Travaux pratiques sur l'analyse numérique – 7, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et optimisation
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

Travaux pratiques sur l'analyse numérique – 7, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et optimisation

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Méthode mathématiques pour l'analyse numérique – TP – 7. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Tracer les courbes représentatives C1 de la fonction S1 et C de la fonction S. Démontrer que A et B convergent ver...
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat S Sportifs de haut-niveau \ septembre 1994

EXERCICE 1 4 points Enseignement de spécialité

1. On considère dans le plan un cercle C de centre O et de rayon R.

Soit M un point du plan et (D) une droite passant par M , et coupant le cercle C en deux points A et B .

Soit A′ le symétrique de A par rapport à O.

Établir que −−−→ MA ·

−−−→ MB =

−−−→ MA ·

−−−→

MA′ , et en déduire que −−−→ MA ·

−−−→ MB =MO2−R2.

2. Soit EFGH un quadrilatère inscrit dans un cercle, et dont les diagonales (EG) et (FH) se coupent en un point I.

Démontrer la relation :

−→ IE ·

−→ IG =

−→ IF ·

−−→ IH .

3. Soit C1 et C2 deux cercles de centres O1 et O2 distincts, de rayons R1 et R2. Déterminer l’ensemble E des points M du plan tels que

MO21−R 2 1 =MO

2 2−R

2 2 .

Représenter C1, C2 et E pour R1 = 3 cm, R2 = 2 cm et O1O2 = 6 cm.

EXERCICE 2 4 points

Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ u ,

−→ v

)

.

On désigne par s l’application qui à tout point M de P , de coordonnées (x ; y) as- socie le point M ′ de coordonnées (x′ ; y ′) tel que :

{

x′ = −xy +2 y ′ = xy −1.

1. Déterminer l’affixe z ′ de M ′ en fonction de l’affixe z deM .

2. Démontrer que s est une similitude plane directe. Préciser son angle, son rap- port et son centre I.

3. Soit g l’application qui à tout point M de P associe l’isobarycentre G des points M ,M ′ = s(M) et M ′′ = s(M ′).

a. Calculer, en fonction de l’affixe z de M , les affixes des points M ′′ etG.

b. Démontrer que g est une similitude plane directe. Quel est son centre ?

c. Déterminer l’affixe du point M0 tel que g (M0)) soit le point O.

Reporter sur une figure les points M0,M ′0,M ′′

0 correspondants, ainsi que le point I, centre de la similitude s.

EXERCICE 2 4 points

Des enquêtes concernant les véhicules circulant en France ont été effectuées. Elles ont montré que :

• 12% des véhicules ont des freins défectueux ;

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

• parmi les véhicules ayant des freins défectueux, 20% ont un éclairage défec- tueux ;

• parmi les véhicules ayant de bons freins, 8% ont un éclairage défectueux. Dans l’espoir d’améliorer la sécurité routière, la gendarmerie effectue, au hasard, des contrôles de véhicules. OnappelleE l’évènement : « le véhicule contrôlé a un bonéclairage» etE son contraire, F l’évènement : « le véhicule contrôlé a de bons freins » et F son contraire. On donnera, pour chaque résultat, l’approximation décimale par défaut à 10−4 près.

1. Donner les probabilités de F , de E sachant que F est réalisé, puis de E sachant que F est réalisé.

2. a. Calculer la probabilité pour qu’un véhicule contrôlé ait des freins défec- tueux et un éclairage défectueux.

b. Calculer la probabilité pour qu’un véhicule contrôlé ait de bons freins et un éclairage défectueux.

c. En déduire la probabilité pour qu’un véhicule contrôlé ait un éclairage défectueux.

3. Sachant qu’un véhicule contrôlé a un éclairage défectueux, quelle est la pro- babilité pour qu’il ait des freins défectueux ?

4. a. Montrer que la probabilité pour qu’un véhicule contrôlé soit en bon état (c’est-à-dire ait de bons freins et un bon éclairage) est 0,8096.

b. Au cours d’un contrôle, les gendarmes ont arrêté 20 véhicules. Quelle est la probabilité pour qu’il y ait, parmi ces véhicules, au moins un véhicule qui ne soit pas en bon état ?

PROBLÈME 12 points

Partie A

Soit α un nombre réel appartenant à l’intervalle [0 ; 2π]. On considère la suite géo- métrique u de premier terme u0 = cosα et de raison sinα.

1. Exprimer un en fonction de n, et déterminer la limite de un lorsque n tend vers +∞.

2. Soit la suite s de terme général sn =u0+u1+·· ·+un .

Exprimer sn en fonction de n et déterminer la limite de sn lorsque n tend vers +∞.

Partie B

Le plan est muni d’un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

, d’unité 4 cm.

1. Tracer, sans justification, la courbe C0 représentative de la fonction S0 définie

sur

[

3π

2 ; 2π

]

par S0(x)= cosx.

2. Soit S1 la fonction définie sur

[

3π

2 ; 2π

]

par

S1(x)= cosx+cosx sinx.

Calculer la dérivée de S1 et exprimer S ′1(x) comme fonction de sinx.

En déduire le signe de S ′1(x) et les variations de S1 sur

[

3π

2 ; 2π

]

.

Sportifs de haut-niveau 2 septembre 1994

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

3. Soit S la fonction définie sur

[

3π

2 ; 2π

]

par

S(x)= cosx

1− sinx .

Calculer la dérivée de S ; en déduire les variations de S sur

[

3π

2 ; 2π

]

.

4. Démontrer pour x

[

3π

2 ; 2π

]

les inégalités

S1(x)6 S(x)6 S0(x).

Tracer les courbes représentatives C1 de la fonction S1 et C de la fonction S.

Partie C

Pour tout nombre entier naturel n, on considère la fonction Sn définie sur [0 ; 2π] par

Sn(x)= cosx (

1+ sinx+·· ·+ sinn x )

,

et on pose

In =

∫2π

3π 2

Sn(x)dx.

1. Calculer I0, I1 ainsi que I = ∫2π

3π 2

S(x)dx.

Vérifier que I1 6 I 6 I0.

Comment les inégalités peuvent-elles être illustrées graphiquement ?

2. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a (-I)n+ 1

In+1− In = (−1)n+1

n+2 .

En déduire que In = 1− 1

2 +

1

3 +·· ·+

(−1)n+1

n+2 .

3. Soit les suites A et B de termes généraux An = I2n et Bn = I2n+1. Démontrer que :

a. la suite A est décroissante et la suite B est croissante ;

b. la suite de terme général An Bn converge vers 0.

4. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n et pour tout réel x apparte-

nant à

[

3π

2 ; 2π

]

on a :

S(x)−Sn(x)= (sinx)n+1S(x), puis que :

S2n+1(x)6 S(x)6 S2n(x).

b. En déduire que, pour tout entier naturel n,

Bn 6 I 6 An .

Démontrer que A et B convergent vers I .

Sportifs de haut-niveau 3 septembre 1994

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