Travaux pratiques - Problèmes ouverts et à prise d’initiative - 2° partie, Exercices de Calcul avancé
Eusebe_S
Eusebe_S20 May 2014

Travaux pratiques - Problèmes ouverts et à prise d’initiative - 2° partie, Exercices de Calcul avancé

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Travaux pratiques de sciences mathématique sur les problèmes ouverts et à prise d’initiative - 2° partie Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Autour du cercle, exercices.
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exercice 94 : (3-2) Les deux triangles grisés ont- ils la même aire ?

15

20

12 9

exercice 95 : (3-2) On donne les aires des triangles OBC, OCD et OAD. Quelle est l’aire du triangle AOB ?

12 8

6

D

O

B

CA

exercice 96 : (3-2)ABCD est un carré de côté 1, M est le milieu de [AD], N est au quart de [BC]. Quelle est l’aire du quadrilatère MKNL ?

A B

CD

M

N

L

K

exercice 97 : (3-2)ABCD est un parallélo- gramme, M est un point quelconque de la diagonale [BD], (IK) et (JL) sont parallèles aux côtés de ABCD. Comparer l’aire des parallélogrammes AIMJ et CKML.

A B

CD

M

I

J

K

L

exercice 98 : (3-2) Quelle est l’aire du quadrilatère grisé ?

A B

4 cm

7 cm

exercice 99 : (3-2) Partager un octogone régulier en 9 figures d'aires égales.

exercice 100 : (3-2) Les deux cercles ont pour rayon 1. Quelle est l’aire de la partie grisée ?

Correction

Le triangle équilatéral OAB a pour aire 3

2 ; le

secteur angulaire délimité par l’arc AB a pour aire 3

donc la lunule délimitée par [AB] et AB a pour aire

3

3 2

  ; il en est de même pour celle délimité par

[OA] et OA ; O B

A

la partie à enlever au demi-cercle est donc 3 3 2 3

2 3 2 2 3 2

        

  .

Il reste au final 2 3 3

0,34 2 3 2 2 6

            

.

exercice 101 : (4-3-2)ABCD est un carré. P est le milieu de [AD], Q celui de [AB]. Evaluer

   

aire

aire

CPQ

ABCD .

exercice 102 : (4-3-2)ABCD est un carré de côté

a. AC et BD sont des arcs de cercle de centres B et A. Quelle est l’aire du domaine hachuré ?

exercice 103 : (4-3-2) Un triangle équilatéral est inscrit dans un cercle qui lui même est inscrit dans un triangle équilatéral. Quel est le rapport des aires des triangles ?

u=24

exercice 104 : (4-3-2)ABCD est un carré de côté a.

Calculer en fonction de a l’aire du domaine grisé.

A B

CD

exercice 105 : (5-4-3-2)ABCDEF est un hexagone régulier de côté a et de centre O. OPQ est un triangle équilatéral de côté 2a. Quelle est l’aire de la partie hachurée ? O

A

B

C

D

E

F

P

Q

exercice 106 : (3-2) Y’a-t-il des parties de même aire dans cette figure ?

exercice 107 : (4-3-2) Deux avenues, chacune de largeur totale 6 m, se coupent à angle droit : une pelouse (surface grisée) est limitée par ces deux avenues et deux cercles, centrés au centre du carrefour et de rayons 10 m et 13 m. Quelle est l’aire de la pelouse ?

exercice 108 : (3-2)ABCD est un carré de côté a. Calculer l’aire du domaine coloré en fonction de a.

A B

CD

exercice 109 : (3-2) Calculer l’aire du domaine grisé.

b

b

a

a

exercice 110 : (5-4-3-2)ABCD est un carré de côté 2a.

EFGH est un carré de côté b avec 2a b a  .

Quelle est l’aire du domaine grisé ?

A B

CD

H

E

F

G

exercice 111 : (4-3-2) On considère un jardin de 5 mètres sur 10 mètres. Il est coupé par un sentier de 2m de large comme sur la figure. Quelle est l’aire de ce sentier ?

exercice 112 : Dans la figure ci-contre, ADGJ est un parallélogramme dont chaque côté est partagé en trois segments de même longueur par les points intermédiaires B, C, E, …, L.

Si l’aire du parallélogramme vaut 54, quelle est celle de la zone grisée ?

1/3=0,3333333

A J

D G

B

C

L K

E F

I

H

exercice 113 : Dans la figure ci-contre, les points E, F, G, H partagent le segment [AC] en quatre parties égales. Si AB=16 et AD=32, que vaut l’aire du triangle BEF ?

A

B

D

C

F

E

G

exercice 114 : (4-3-2) Sur la figure (ST) est parallèle à (PR).

Que peut-on dire de l’aire du triangle RQT ?

a=6,2208 cm²

T

S

R

Q

w=4

v=8

u=6

P

exercice 115 : Dans la figure ci-contre, les cercles ont pour rayon 1 et leurs centres sont les sommets du triangle. Quelle est l’aire de la surface grisée ?

Quel est le périmètre total de la figure ?

exercice 116 : Quatre rondelles identiques ont 24 mm de diamètre et sont placées comme l’indique la figure ci-contre. Que vaut en mm2 l’aire de la partie ombrée ?

A

D C

B

exercice 117 : ‡ Dans la figure ci-contre, ABCD est un carré de côté 1, CEFG est un rectangle,

2CE BC et B, D, F sont alignés. Quelle est l’aire du pentagone ABEFD ? ‡

G F

E

D

CB

A

exercice 118 : Dans la figure ci-contre, ABCD est un rectangle et (EF) est parallèle à (AB). De plus AB=6, AD=12 et EF=2.

Quelle est l’aire du rtriangle OEF ? O

F

E

C

D

B

A

exercice 119 : Les côtés AC et BC du triangle ABC mesurent respectivement 10 et 6. En outre EC=3, DC=4. Si l’aire du triangle DEC vaut 3, quelle est l’aire du quadrilatère ABDE ?

E

D

C

B

A

exercice 120 : Dans un rectangle de base 2a et de hauteur a, on découpe un petit rectangle de base a et de hauteur a/2. Que vaut l’aire de la partie restante ?

exercice 121 : (3-2) Dans un cylindre de diamètre 16 cm et de hauteur 25 cm on place une bille de rayon 7 cm et on complète avec de l’eau jusqu’à affleurement.

On retire la bille, on plonge une bille de rayon quelconque ; la bille sort-elle de l’eau ? Est-elle sous l’eau ? Y-a-t-il affleurement ?

exercice 122 : (3-2) Existe-t-il un triangle ABC d’aire maximale sachant que AB = AC = 12 cm ?

exercice 123 : (3-2) On considère un demi-cercle (C) de diamètre [AB], de centre O, de rayon 1. Montrer qu’il existe un point unique M de ce demi-cercle tel que la droite (AM) partage le demi-disque limité par [AB] et (C) en deux surfaces de même aire. Définir la position du point M.

exercice 124 : Un paysan prudent a attaché sa chèvre par 2 chaînes de 5 mètres de long. Ces deux chaînes sont attachées respectivement à deux piquets plantés à 5 mètres l’un de l’autre. Quelle est la surface de prairie que peut brouter la chèvre ?

exercice 125 : Etant donné un triangle ABC, trouver 3 points A’, B’ et C’ sur chaque côté du triangle de

façon que     1

aire aire ' ' ' 2

ABC A B C .

exercice 126 : Dans un parallélogramme les longueurs de deux côtés consécutifs sont 3 et 5. Lequel des nombres suivants ne peut être son aire : 1, 2, 8, 15, 16.

exercice 127 : La longueur totale des arêtes d’un cube est de 36 m. Pour peindre toutes ses faces, combien de pots de peinture faut-il acheter sachant que chaque pot contient 500 g de peinture et qu’il faut 100 g de peinture par mètre carré.

exercice 128 : Pour remplir un réservoir de 2,1 m3, combien dois-je verser de seaux de 7 litres ?

exercice 129 : La somme des longueurs d’un cube vaut 60 cm. Quel est le volume de ce cube ?

exercice 130 : Une boîte de forme cubique de 5 cm de côté est remplie, autant que possible, avec des cubes de 2 cm de côté ; ceux-ci sont disposés de telle manière que leurs faces soient parallèles aux parois de la boîte. Quel est, en centimètres cubes, le volume restant libre dans la boîte ?

exercice 131 : La figure ci-contre représente, sans respecter les proportions, le profil longitudinal d’une piscine de plan rectangulaire, dont la largeur est de 10 m. Quelle est sa capacité ?

18 m2m5 m

3 m 1 m

exercice 132 : Une piscine a la forme d’un parallélépipède rectangle ; sa longueur est de 10 m et sa largeur de 5 m. Lorsqu’elle contient 10 000 litres, quelle est en centimètres la hauteur atteinte par l’eau ?

exercice 133 : Pour faire polir toutes les faces d’une pierre de forme cubique, j’ai dû payer 147 euros : le polissage coûte 50 euros par mètre carré. Quel est le volume de cette pierre ?

exercice 134 : Un cube métallique plein de 20 cm d’arête pèse 64 kg. Combien pèse un cube d’1 cm d’arête du même matériau ?

exercice 135 : Tous les coins d’un cube en bois sont coupés à mi-arête, les sections étant planes. Quel est le nombre de faces et d’arêtes du polyèdre restant ?

1-6 : Autour du cercle

exercice 136 : (6-5-4-3-2) Supposons que l’on fasse le tour de la Terre avec une ficelle. Si on rallonge la ficelle de 1 mètre et qu’on la dispose à égale distance du sol suivant le schéma, qui pourra passer sous la ficelle sans la toucher ?

Un microbe ? Une fourmi ? Une souris ? Un boa ? Un chien ? Un éléphant ?

exercice 137 : (5-4-3-2) Avec 30 cm de ficelle on peut faire le tour d’un ballon. Quelle longueur de ficelle faut-il ajouter pour faire le tour d’un autre ballon dont le rayon est supérieur de 2 cm ?

exercice 138 : (4-3-2) Supposons que l’on ait une ficelle assez longue pour faire le tour d’une boule de la taille de la Terre. Pour placer la ficelle à une distance constante de 2 cm de la boule, quelle longueur de ficelle faut-il ajouter ?

exercice 139 : (5-4-3-2) L’aire de chaque petit disque est 2 cm2. Quelle est l’aire du grand disque ? Refaire la figure exacte.

exercice 140 : (5-4-3-2) Trouver le centre du cercle.

exercice 141 : (3-2) A quelle fraction du grand disque correspondent les six petits disques ? A quelle fraction du grand disque correspond l’aire en marron ?

exercice 142 : (5-4-3-2) La couronne ci-contre est délimitée par deux cercles de rayons R et r : quelle est l’aire de la partie grisée en fonction de R et r.

exercice 143 : (3-2) Le triangle ci-contre est équilatéral. Les cercles sont tangents au triangle et tangents deux à deux.

a. Construire la figure.

b. Si le grand cercle a pour rayon 3, quel est le rayon des petits cercles ?

exercice 144 : (3-2) Le triangle est équilatéral de côté 1.

Les trois sommets sont les centres des arcs de cercle. Trouver l’aire de la figure délimitée par les arcs de cercle.

exercice 145 : (3-2) Les cercles sont tangents deux à deux.

Le grand cercle a pour rayon 2.

Les cercles intermédiaires et les petits sont identiques deux à deux.

a. Quels sont les rayons des cercles intérieurs ?

b. Quelle est l’aire de la surface blanche ?

exercice 146 : (3-2) La boule et le cochonnet

Le rayon de la boule est quatre fois celui du cochonnet. Ils sont placés dans une boîte de 27 cm de côté. Quels sont leurs rayons ?

u=0,7875 cm

4*u=3,15

A B

CD

exercice 147 : La figure ci-dessous représente un système de roues. Les roues A et B sont reliées par une courroie qui ne patine pas ; les roues B et C sont solidaires d'un même axe ; la roue D est entraînée par la roue C, contre laquelle elle frotte sans patiner. Combien de tours faut-il faire faire à la roue A pour que la roue D effectue un tour ?

1

B

3 4

1 A

C D

exercice 148 : On donne trois cercles de même rayon. Construire à la règle et au compas un cercle tangent à ces trois cercles et les contenant.

exercice 149 : Soit trois points formant un triangle ABC. Construire trois cercles (C1), (C2) et (C3) vérifiant :

(C1) et (C2) sont tangents en A,

(C1) et (C3) sont tangents en B,

(C2) et (C3) sont tangents en C.

exercice 150 : On donne n points dans le plan. Construire le plus petit disque les contenant.

exercice 151 : Soient (C) un cercle, (D) une droite, A un point. Trouver les points M de (D) et M’ de (C) tels que A soit le milieu de [MM’].

exercice 152 : Quatre cercles d'un plan se coupent deux à deux en 2 points distincts ; trois de ces cercles n'ont jamais de point commun. En combien de régions partagent-ils le plan ?

1-7 : Cercles et triangles rectangles

exercice 153 : (4-3) Dans un magazine Thomas a lu le problème suivant :

« Soient deux points M et N et un segment [AB]. Utiliser une simple règle non graduée et un compas pour construire deux droites parallèles situées à la distance AB l’une de l’autre et passant l’une par M et l’autre par N.»

Thomas a réalisé la construction ci-contre, solution du problème.

Expliquer la construction de Thomas.

O

N

P

M

BA

Le cercle de centre M est de rayon AB.

exercice 154 : STUV est un rectangle.

PQR est un triangle rectangle en Q tel que PQ = 6 et PQ est parallèle à ST ; QR = 8 et QR est parallèle à TU.

Les demi-cercles de diamètres PR, QP et QR sont tangents à STUV.

Quelle est l’aire de STUV ?

R

P

Q

UT

VS

exercice 155 : (4-3) 1. Construire un cercle (C) de centre O, de rayon 3 cm.

2. Placer sur (C) deux points E et F tels que OEF soit équilatéral.

3. Tracer la tangente au cercle (C) passant par E ; elle coupe (OF) en A.

4. Montrer que OEA est rectangle.

5. Calculer les mesures des angles du triangle AEF.

6. Que dire de F ?

exercice 156 : (4-3) 1. Tracer un angle Ax y de 60°.

2. Tracer la bissectrice (d) de Ax y . Placer sur (d) un point B tel que AB= 7 cm et I le milieu de AB.

3. La perpendiculaire issue de B au côté [Ax) coupe [Ax) en M et la perpendiculaire issue de B au côté [Ay) coupe [Ay) en N. Démontrer que BM= BN et que AM=AN.

4. Donner les mesures des angles du triangle AMB en justifiant les réponses.

5. Démontrer que le triangle BIM est équilatéral.

6. Démontrer que MBNI est un losange.

7. Démontrer que les droites (AM) et (AN) sont tangentes au cercle de centre B et de rayon BI.

8. Démontrer que le triangle AMN est équilatéral.

9. Démontrer que [MN) est bissectrice de l’angle IMB .

1-8 : Tangentes au cercle

exercice 157 : (4-3) Avec un logiciel :

1. Placer un cercle de centre O et placer un point C extérieur au cercle.

2. Tracer les tangentes (CR) et (CS) au cercle.

3. Placer un point sur le cercle, nommez le T et tracez la tangente en T au cercle qui coupe (CR) en M et (CS) en N.

4. Mesurer CM, CN, MN, CR et CS.

5. Calculer le périmètre du triangle CMN.

6. Déplacer le point C plusieurs fois, reprendre les mesures, comparer les différentes valeurs trouvées pour le périmètre de CMN avec celles de CR.

exercice 158 : (3-2) (AS) et (AT) sont tangentes au cercle. Par un point M de l’arc ST on a tracé une troisième tangente. Comparer le périmètre du triangle ABC aux longueurs AS et AT.

C

B

M

T

S

OA

exercice 159 : (3-2) Les droites (AB), (CD) et (IJ) sont les tangentes communes aux deux cercles.

Que peut-on dire de I et J ?

J

I

C

A

D

B

M

O' OK

exercice 160 : (3-2) C est un point du segment [AB]. La perpendiculaire à (AB) passant par C coupe en D le cercle de diamètre [AB]. Le cercle de diamètre [AC] coupe [AD] en E et le cercle de diamètre [CB] coupe [DB] en F.

Que peut-on dire de la droite (EF) ?

1-9 : Vecteurs

exercice 161 : (2)ABDC est un parallélogramme. E est un point à l’intérieur de ce parallélogramme. Par E, on construit les parallèles aux côtés qui coupent les côtés en quatre points F,G,H et I (définis en

tournant sur les côtés). Construire le vecteur GH FI . Conjecture et démonstration.

exercice 162 : (3-2)A, B, C, D et M sont quatre point quelconques du plan. E est le symétrique de M par rapport à A, F celui de E par rapport à B, G celui de F par rapport à C, N celui de G par rapport à D. A quelle(s) condition(s) a-t-on N = M ?

Est-ce la même chose avec 5 points ? Expliquez.

2. Arithmétique

2-1 : Calculs

exercice 163 : Que vaut 1 2 3 4   ?

exercice 164 : Que vaut 10 9 10 11   ?

exercice 165 : Que vaut      3 2 1 3 2 1 3      ?

exercice 166 : Que vaut 1001 2002 3003 ... 9009    ?

exercice 167 : Si 4a , 2b , 3c , alors 10 100a b c     ?

exercice 168 : A partir du deuxième, chaque nombre d’une liste s’obtient en ajoutant 1 au double du précédent. Si le premier nombre est 1, quel est le quatrième ?

exercice 169 : Jeanne note trois nombres. En les additionnant deux à deux elle obtient les sommes 63, 65 et 68. Quel est le plus petit des trois nombres notés ?

exercice 170 : Dans le schéma de gauche les carrés situés au milieu des côtés du triangle contiennent les produits des nombres positifs figurant dans les cercles qui occupent les sommets du triangle. Si le schéma de droite suit la même règle, que vaut x ?

exercice 171 : Les affirmations suivantes sont-elles exactes ?

*  3 33 3 3 3 3 100 3

      * 4

4 4 4 4 4 4 4 100 4

          

 

*    5 5 5 5 100    * 9 9

9 9 100 9 9

          

   

exercice 172 : (3-2) Calculer le quotient de 322 par  

3 22 .

exercice 173 : Dans la multiplication incomplète ci-contre, que vaut le chiffre x ? (Les ? indiquent différents chiffres inconnus).

? 5 6 4

?

1 3 ? 2x

exercice 174 : Dans la multiplication 2 001 4 73 9 750 73a a  , a représente un chiffre inconnu. Lequel ?

exercice 175 : Calculer le plus rapidement possible :

* 31  * 2 22 3 2 3    * Un millième de 6 32 5 = * 3

7,2

10 

* La différence des carrés des nombres 5 et 8 augmentée du double du produit de ces deux nombres.

* Le carré de la somme de 3 et de 1.

* Quel est le nombre dont le carré est 0,000 121 ?

* 2 20,08 0,02  * Le cube de −1 moins le cube de −4= *   1

1 

 = * 2 22 2  

3

5 4

15

20

12

x

36

54

24

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