Travaux pratiques sur l’équation cartésienne, Exercices de Mathématiques Appliqués

Travaux pratiques sur l’équation cartésienne, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Travaux pratiques de mathématique sur l’équation cartésienne. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le changement de coordonnées par translation des axes, l’angle aigu de l’axe transverse, l'asymptote.
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[ Baccalauréat C Nice septembre 1970 \

EXERCICE 1

EXERCICE 1

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on considère l’hyperbole (H) dont l’équation cartésienne est

3x2− y2+2l x l2 = a (l > 0).

1. Effectuer un changement de coordonnées par translation des axes, de ma- nière à écrire l’équation de (H) sous la forme

X 2

a2 −

Y 2

b2 −1= 0.

2. Calculer l’angle aigu de l’axe transverse et d’une asymptote.

EXERCICE 2

Soit la fonction f de la variable réelle x définie par x-1.

x f

−−−→ f (x)= x −1

|x|+1 .

1. Étudier la continuité de f pour la valeur a de la variable x.

2. La fonction f est-elle dérivable pour la valeur x = 0 de la variable ?

3. Étudier et construire la représentation graphique de f en repère orthonormé.

EXERCICE 3

On désigne – par Z l’ensemble des entiers relatifs et par C celui des nombres complexes, – par ρ et ρ⋆ les racines dans C, supposées non rationnelles, (ρ ∈Q), de l’équa-

tion

(1) z2−pz +q = 0,

p et q sont deux éléments donnés de Z, – parΩ le sous-ensemble deC formépar les nombresω= x+ρy obtenus lorsque

x et y sont des entiers relatifs [(x ; y)∈Z2].

Partie A

1. a. Montrer l’équivalence

x ∈Z, y ∈Z : x +ρy = 0 ⇐⇒ x = y = 0.

b. Montrer que la somme et le produit dans C de deux éléments de Ω sont des éléments deΩ et que les opérations internes ainsi définies donnent à Ω une structure d’anneau commutatif. (Les démonstrations seront aussi succinctes que possibles.)

Le baccalauréat de 1971 A. P. M. E. P.

2. Pour tout élément ω= x +ρy , on pose

ω⋆ = x +ρy.

Montrer que ω⋆ est élément deΩ.

3. Pour tout élément ω deQ on définit

N (ω)=ωω⋆ = f (x ; y).

a. Montrer que f (x ; y)= x2+px y +q y2.

Constater que N (ω) est un entier relatif.

b. Montrer que pour tout couple (ω1, ω2) d’éléments deQ on a

(ω1ω2) ⋆ =ω⋆1ω

2 .

En déduire que

N (ω1ω2)= N (ω1)N (ω2) ů

c. Montrer que

)= 0 ⇐⇒ ω= 0.

4. Soit ω un élément deQ. Montrer que le nombre complexe ω−1 est élément de Q si, et seulement si, N (ω) est égal à 1 ou à −1.

Montrer que, muni de la loi de multiplication de C, le sous-ensemble Q′ des éléments ω deQ tels que N (ω)= 1 est un groupe commutatif.

Partie B

Soit a,b,c et d des entiers relatifs. Soit l’application T de Z2 dans Z2 définie par T (x, y)= (X ; Y ), ,avec X = ax +by et Y = ex +d y . On se propose de rechercher a,b,c et d de façon que l’application T correspondante vérifie la condition

(2) ∀(x ; y) on a N (X +ρY )= N (x +ρy).

1. Calculer N (X +ρY ) en fonction de x, y,a,b,c,d ,ρ et q .

On considère les nombres α,α⋆,β et β⋆ définis par

α= a +ρc, β= b +ρd ,

α⋆ = a +ρc β⋆ = b +ρd .

Démontrer que

N (X +ρX )=ααx2+ (αβ+αβ⋆)x y +ββy2.

2. Trouver entre α, β, α⋆, βp et q un ensemble de relations nécessaire et suffi- sant pour que la condition (2) soit réalisée.

Vérifier qu’alors αβ et αβ⋆ sont les solutions de l’équation (1).

3. Dans le cas où la condition (2) est vérifiée et où αβ⋆ = ρ, calculer b et d en fonction de a,c,p et q sous forme de polynômes du premier degré par rapport à chacune des variables qu’ils contiennent.

Quelle est la valeur de f (b ;d) ?

Nice 2 septembre 1970

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