Travaux pratiques sur l’inéquation, Exercices de Mathématiques Appliqués

Travaux pratiques sur l’inéquation, Exercices de Mathématiques Appliqués

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Travaux pratiques de mathématique sur l’inéquation. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le logarithme népérien, la transformation ponctuelle.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Reims juin 1970 \

EXERCICE 1

1. Résoudre l’inéquation

Log|x| < 1,

où le symbole Log désigne le logarithme népérien.

2. On considère la fonction f d’une variable réelle définie comme suit

{

y = f (x)= 2xxLog|x| pour x 6= 0, f (0) = 0.

Étudier la continuité de f , puis ses variations (pour l’étude à l’origine, on

pourra poser x = 1

X , où X tend vers l’infini).

3. Dans un repère orthonormé, construire la courbe représentant les variations de f .

Préciser la symétrie, la tangente au point d’abscisse zéro, les branches infinies.

EXERCICE 2

Résoudre, dans l’ensemble C, l’équation

(

z− i

z+ i

)3

+

(

z− i

z+ i

)2

+

(

z− i

z+ i

)

+1= 0.

EXERCICE 3

Le plan (P) est rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

. Soit Ox, Oy les axes

associés. À tout nombre réel, k, on associe la transformation ponctuelle notée Tk qui, à un pointm de coordonnées (x ; y) du plan (P), fait correspondre, s’il existe, le point M de coordonnées (X ; Y ) du plan (P), défini par

X = x

1−kx

Y = y

1−kx

Partie A

1. Le nombre réel k étant donné, quels sont les points m de (P) pour lesquels Tk (m) existe ?

2. Si k et k ′ sont deux nombres réels, quel est l’ensemble des points m de (P) tels que Tk ′ ◦Tk (m) existe et quel est l’ensemble des points m de (P) tels que Tk+k ′(m) existe ?

Si et Tk+k ′(m) existent simultanément, montrer que Tk ′ ◦Tk (m) et Tk+k ′(m) sont confondus.

3. SoitG l’ensemble des transformations Tk pour tous les nombres réels k.

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

a. La correspondance qui, au couple (Tk , Tk ′), associe Tk ′ ◦Tk est-elle une loi de composition interne sur G ?

b. Montrer que la correspondance qui, au couple (Tk , Tk ′), associe Tk+k ′ définit une loi de groupe surG.

Partie B

Dans toute la suite du problème on suppose k = 1.

1. a. Quel est l’ensemble (Ω) sur lequel la transformation T1 est définie ?

b. Déterminer l’ensemble des points invariants par T1.

c. Montrer que, pour tout point m appartenant à (Ω), les points m, T1(m) et O (origine des axes) sont alignés.

d. Montrer que T1 admet une transformation réciproque.

2. Déterminer la figure (D1) transformée de

(D)∩ (Ω) par T1;

dans les cas suivants :

a. (D) est une droite parallèle à la droite Oy ;

b. (D) est une droite parallèle à la droite Ox ;

c. (D) est une droite qui n’est parallèle ni à la droite Ox ni à la droite Oy .

3. Montrer qu’il existe des points m que T1 transforme en leur symétrique par rapport à O.

En déduire, compte tenu de la question B 1. b., une construction géométrique de la figure (D1), transformée par T1 de (D)∩ (Ω), si (D) est une droite non parallèle à la droite Oy , et une construction géométrique du transformé par T1 d’un point quelconquem de (P) appartenant à (Ω).

4. Soit l’équation

x2+ y2−2ax+c = 0,

a et c sont deux nombres réels.

a. Montrer que cette équation représente un cercle de rayon non nul si, eL seulement si, c < a2. Ce cercle sera noté

(

Ca, c )

.

b. Quelle relation supplémentaire a et c doivent-ils vérifier pour que la fi- gure transformée de

(

Ca, c )

par T1 soit un cercle ? Préciser alors les va- leurs de a pour lesquelles il peut en être ainsi.

c. (Question indépendante de la question b qui précède.)

Montrer que la figure transformée de (

Ca, c )

∩ (Ω) par T1 passe par O si, et seulement si, c = 0.

Suivant les valeurs de a, discuter la nature géométrique de la figure C1 transformée par T1 de

(

Ca, 0 )

∩ (Ω).

Reims 2 juin 1970

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