Travaux pratiques sur l'entier relatif, Exercices de Mathématiques Appliqués

Travaux pratiques sur l'entier relatif, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Travaux pratiques de mathématique sur l’entier relatif. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la représentation graphique de la fonction f, les valeurs positives.
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[ Baccalauréat C Paris septembre 1970 \

EXERCICE 1

Considérons la fraction 2n−3 n+1

ou n est un entier relatif différent de −1. Pour quelles valeurs de n la fraction est-elle équivalente à un entier relatif ? Pour quelles valeurs de n est-elle irréductible ?

EXERCICE 2

1. On considère la fonction f qui, au nombre réel x, fait correspondre

y = f (x)= p

x Log x

(où Log désigne le logarithme népérien, de base e).

Déterminer le domaine de définition de f et étudier ses variations dans ce do- maine ; pour étudier f (x) quand x tend vers 0 par valeurs positives on pourra

poser x = 1

u2 .

Construire la représentation graphique de la fonction f dans le plan muni d’un repère orthonormé (Ox, Oy).

2. Trouver la fonction dérivée ϕ′ de la fonction ϕ définie par

ϕ(x)= x p

x Log x (x > 0).

En déduire une primitive de la fonction f , puis calculer l’intégrale définie

A(x)= ∫x

1 f (t)dt (x > 0).

Étudier la limite de A(x) quand x tend vers 0 par valeurs positives.

EXERCICE 3

Dans le plan muni d’un repère orthonormé (Ox, Oy), on considère le cercle (I) de centre I(0 ; +1) et de rayon 1.

1. Soit M(m ; a) un point de l’axe x′Ox, distinct du point O ; on lui associe la tangente δM (autre que x′Ox) menée de M au cercle (I).

Montrer que δM a pour équation

2mx + (

m2−1 )

y −2m2 = 0.

2. Soit M(m ; a) et M ′ (

m′ ; 0 )

deux points distincts de l’axe x′Ox, tous deux dis- tincts de O. Montrer que les droites δM et δM ′ associées sont sécantes si, et seulement si, m et m′ satisfont à la relation

mm′+1 6= 0.

Lorsque cette condition est réalisée, calculer les coordonnées (x ; y) du point, P, intersection des droites δM et δM ′ en fonction de m et m

′.

3. a. Inversement, étant donnéunpointP (x ; y) duplan, déterminer les points M et M ′ correspondants (c’est-à-dire tels que P soit l’intersection de δM et δM ′ .

Préciser dans quelle région du plan on doit choisir P pour que M et M

existent.

Le baccalauréat de 1971 A. P. M. E. P.

b. Soit A(a ; 0) un point fixé sur l’axe x′Ox, distinct de O. Supposons que les points M et M ′ varient sur l’axe x′Ox (sauf en O) de telle sorte que la di- vision (M ,M ′,O,A) soit harmonique ; montrer que A et P sont conjugués par rapport au cercle (I). En déduire l’ensemble (∆) des points P .

c. Trouver l’ensemble des points P lorsque M et M ′ varient de façon à véri- fier la relation

1

OM

1

OM ′ =

2

OA .

On exprimera le résultat en fonction du paramètre λ= 1

a2 −1.

On obtient la courbe (Γλ) d’équation

x2−λy2−2y = 0.

Discuter, suivant les valeurs de λ correspondant aux valeurs de a 6= 0, la

nature de la courbe (Γλ). Construire la courbe correspondant à λ = 1

2 .

Préciser ses éléments.

4. (Cette question peut être traitée géométriquement.) À tout point M(m ; a) distinct de O, on associe le cercle γM passant par O et tangent en M à δM .

a. La droite MI coupe ce cercle en M et N . Montrer que N est le milieu d’un des arcs (OM) de γM . En déduire que γM est un cercle tangent à la droite

(D) d’équation y = 1

2 .

Montrer que, réciproquement, un cercle passant par O et tangent à (D) est un cercle γM .

b. Deux cercles γM et γM ′ se coupent en O et R.

En utilisant l’inversion de pôle O et de puissance 1, trouver l’ensemble des points R lorsque M et M ′ varient sur x′Ox (sauf en O) de telle sorte que les cercles γM et γM ′ soient orthogonaux.

Paris 2 septembre 1970

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