Travaux pratiques sur l'analyse numérique – 5, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et optimisation
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

Travaux pratiques sur l'analyse numérique – 5, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et optimisation

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Méthode mathématiques pour l'analyse numérique – TP – 5. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Déterminer les racines cubiques, Vérifier que s transforme C en F.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat S Polynésie septembre 1994 \

EXERCICE 1 4 points

Dans une population donnée, 56% des familles occupent une maison individuelle. Parmi elles, 78% en sont propriétaires. Parmi les familles n’occupant pas une maison individuelle, 24% sont propriétaires de leur logement.

1. On choisit une famille au hasard dans la population considérée. Quelles sont :

a. la probabilité pour qu’elle soit propriétaire de son logement ?

b. la probabilité pour qu’elle habite unemaison individuelle sachant qu’elle n’en est pas propriétaire ?

2. On interroge cinq familles au hasard dans la population considérée. on sup- pose que les choix successifs sont indépendants.

On appelle X le nombre de familles propriétaires de leur logement.

a. Quelle est la loi de probabilité de X ? Donner la valeur de P (X = k) en fonction de k.

Calculer une valeur numérique approchée avec trois décimales deP (X = k) pour k de 0 à 5.

b. Calculer l’espérance de X .

EXERCICE 2 4 points Enseignement obligatoire

1. On considère l’équation d’inconnue complexe z :

z3+5z2+11z+15= 0. (E )

a. Montrer qu’il existe trois réels a,b et c tels que, pour tout nombre com- plexe z, z3+5z2+11z+15= (z+3)

(

az2+bz+c )

.

Déterminer a,b et c.

b. En déduire les solutions dans C de l’équation (E ).

2. Le plan complexe est rapporté è un rezpère orthonormé direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

.

Les points A, B et D du plan ont pour affixes respectives

zA =−3, z1 =−1+2i et z2 =−1−2i.

a. Simplifier l’expression du quotient z1+3

z2+3 .

b. En déduire la nature du triangle ABD.

c. Déterminer l’affixe du point C tel que ABCD soit un carré.

EXERCICE 2 4 points Enseignement de spécialité

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct (

O, −→ ı ,

−→

)

. (unité 1 cm).

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

1. Déterminer les racines cubiques dans C de 216 et les mettre sous forme expo- nentielle.

On appelle A, B et C les images de ces racines (on notera A le point dont l’affixe est réelle, et B celui dont l’affixe a une partie imaginaire positive).

Placer ces points dans le plan.

2. Soit les points D, E et F d’affixes respectives 3+ i p 3, −3+ i

p 3 et −2i

p 3.

a. Montrer que D appartient à la droite (AB). Placer D.

b. Sur quelle droite se trouve E ? Placer E.

c. Montrer que F appartient à la droite (AC). Placer F.

3. Montrer qu’il existe une similitude directe s unique transformant A en D et B en E et donner son expression complexe.

Déterminer les éléments caractéristiques de s.

Vérifier que s transforme C en F.

Polynésie 2 septembre 1994

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

PROBLÈME 12 points

Partie A

Soit la fonction g définie sur ]−1 ; +∞[ par

g (u)= ln(1+u)− 2u

1+u .

On appelle (C ) la courbe représentative de g dans un repère orthononné (

O, −→ ı ,

−→

)

(unité 2 cm).

1. Étudier les variations de g .

2. Déterminer les limites de g en +∞ et en −1 (pour cette dernière limite, on pourra poser v = 1+u).

3. Montrer qu’il existe un réel α et un seul dans l’intervalle [1 ; +∞[ tel que

g (α)= 0.

Donner un encadrement d’amplitude 10−1 de α.

4. Tracer la tangente en O à (C ), puis la courbe (C ).

5. a. Déterminer deux réels a et b tels que, pour tout réel u appartenant à ]−1 ; +∞[,

u

1+u = a+

b

1+u .

b. Calculer l’intégrale ∫t

0 g (u) du t appartient à ]−1 ; +∞[. (on pourra,

au cours du calcul, utiliser une intégration par parties).

c. Montrer que l’aire, exprimée en cm2 , dudomaine compris entre la courbe (C ), l’axe des abscisses et les droites d’équation u = 0 et u =α est égale à 4α(α−3)

α+1 .

En utilisant 3., donner un encadrement de cette aire.

Partie B

Soit la fonction f définie sur R par

f (x)= e−x ln (

1+e2x )

.

1. Montrer que f est dérivable sur R. Calculer f ′(x) et comparer les signes de f ′(x) et de g

(

e2x )

.

Préciser, en fonction de αa, la valeur de x pour laquelle f ′(x)= 0.

2. Déterminer la limite de f en −∞ (on pourra poser t = e2x ).

3. Déterminer la limite de f en+∞ (onpourra utiliser l’égalité 1+e2x = e2x (

1+e−2x )

.

4. Dresser le tableau de variations de f .

5. Montrer que le maximum de f est égal à 2 p α

1+α .

Donner une valeur approché de cemaximum en utilisant la valeur approchée par excès de α trouvée en partie A 3.

6. Tracer la courbe représentative de f dans un repère (

O, −→ u ,

−→ v

)

(unités : 2 cm

sur l’axe des abscisses et 10 cm sur l’axe des ordonnées).

Polynésie 3 septembre 1994

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