Travaux pratiques sur l'analyse numérique – 6, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et optimisation
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

Travaux pratiques sur l'analyse numérique – 6, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et optimisation

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Méthode mathématiques pour l'analyse numérique – TP – 6. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: déduire les variations de h, Montrer qu’il existe une fonction f et une seule.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Pondichéry avril 1994 \

EXERCICE 1 points Enseignement obligatoire

On considère, dans le plan orienté, un triangle OAB rectangle isocèle tel que :

OA = OB = a et (

−−→ OA ,

−−→ OB

)

=

π

2 . Pour la figure, on prendra a = 5 cm.

On note I le milieu du segment [AB].

SoitM un point de la droite (OA),λ le réel tel que −−→ MA =λ

−−→ OA et soitN le point défini

par −−→

NB =−λ −−→

OB .

1. Dans cette question, M est différent de A.

a. Déterminer une mesure en radians de l’angle (

−−→ MA ,

−−→ NB

)

.

b. On considère la rotation r qui transforme A en B et M en N .

Préciser l’angle de cette rotation.

SoitΩ son centre. Montrer que OAΩB est un carré.

2. On note J le milieu de [MN] et P le point tel que OMPN soit un rectangle.

a. Déterminer l’angle et le rapport de la similitude s de centre Ω qui trans- forme M en J .

b. Déterminer l’ensemble E des points J lorsque M décrit la droite (OA).

En déduire l’ensemble F des points P lorsque M décrit la droite (OA).

Représenter E et F .

EXERCICE 2 points Enseignement obligatoire

Soit h la fonction numérique définie sur R par

h(x)= (x−2)ex + x

et (C ) sa représentation graphique dans un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

.

1. Calculer h′, puis h′′.

Déterminer le sens de variation de h′, puis le signe de h′.

En déduire les variations de h.

2. Déterminer les limites de h en −∞ et +∞. Dresser le tableau de variations de h.

3. a. Montrer que la droite (D) d’équation y = x est une asymptote à (C ). pré- ciser l’intersection de (C ) et (D) et leurs positions relatives.

b. Préciser la tangente (T) à (C ) au point d’abscisse 0.

Tracer (C ), (D) et (T) dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

PROBLÈME points

On se propose de trouver une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle ]0 ; +∞[,

s’annulant pour x = 1 et vérifiant la propriété :

pour tout x > 0, x f ′(x)−3 f (x)= 3lnx (E )

où ln désigne la fonction logarithme népérien.

1. Trouver toutes les fonctions polynômes P du troisième degré telles que, pour tout x réel,

xP ′(x)−3P (x)= 0.

2. Soit une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle ]0 ; +∞[ telle que

f (1)= 0 ; soit h la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par la relation

f (x)= x3h(x).

a. Calculer h(1).

b. Calculer f ′(x) en fonction de h′(x) et de h(x).

c. Montrer que f vérifie la propriété (E ) si et seulement si, pour tout x >

0, h′(x)= 3

x4 lnx.

d. On suppose que f vérifie la propriété (E ).

Montrer que h est définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par h(x)=

x

1

3

t4 ln tdt .

3. Montrer qu’il existe une fonction f et une seule, solution du problème posé, et en donner l’expression.

Pondichéry 2 juin 1994

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