Travaux pratiques sur l'analyse numérique – 2, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

Travaux pratiques sur l'analyse numérique – 2, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation

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Méthode mathématiques pour l'analyse numérique – TP – 2. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les coordonnées du pointMdans le repère, Placer approximativement sur le dessin les courbes (C) et (C0).
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat S Métropole septembre 1994 \

EXERCICE 1 4 points

Dans un plan on donne une droite (∆) et un point O n’appartenant pas à (∆). On note H le projeté orthogonal de O sur (∆). Pour la figure on prendra OH = 4 cm. Un point P décrit la droite (∆). La perpendiculaire en P à (∆) et la perpendiculaire en O à la droite (OP) se coupent en un point M ; soit I le milieu de [PM].

1. Montrer que IO = IP et en déduire que, lorsque P décrit (∆), le point I appar- tient à une parabole (C ) dont on précisera le foyer et la directrice.

2. On considère un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

où −−→ OH =

−→ ı .

a. On note (x ; y) les coordonnées du point M dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

Calculer le produit scalaire −−→ OM ·

−−→ OP et en déduire une équation carté-

sienne de l’ensemble (C ′) décrit par le point M quand P décrit (∆).

b. Montrer que (C ′) est une parabole dont on précisera le foyer O′ et la di- rectrice (∆′).

3. Placer approximativement sur le dessin les courbes (C ) et (C ′).

EXERCICE 2 4 points

Dans le planorienté, ondonneun triangle ABCdirect (c’est-à-dire que l’angle orienté (

−−→ AB ,

−−→ AC

)

admet une mesure comprise entre 0 et π).

ACDE est le carré tel que (

−−→ AC ,

−→ AE

)

=

π

2 [2π] ; on désigne son centre par O.

AFGB est le carré tel que (

−→ AF ,

−−→ AB

)

=

π

2 [2π] ; on désigne son centre par O′.

I est le milieu de [BC]. J est le milieu de [EF].

1. Enutilisant la rotationde centre A et d’angle π

2 démontrer que l’on a :

(

−→ FC ,

−→ BE

)

=

π

2 [2π] et FC = BE.

2. En déduire que le triangle OIO′ est un triangle rectangle en I et isocèle.

3. Démontrer que JO′IO est un carré.

PROBLÈME 12 points

Le plan est rapporté au repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

(unité graphique 2 cm).

Partie A

1. Soit f la fonction numérique définie sur R par

f (x)= 1+ x−ex

et soit C sa courbe représentative dans le repère (

O, −→

ı , −→

)

.

a. Établir le tableau de variation de f en précisant les limites de f en−∞ et +∞.

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

b. Montrer que la droite∆ d’équation y = x+1 est asymptote à la courbeC et préciser la position deC par rapport à ∆.

c. Tracer la droite∆ et la courbeC . 2. a. Déterminer les positions relatives deC et de la droite d’équation y = x

2.

b. Calculer l’aire A de la partie E du plan délimitée par la courbe C et les droites d’équations respectives x = 0 et y = x−2.

Partie B

Dans cette partie, à tout point M du plan, de coordonnées (x ; y), on associe son affixe z = x+ iy . Soit T l’application du plan dans lui-même qui, à tout point M d’affixe z, associe le point M1 d’affixe z1 tel que z1 = (−1− i)z+1.

1. Donner la nature de T et déterminer ses éléments caractéristiques.

2. Calculer les coordonnées x et y du pointM en fonction des coordonnées x1 et y1 du point M1.

3. Déterminer les équations des transformées par T des droites d’équations res- pectives x = 0 et y = x−2.

4. Soit f1 la fonction numérique définie sur ]−∞ ; 2[ par

f1(x)= 1− x−2ln(2− x)

et soit C1 sa courbe représentative dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

. Soit M un point

deC et M1 = T (M). Montrer que l’abscisse x1 de M1 est strictement inférieure à 2 et que M1 est sur la courbeC1. Inversement, si M1 est sur la courbe C1 montrer qu’il existe un point M de la courbeC tel que M1 = T (M). En déduire que C1 est l’image de C par T .

Partie C

1. Établir le tableau de variations de f1 en précisant les limites de f1 en −∞ et 2. On pourra remarquer que :

f1(x)= (2− x)

[

1− x

2− x −2

ln(2− x)

2− x

]

.

2. Soit g la fonction numérique définie sur ]−∞ ; 2[ par :

g (x)= 2x−ex +2ln(2− x)= f (x)− f1(x).

Calculer g ′(x) et g ′′(x).

3. a. Déterminer le sens de variation de g ′ sur ]−∞ ; 2[. Calculer g ′(0).

b. Établir le tableau de variation de g sur ]−∞ ; 2[ en précisant les limites de g en −∞ et 2.

c. En déduire que l’équation g (x) = 0 admet exactement deux solutions α et β dans ]−∞ ; 2[ (α<β). Vérifier que −0,9<α<−0,8 et 0,6<β< 0,7.

d. Préciser les positions relatives des courbes C etC1.

4. Tracer la courbeC1.

5. Onappelle E1 la partie du plan délimitée par la courbeC1 et les droites d’équa- tions respectives y = 1− x et x =−1. On admet que la partie E est transformée en E1 par T . Calculer l’aire A1 de la partie E1.

Métropole 2 septembre 1994

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