Travaux pratiques sur l’ensemble des complexes, Exercices de Mathématiques Appliqués. Ecole Supérieure d'Ingénieurs de Marseille

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Travaux pratiques de mathématique sur l’ensemble des complexes. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: lemodule et l’argument de chacune de ses racines, le groupe commutatif.
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[ Baccalauréat C Lille septembre 1970 \

EXERCICE 1

Dans l’ensemble des complexes, résoudre l’équation

Z 2− (

5+4i p 3 )

Z +9= 0.

Calculer le module et l’argument de chacune de ses racines Z ′ et Z ′′, puis le rapport Z

Z ′′ . (On appellera Z ′ la racine ayant le plus grand module.)

EXERCICE 2

On considère, dans un plan rapporté à un repère quelconque (

O, −→ ı ,

−→

)

, l’ensemble

des transformations ponctuelles T (a, b) : – à tout point M de coordonnées (x ; y), T (a, b) fait correspondre le point

M ′ (

x′ ; y ′ )

tel que

{

x′ = axby, y ′ = bx+ay,

les paramètres réels a et b étant liés par la condition a2+b2 = 1.

1. Montrer que T (a, b) est toujours bijective.

2. Montrer que, pour la loi de composition notée 0, l’ensemble de ces transfor- mations constitue un groupe commutatif.

On rappelle que, si T (a, b) transforme M en M ′ et si T (a′, b′) transforme M

en M ′′, alors

T (a′, b′)◦T (a, b)

transforme M enM ′′.

On précisera les paramètres caractéristiques de la transformation neutre et de la transformation symétrique de T (a, b).

EXERCICE 3

On considère l’application f définie par

z f

−−−→ z1 = z+1 z−1

Les ensembles d’où sont extraits z et z1 seront précisés au début de chaque ques- tion.

1. z et z1 étant des entiers relatifs, résoudre l’équation

z1 = 1+ 2

z−1 Il s’agit donc de trouver les couples (z, z1) solutions de cette équation.

2. z et z1 sont extraits du corps des nombres réels.

Construire la représentation graphique (H) de f dans un repère orthonormé (Oz, Oz1). La coordonnée z sera appelée abscisse.

Le baccalauréat de 1971 A. P. M. E. P.

a. Calculer l’aire limitée par la courbe (H), l’axe Oz et les droites d’équa- tions Z = 2 et Z = e.

b. Tracer la droite (D) d’équation z1 =−z. Soit P1 le point de (H) d’abscisse a1 6= 1. Par P1 on mène la parallèle à l’axe des z, qui coupe (D) en P′1. Par P

′ 1 on trace la parallèle à l’axe Oz1

qui coupe (H), en P2.

On recommence ensuite, à partir de P2, la construction faite à partir de P′1. On obtient ainsi P3. On continue de la sorte par le même procédé et l’on obtient, sur (H), une suite de points P1, P2, . . . , Pn , dont les abscisses, a1,a2, . . . ,an , constituent une suite de nombres réels.

Calculer a3, puis a5 ? Quelle remarque peut-on faire sur la suite (an) ?

Calculer alors le terme de cette suite dont l’indice est 343.

c. Onpose a1 = tgα. Trouver une expression simple de a2, puis de a3, de a4 et de a5 ? Retrouver la remarque faite au paragraphe b de la question 2.

3. Désormais z et z1 sont des nombres complexes (z 6= 1). On utilisera les notations suivantes :

z = x+ iy et z1 = X + iY .

Dans le plan complexe

m est l’image de z, M est l’image de z1, A est l’image de −1, B est l’image de +1.

T désigne la transformation qui, àm, fait correspondreM :

m T−−−→M .

a. Établir que T est involutive. Quel est le lieu dem pour que |z1| = p 2. (Les

barres verticales désignent le module de z1)

b. Quel est le lieu dem pour que

arg z1 =− π

4 +2?

c. Calculer X et Y en fonction de x et de y .

Déterminer ensuite x et y en fonction de X et Y . Quel est le lieu de M lorsquem décrit le cercle d’équation x2+ y2 = 1 ? Trouver le lieu deM lorsquem décrit la droite d’équation y = 2.

d. Donner z1−1 en fonction de z. Montrer que T est le produit commutatif d’une inversion et d’une symé- trie que l’on précisera. Retrouver alors les résultats de la question cl.

N. B.- Le candidat peut aborder la question 2 sans avoir traité la question 1 ; il peut égaiement commencer par la question 3, qui est indépendante de ce qui précède. Enfin, les subdivisions de la question 3 sont, dans une largemesure, indépendantes.

Lille 2 septembre 1970

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