; construire les points D et E sur (AC) et (AB) de sorte que

AD DE EB  .

E

D

C

B A

exercice 79 : ‡ (3-2) Les distances de T aux sommets du triangle équilatéral sont 3, 5 et 7 cm.

Quelle est la longueur du côté de ce triangle ?

B

C

A

T

w=7

v=5

u=3

exercice 80 :  1 2,  et  1 2D ,D sont deux couples de droites parallèles ; construire une droite passant par

A, sécante à 1  , D1, 2 et D2 en E, F, E’, F’ tels que

' 'EF E F .

A

D2

D1





exercice 81 : Il existe certainement un triangle isocèle dont un angle vaut 16°. Donner ses autres angles.

exercice 82 : Soit ABC un triangle. Construire un hexagone régulier inscrit dans ABC à la règle et au compas.

exercice 83 : On donne trois cercles concentriques. Construire un triangle équilatéral ayant un sommet sur chacun des cercles. Peut-on en faire autant avec un triangle rectangle ?

exercice 84 : (5-4-3)ABCD est un parallélogramme, M est le milieu de [AB]. Quels sont les parallélogrammes dans lesquels DMC est un angle droit ?

exercice 85 : (3-2)M et N sont deux points quelconques d'un cercle, H et K leurs projections orthogonales sur un diamètre du cercle, P le milieu de [MN]. Nature du triangle PHK.

exercice 86 : On vous donne un triangle. Pouvez-vous tracer une droite (D) qui partage ce triangle en deux polygones de même aire et de même périmètre ?

exercice 87 : (6-5-4-3)ABM est équilatéral, ABCD

est un carré. Trouver l’angle DMC .

M

D C

BA

exercice 88 : (5-4-3)M est le point intérieur au carré ABCD tel que les deux angles à la base du triangle DMC sont égaux à 15°. Prouver que le triangle AMB est équilatéral.

M

D C

BA

exercice 89 : ABCD est un carré ; on construit deux triangles équilatéraux BIC et CDJ. Que peut-on dire des points A, I et J ?

J

I

B C

D A

1-5 : Aires et volumes

exercice 90 : (6-5-4-3-2) Quel est le rapport entre l’aire grisée et l’aire du rectangle ABCD ?

A B

D C

exercice 91 : (6-5-4-3-2) Comparer les aires des triangles CAB et DAB (les droites (AB) et (CD) sont paralléles).

DC

BA

exercice 92 : Dans la figure ci-contre, le rectangle est divisé en petits carrés de même taille. Quelle fraction du rectangle est grisée ?

exercice 93 : ABCD est un carré de côté 10 cm. Que vaut l’aire de la surface grisée ?

A B

CD

M

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