Travaux pratiques sur l'analyse numérique – 3, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

Travaux pratiques sur l'analyse numérique – 3, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation

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Méthode mathématiques pour l'analyse numérique – TP – 3. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: calculer l’intégrale, Calculer les racines complexes.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Nouvelle-Calédonie \ novembre 1994

EXERCICE 1 points

On se propose de calculer l’intégrale :

J = ∫1

0

xex

(1+ex )3 dx.

1. Calculer les deux intégrales :

A = ∫1

0

ex

1+ex dx

B = ∫1

0

ex

(1+ex )2 dx

2. Déterminer trois nombres réels a, b et c tels que pour tout nombre réel t po- sitif ou nul on ait :

1

(1+ t)2 = a+

bt

1+ t +

ct

(1+ t)2 (1)

3. En posant t = ex dans l’égalité (1), calculer l’intégrale :

I = ∫1

0

1

(1+ex )2 dx.

4. a. À l’aide d’une intégration par parties exprimer J en fonction de I .

b. En déduire la valeur de J . À l’aide de la calculatrice donner une valeur approchée de J à 10−2 près.

EXERCICE 2 points

1. Calculer les racines complexes z1 et z2 de l’équation :

z2− 1

5 z+

1

10 = 0.

z1 désignant la racine de partie imaginaire positive.

2. Soit θ le nombre réel de l’intervalle [

0 ; π

2

[

tel que tanθ = 3.

Montrer que z1 et z2 sont égaux respectivement à cosθ+ i sinθ

10cosθ et

cosθ− i sinθ 10cosθ

.

3. On pose, pour tout entier naturel n,

vn = zn1 + z n 2 .

Montrer que vn est un nombre réel que l’on calculera en fonction de n et θ.

4. Montrer que 10cosθ = p 10. Majorer |vn |, puis en déduire que la suite (vn) est

convergente et déterminer sa limite.

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

EXERCICE 3 points

On donne sur un cercle quatre points distincts A, B, C, D (C et D n’étant pas diamé- tralement opposés). Le cercle de centre D passant par A recoupe la droite (CA) en A′. Le cercle de centre D passant par B recoupe la droite (CB) en B′. Le but de l’exercice est de prouver qu’il existe une rotation transformant A en A′ et B en B′ et de déterminer ses éléments caractéristiques.

1. On note H et K les projetés orthogonaux de D sur (CA) et (CB). Comparer les

angles (−−→ DA ,

−−→ DA ′

)

et (−−→ DA ,

−−→ DH

)

.

Établir une propriété analogue pour (−−→ DB ,

−−→ DB ′

)

.

2. Montrer que : (−−→ DA ,

−−→ DH

)

= (−−→ AD ,

−−→ AC

)

+ π

2 (modulo π) et :

(−−→ DB ,

−−→ DK

)

= (−−→ BD ,

−−→ DC

)

+ π

2 (moduloπ).

3. Qu’en déduit-on pour (−−→ DA ,

−−→ DA′

)

et (−−→ DB ,

−−→ DB′

)

?

On note θ une mesure de (−−→ DA ,

−−→ DH

)

modulo 2π.

Conclure.

PROBLÈME points

Le but du problème est de résoudre une équation différentielle et d’étudier, sur [0 ; +∞[, une solution particulière de cette équation.

Partie A

1. Résoudre l’équation différentielle (E1) y ′′+4y ′+4y = 0. 2. On considère l’équation différentielle (E2) y ′′+4y ′+4y = 4x−16.

a. Montrer que la fonction g définie sur R par g (x) = x −5 est solution de (E2).

b. Montrer qu’une fonction f est solution de (E2) si et seulement si f g est solution de (E1) .

Déduire de 1. et de 2. b. l’ensemble des solutions de (E2) .

Déterminer la fonction f solution de (E2) qui vérifie :

f (0)=−2 et f ′(0)=−3.

Partie B

On considère la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par :

f (x)= (2x+3)e−2x + x−5.

On appelle C la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

(unité 1 cm).

1. Déterminer la fonction f ′ dérivée de la fonction f , puis la fonction f ′′ dérivée de f ′.

2. Étude de f ′.

a. Montrer que pour tout x de l’intervalle [0 ; +∞[, f ′′(x) est strictement positif.

Nouvelle-Calédonie 2 novembre 1994

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

b. Montrer que la limite de xe−2x en+∞ est 0. En déduire la limite de f ′(x) quand x tend vers +∞. Donner le tableau de variation de f ′ sur [0 ; +∞[.

c. Montrer que l’équation f ′(x)= 0 admet une solutionunique sur [0 ; +∞[. On la note α.

Justifier que 16α6 1,1 à l’aide de la calculatrice.

d. En déduire le signe de f ′(x) sur [0 ; +∞[. 3. Étude de f

a. Dresser le tableau de variation de f .

Quelles sont les valeurs décimales approchées par défaut de f (1) et f (1,1) données par la calculatrice ?

b. Tracer la droite∆ d’équation y = x−5 et C .

Partie C

Soit F la primitive qui s’annule en zéro de la fonction f définie dans la partie B. On se propose de calculer F par deux méthodes différentes.

1. Montrer que pour tout x de l’intervalle [0 ; +∞[, on a :

f ′(x)+4 f (x)+4F (x)= 2x2−16x−11.

En déduire une expression de F (x).

2. Calculer F (x) à l’aide d’une intégration par parties.

Nouvelle-Calédonie 3 novembre 1994

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