Travaux pratiques sur l'analyse numérique – 4, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et optimisation
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

Travaux pratiques sur l'analyse numérique – 4, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et optimisation

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Méthode mathématiques pour l'analyse numérique – TP – 4. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Calculer l’espérance de X, Calculer le module et un argument du nombre complexe, Construire C et les tangentes int...
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Polynésie juin 1994 \

EXERCICE 1 points

Dans une population donnée, 56% des familles occupent une maison individuelle. Parmi elles, 78% en sont propriétaires. Parmi les familles n’occupant pas une maison individuelle, 24% sont propriétaires de leur logement.

1. On choisit une famille au hasard dans la population considérée. Quelles sont :

a. la probabilité pour qu’elle soit propriétaire de son logement ?

b. la probabilité pour qu’elle habite unemaison individuelle sachant qu’elle n’en est pas propriétaire ?

2. On interroge cinq familles au hasard dans la population considérée. On sup- pose que les choix successifs sont indépendants. On appelle X le nombre de familles propriétaires de leur logement.

a. Quelle est la loi de probabilité de X ? Donner la valeur de P (X = k) en fonction de k.

Calculer une valeur numérique approchée avec trois décimales deP (X = k) pour k de 0 à 5.

b. Calculer l’espérance de X .

EXERCICE 2 points Enseignement obligatoire

Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

.

On considère dans P les points A, B et C d’affixes respectives :

zA = 1+ i p 3, zB =−1− i et zC =−

(

2+ p 3 )

+ i.

1. a. Calculer le module et un argument du nombre complexe : W = zC− zB zA− zB

.

b. En déduire la nature du triangle ABC.

2. a. Écrire le nombre complexe zA

zB sous forme algébrique.

b. Écrire les nombres zA et zB sous forme trigonométrique. En déduire la

forme trigonométrique de zA

zB .

c. À l’aide des deux questions précédentes donner les valeurs exactes de

cos π

12 et sin

π

12 .

EXERCICE 2 points Enseignement de spécialité

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct (

O, −→ ı ,

−→

)

(unité 1 cm).

1. Déterminer les racines cubiques dans C de 216 et les mettre sous forme expo- nentielle.

On appelle A, B et C les images de ces racines (on notera A le point dont l’affixe est réelle, et B celui dont l’affixe a une partie imaginaire positive). Placer ces points dans le plan.

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

2. Soit les points D, E et F d’affixes respectives 3+ i p 3, −3+ i

p 3 et −2i

p 3.

a. Montrer que D appartient à la droite (AB). Placer D.

b. Sur quelle droite se trouve E ? Placer E.

c. Montrer que F appartient à la droite (AC). Placer F.

3. Montrer qu’il existe une similitude directe s unique transformant A en D et B en E et donner son expression complexe. Déterminer les éléments caractéristiques de s. Vérifier que s transforme C en F.

PROBLÈME points

Soit f la fonction numérique de variable réelle définie sur [0 ; +∞[ par

{

f (x) = x3(1− lnx) si x > 0 f (0) = 0.

On désigne par C sa courbe représentative dans le plan P rapporté au repère or-

thonormal (

O, −→ u ,

−→ v

)

. Unité graphique : 4 cm.

PARTIE A Étude de f

1. a. Montrer que f est continue en 0. (On rappelle que lim x→0

x lnx = 0.)

b. Calculer lim x→0

f (x)

x .

Quelle est l’interprétation géométrique de ce nombre ?

c. Déterminer la limite de f en +∞.

2. a. Étudier les variations de f et dresser son tableau de variations.

b. Donner une équation de la tangente àC en chacun des points d’abscisse 1 et e.

c. Construire C et les tangentes introduites en b.

PARTIE B Étude d’une aire

Pour tout entier naturel n non nul on pose

In = ∫e

1/n f (t)dt .

1. a. Quelle est l’interprétation géométrique de In ?

b. Sans calculer In étudier le sens de variation de la suite (In

2. a. Déterminer l’expression de In en fonction de n ; on pourra utiliser une intégration par parties.

b. En déduire la limite de (In ) lorsque n tend vers +∞.

PARTIE C Résolution de l’équation f (x) = x

L’équation f (x)= x admet les deux solutions évidentes 0 et 1. Le but est à présent de montrer qu’il existe une autre solution α, avec α> 1. On pose

g (x)= x2(1− lnx) pour x ∈]1 ; +∞[.

1. Étudier les variations de g .

2. Montrer que l’équation g (x) = 1 d’inconnue x admet une solution α et une seule, dont on donnera un encadrement décimal à 10−2 près.

3. Montrer queα est aussi l’unique solution appartenant à ]1 ; +∞[ de l’équation f (x)= x.

Polynésie 2 juin 1994

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