Travaux pratiques sur l'analyse numérique – 1, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et optimisation
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

Travaux pratiques sur l'analyse numérique – 1, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et optimisation

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Méthode mathématiques pour l'analyse numérique – TP – 1 Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Donner les coordonnées des sommets, Décrire la construction du point M.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Métropole groupe 4 1 juin 1994 \

EXERCICE 1 5 points

Enseignement de spécialité

Le plan P est muni du repère orthonormal direct (

O ; −→ e1 ,

−→ e2

)

(unité graphique :

2 cm). On désigne par E l’ellipse d’équation :

x2

9 +

y2

4 = 1;

s est la similitude de centre O, d’angle π

4 , de rapport

1 p 2 , et E1 est l’image de E par

s.

1. a. Donner les coordonnées des sommets et foyers de E et placer ces . points dans P.

b. L’un des foyers de E est F et ∆ est la directrice qui lui est associée.

On désigne par M un point de E et par H son projeté orthogonal MF sur

∆. Donner la valeur de MF

MH .

2. On note ∆1, F1, H1, M1 les images respectives de E , F, H , M par la similitude s.

a. Montrer que pour tout point M de E on a MF

MH =

M1F1 M1H1

.

b. Prouver que E1 est l’ellipse de foyer F1 ayant ∆1 pour directrice associée

et d’excentricité

p 5

3 . Quels sont les deux axes de E1 ?

3. a. z et z1 sont les affixes respectives deM et de son imageM1 par s ;montrer

que z1 = 1

2 (1+ i)z et que siM 6=O, le triangle OMM1 est rectangle isocèle

en M1.

Décrire la construction du pointM1 à partir d’un pointM donné distinct de O.

b. Construire sur la figure du 1. a, les foyers et sommets de E1 ; terminer la figure en dessinant E et E1 avec des couleurs différentes,

EXERCICE 2 5 points

Enseignement obligatoire

Les questions 1. et 2. sont indépendantes

Dans cet exercice, les résultats demandés seront donnés sous forme de fractions

irréductibles

Une urne contient quinze boules indiscernables au toucher dont une noire, cinq blanches et neuf rouges. On tire simultanément au hasard trois boules de l’urne.

1. X est la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches figurant dans le tirage,

a. Donner la loi de probabilité de X.

1. Aix-Marseille, Corse, Montpellier, Nice, Toulouse

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

b. Calculer l’espérance mathématique de X,

c. Donner la fonction de répartition F de la variable aléatoire X.

2. a. Calculer la probabilité des évènements suivants :

E : « parmi les trois boules du tirage figurent la noire et au moins une rouge ».

F : « le tirage est tricolore ».

b. Calculer la probabilité que le tirage soit tricolore sachant qu’y figurent la boule noire et aumoins une boule rouge.

EXERCICE 2 5 points

Enseignement obligatoire

Ce sujet peut être traité par tous, mais, compte tenu des difficultés, il concerne es- sentiellement les élèves qui suivent l’enseignement de spécialité.

Première partie

Le plan P est muni d’un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

(unité graphique : 3 cm).

L’objet de cette partie est l’étude d’une fonction f .

1. On considère la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par

f (0)= 1 et f (x)= ln(1+ x)

x pour x > 0.

Montrer que f est continue.

2. a. Étudier le sens de variation de la fonction g définie sur [0 ; +∞[ par :

g (x)= ln(1+ x)− (

xx2

2 +

x3

3

)

;

Calculer g (0) et en déduire que sur R+, ln(1+ x)6 xx2

2 +

x3

3 .

b. Par une étude analogue, montrer que si x> 0, alors ln(1+ x)> xx2

2 .

c. Établir que pour tout x strictement positif on a :

− 1

2 6

ln(1+ x)− x x2

6− 1

2 +

x

3 .

En déduire que f est dérivable en zéro et que f ′(0)=− 1

2 .

3. a. Soit h la fonction définie sur [0 ; +∞[ par

h(x)= x

1+ x − ln(1+ x).

Étudier son sens de variation et en déduire le signe de h sur [0 ; +∞[.

b. Montrer que sur [0 ; +∞[, f ′(x)= h(x)

x2 .

c. Dresser le tableau de variations de f en précisant la limite de f en +∞.

d. OndésigneparC la représentation graphiquede f dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

Construire la tangente T à C au point d’abscisse 0.

Deuxième partie

L’objet de cette partie est la résolution de l’équation f (x)= x.

Métropole groupe 3 2 juin 1994

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

1. a. Démontrer que l’équation f (x)= x admet uneunique solution sur ]0 ; +∞[

que l’on notera α. Montrer que α∈ [

1

2 ; 1

]

.

b. Montrer que si x ∈ [

1

2 ; 1

]

, alors f (x) ∈ [

1

2 ; 1

]

.

2. h étant la fonction définie au 3. a. de la première partie, montrer que si

x ∈ [

1

2 ; 1

]

alors :

h(1)6h(x)6 h

(

1

2

)

et que |h(x)|6 0,2.

En déduire que sur l’intervalle

[

1

2 ; 1

]

, on a ∣

f ′(x) ∣

∣6 0,8.

3. Soit u la suite définie par u0 = 1 et un+1 = f (un ) pour tout entier n.

a. Montrer que pour tout entier naturel n on a : 1

2 6un 6 1.

b. Montrer que pour tout entier naturel n on a |un+1−α|6 0,8 |un α|.

c. Montrer que pour tout entier naturel n on a : |un α|6 1

2 × (0,8)n .

En déduire que la suite u converge vers α.

d. En utilisant l’inégalité |un α| 6 1

2 × (0,8)n , à partir de quelle valeur n0

de n est-on sûr que |un α|6 10−3 ? Calculer un0 à l’aide de votre calculatrice.

Métropole groupe 3 3 juin 1994

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